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1、第 2 课时定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1.设抛物线 y 28x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共 点,则直线 l 的斜率的取值范围是 () A. 1 2, 1 2 B.2,2 C.1,1 D.4,4 解析Q(2,0),设直线 l 的方程为 yk(x2),代入抛物线方程,消去y 整 理得 k 2x2(4k28)x4k20,由 (4k28)24k2 4k264(1k2)0,解得 1k1. 答案C 2.(2017 石家庄模拟 )已知 P 为双曲线 C: x 2 9 y 2 161 上的点,点 M 满足 |OM |1, 且OM PM 0,则当 |PM |
2、取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 () A. 9 5 B.12 5 C.4 D.5 解析由OM PM 0,得 OMPM,根据勾股定理,求 |MP|的最小值可以转化 为求 |OP|的最小值, 当|OP|取得最小值时, 点 P 的位置为双曲线的顶点 ( 3,0), 而双曲线的渐近线为4x 3y0,所求的距离 d12 5 ,故选 B. 答案B 3.已知椭圆 C 的方程为 x 2 16 y 2 m 21(m0),如果直线 y 2 2 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F,则 m的值为 () A.2 B.22 C.8 D.2 3 解析根据已知条件得c16m2,则
3、点(16m2, 2 2 16m 2)在椭圆 x 2 16 y 2 m 21(m0)上, 16m 2 16 16m 2 2m 21,可得 m2 2. 答案B 4.若双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的渐近线与抛物线yx22 有公共点,则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.3 , ) B.(3, ) C.(1,3 D.(1,3) 解析依题意可知双曲线渐近线方程为y b ax,与抛物线方程联立消去 y 得 x 2b ax20. 渐近线与抛物线有交点, b 2 a 280,求得 b28a2,c a 2b23a, e c a3. 答案A 5.(2016 丽水一模 )斜率为 1 的
4、直线 l 与椭圆 x 2 4 y21 相交于 A,B 两点,则 |AB| 的最大值为 () A.2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析设 A,B 两点的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2), 直线 l 的方程为 yxt,由 x 24y24, yxt 消去 y, 得 5x 28tx4(t21)0, 则 x1x2 8 5t,x1x2 4(t 21) 5 . |AB|1k 2|x 1x2|1k 2 (x 1x2) 24x 1x2 28 5t 2 4 4(t 21) 5 4 2 5 5t 2, 当 t0 时,|AB|max4 10 5 . 答案C 二、填空题 6.已知双曲线
5、 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一条渐近线方程是y3x,它的一个焦 点与抛物线 y 216x 的焦点相同,则双曲线的方程为 _. 解析由条件知双曲线的焦点为(4,0), 所以 a 2b216, b a 3, 解得 a2,b2 3, 故双曲线方程为 x 2 4 y 2 121. 答案 x 2 4 y 2 121 7.已知动点 P(x, y)在椭圆 x 2 25 y 2 161 上, 若 A 点坐标为 (3, 0), |AM |1, 且PM AM 0,则|PM |的最小值是 _. 解析PM AM 0,AM PM . |PM | 2|AP | 2|AM | 2|AP | 21, 椭
6、圆右顶点到右焦点A 的距离最小, 故|AP |min2,|PM |min3. 答案3 8.(2017 平顶山模拟 )若双曲线 x 2y 2 b 21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)2 1 至多有一个公共点,则双曲线离心率的取值范围是_. 解析双曲线的渐近线方程为y bx,则有 |02| 1b 21,解得 b 23,则 e21 b 24,e1,1e2. 答案(1,2 三、解答题 9.如图,椭圆 E:x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率是 2 2 ,点 P(0, 1)在短轴 CD 上,且 PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过点P 的动直线与椭
7、圆交于A,B 两点.是否存在常数 , 使得OA OB PA PB 为定值?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由. 解(1)由已知,点 C,D 的坐标分别为 (0,b),(0,b). 又点 P 的坐标为 (0,1),且PC PD 1, 于是 1b 21, c a 2 2 , a 2b2c2. 解得 a2,b2. 所以椭圆 E 方程为 x 2 4 y 2 21. (2)当直线 AB 的斜率存在时, 设直线 AB 的方程为 ykx1, A,B 的坐标分别为 (x1,y1),(x2,y2). 联立 x 2 4 y 2 2 1, ykx1, 得(2k21)x24kx20. 其判别式 (4k) 28(2
8、k21)0, 所以, x1x2 4k 2k 21,x1x2 2 2k 21. 从而, OA OB PA PB x1x2y1y2 x1x2(y11)(y21) (1 )(1k2)x1x2k(x1x2)1 (2 4)k 2( 2 1) 2k 21 1 2k 21 2. 所以,当 1 时, 1 2k 21 23. 此时, OA OB PA PB 3 为定值 . 当直线 AB 斜率不存在时,直线AB 即为直线 CD, 此时OA OB PA PB OC OD PC PD 213, 故存在常数 1,使得 OA OB PA PB 为定值 3. 10.(2016 浙江卷 )如图,设椭圆 x 2 a 2y21(
9、a1). (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长 (用 a,k 表示); (2)若任意以点 A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点,求椭圆离心率的 取值范围 . 解(1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为AM, 由 ykx1, x 2 a 2y21,得(1a 2k2)x2 2a2kx0. 故 x10,x2 2a 2k 1a 2k2, 因此 |AM|1k2|x1x2| 2a 2|k| 1a 2k2 1k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有4 个, 由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同 的点 P,Q,满足 |AP|AQ|. 记直线 AP,AQ 的斜率分别为 k1,k2,且 k1
10、,k20,k1k2. 由(1)知|AP| 2a 2|k 1| 1k 2 1 1a 2k2 1 ,|AQ|2a 2|k 2|1k 2 2 1a 2k2 2 , 故 2a 2|k1| 1k2 1 1a 2k2 1 2a 2|k2| 1k2 2 1a 2k2 2 , 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220. 由于 k1k2,k1,k20 得 1k 2 1k 2 2a 2(2a2)k2 1k 2 20, 因此 1 k 2 11 1 k 2 21 1a 2(a22), 因为式关于 k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以 a2. 因此,任意以点A(0,1)为圆心的
11、圆与椭圆至多有3 个公共点的充要条件为1 a2, 由 ec a a 21 a 得,所求离心率的取值范围是 0, 2 2 . 11.(2016 湖南师大附中月考 )设双曲线 C: x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的一条渐近线 与抛物线 y2x 的一个交点的横坐标为x0,若 x01,则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是 () A. 1, 6 2 B.( 2, ) C.(1,2) D. 6 2 , 解析不妨联立 yb ax与 y 2x 的方程,消去 y 得b 2 a 2x2x,由 x01 知b 2 a 21, 即 c 2a2 a 21,故 e22,又 e1,所以 1e2,故选 C.
12、 答案C 12.(2017 河南省八市质检 )已知双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21(a0,b0)的离心率为 2,它 的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A,B 两点,O 为坐标 原点.若AOB 的面积为3,则抛物线的准线方程为() A.x2 B.x2 C.x1 D.x1 解析因为 ec a2,所以 c2a,b 3a,双曲线的渐近线方程为y 3x, 又抛物线的准线方程为x p 2, 联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程 得 A p 2, 3p 2 ,Bp 2, 3p 2 ,在AOB 中,|AB|3p,点 O 到 AB 的距 离为 p 2,所以 1 23p p 2 3,
13、所以 p2,所以抛物线的准线方程为x1,故 选 D. 答案D 13.(2017 绵阳诊断 )若点 O 和点 F 分别为椭圆 x 2 9 y 2 8 1 的中点和左焦点,点P 为椭圆上的任一点,则 OP FP 的最小值为 _. 解析点 P 为椭圆 x 2 9 y 2 8 1 上的任意一点,设P(x,y)(3x3,22 y2 2), 依题意得左焦点F(1, 0), OP (x, y), FP (x1, y), OP FP x(x1)y 2x2x728x 2 9 1 9 x9 2 2 23 4 . 3x3, 3 2x 9 2 15 2 ,9 4 x 9 2 2 225 4 , 1 4 1 9 x9
14、2 2 225 36 ,6 1 9 x 9 2 2 23 4 12,即 6OP FP 12,故最小值为 6. 答案6 14.(2017 衡水中学高三联考 )已知椭圆C: x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)短轴的两个顶点 与右焦点的连线构成等边三角形,直线3x4y60 与圆 x 2(yb)2a2 相 切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1,l2分别交椭圆 C 于 M,N 两点, 且 l1l2,求证:直线 MN 过定点,并求出定点坐标; (3)在(2)的条件下求 AMN 面积的最大值 . 解(1)由题意,得 a2b, |4b6| 5 a, a
15、2, b1, 即 C:x 2 4 y 21. (2)由题意得直线 l1,l2的斜率存在且不为0. A(2,0),设 l1:xmy2,l2:x 1 my2, 由 xmy2, x 24y240,得(m 24)y24my0, M 2m 28 m 24, 4m m 24. 同理, N 28m 2 4m 21, 4m 4m 21. m 1 时,kMN 5m 4(m 21), lMN:y 5m 4(m 21)x6 5 .此时过定点 6 5,0 . m 1 时,lMN:x 6 5,过点 6 5,0 . lMN恒过定点 6 5,0 . (3)由(2)知 SAMN1 2 4 5|yMyN| 2 5 4m m 24 4m 4m 218 m 3m 4m 417m24 8 m 1 m 4 m 1 m 2 9 8 4 m 1 m 9 m 1 m . 令 t m 1 m 2,当且仅当 m 1 时取等号, SAMN16 25,且当 m 1 时取等号 . (SAMN)max16 25.
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