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1、学习目标 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一 些函数的定积分. 知识点一导数与定积分的关系 f(x)dx 等于函数f(x)的任意一个原函数F(x)(F(x)f(x)在积分区间 a,b上的改变量F(b) F(a). 以路程和速度之间的关系为例解释如下: 如果物体运动的速度函数为vv(t),那么在时间区间a,b内物体的位移s 可以用定积分表 示为 sv(t)dt.另一方面, 如果已知该变速直线运动的路程函数为ss(t), 那么在时间区间a, b内物体的位移为s(b) s(a),所以有v(t)dts(b)s(a).由于 s(t)v(t),即 s(t)为 v
2、(t)的原 函数,这就是说,定积分v(t)dt 等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间 a,b上的增量s(b) s(a). 思考函数 f(x)与其一个原函数的关系: (1)若 f(x)c(c 为常数 ),则 F(x)cx; (2)若 f(x)x n (n 1),则 F(x) 1 n1 x n1; (3)若 f(x) 1 x,则 F(x)ln x(x0); (4)若 f(x)e x,则 F(x)ex; (5)若 f(x)a x,则 F(x)a x ln a(a0 且 a1); (6)若 f(x)sin x,则 F(x) cos x; (7)若 f(x)cos x,则 F(x)sin x. 知
3、识点二微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间 a,b上的连续函数,并且F(x)f(x),那么 f(x)dxF(b) F(a). 思考(1)函数 f(x)的原函数F(x)是否唯一? (2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么? 答案(1)不唯一 . (2)把被积函数f(x)变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或 差; 用求导公式找到F(x),使得 F(x)f(x); 利用微积分基本定理求出定积分的值. 题型一求简单函数的定积分 例 1计算下列定积分. (1)3dx;(2)(2x3)dx; (3) (4x x 2)dx;(4)(x1)5dx. 解(1)因为 (3x
4、)3, 所以 3dx(3x) 2 1 323 13. (2)因为 (x 23x)2x3, 所以 (2x3)dx(x23x) 2 0 2 232(02 30)10. (3)因为 2x 2x 3 3 4xx2, 所以(4xx2)dx 2x2 x 3 3 3 1 23 23 3 3 2 1 2 1 3 3 20 3 . (4)因为 1 6 x1 6 (x1)5, 所以(x1) 5dx 1 6(x1) 6 2 1 1 6(21) 61 6(11) 61 6. 反思与感悟(1)用微积分基本定理求定积分的步骤: 求 f(x)的一个原函数F(x); 计算 F(b)F(a). (2)注意事项: 有时需先化简,
5、再求积分; 若 F(x)是 f(x)的原函数,则F(x)C(C 为常数 )也是 f(x)的原函数 .随着常数C 的变化, f(x) 有无穷多个原函数, 这是因为F(x)f(x), 则F(x)CF(x)f(x)的缘故 .因为 a bf(x)dx F(x)C|b aF(b)CF(a)CF(b)F(a)F(x)| b a,所以利用 f(x)的原函数计算定积 分时,一般只写一个最简单的原函数,不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1求下列函数的定积分: (1) x 1 x 2dx;(2) x(1x)dx. 解(1) x 1 x 2dx 1 2 x 221 x 2dx 1 2x2dx 1 22dx 1 21
6、 x 2dx 1 3x 3 2 1 +2 x 2 1 + - 1 2 2 1 1 3(2 3 13)2(21)1 2 1 29 6 . (2) 4 9 x(1x)dx 4 9( xx)dx 2 3x x1 2x 2 9 4 2 393 1 29 2 2 342 1 24 2 271 6 . 题型二求分段函数的定积分 例 2求函数 f(x) x 3, x0,1 , x 2, x1,2 , 2 x, x2,3 在区间 0,3上的定积分 . 解由定积分的性质知: 0 3f(x)dx 0 1f(x)dx 1 2f(x)dx 2 3f(x)dx 0 1x3dx 1 2x2dx 2 32xdx x 4 4
7、 1 0 x 3 3 2 1 2 x ln 2 3 2 1 4 8 3 1 3 8 ln 2 4 ln 2 31 12 4 ln 2. 反思与感悟(1)分段函数在区间a,b上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的 标准是确定每一段上的函数表达式,即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2求下列定积分: (1) 0 2|x21|dx;(2) 0 2 1sin 2xdx. 解(1)y|x 21| 1x 2,0x 1, x 2 1,1x 2, 0 2|x21|dx 0 1(1x2)dx 1 2(x21)dx x x 3 3 1 0 x 3 3 x 2 1 1 1 3 8 32 1 3 1
8、 2. (2) 0 2 1sin 2xdx 0 2|sin xcos x|dx 0 4 (cos xsin x)dx 4 2 (sin xcos x)dx (sin xcos x) 4 0 (cos xsin x) 2 4 2 2 2 2 1(1) 2 2 2 2 22 2. 题型三定积分的简单应用 例 3已知 f(a) 0 1 (2ax 2a2x)dx,求 f(a)的最大值 . 解 2 3ax 31 2a 2x2 2ax2a2x, 0 1 (2ax 2a2x)dx2 3ax 31 2a 2x2 1 0 2 3a 1 2a 2, 即 f(a) 2 3a 1 2a 21 2 a 24 3a 4
9、9 2 9 1 2 a 2 3 22 9, 当 a 2 3 时, f(a)有最大值 2 9. 反思与感悟定积分的应用体现了积分与函数的内在联系,可以通过积分构造新的函数,进 而对这一函数进行性质、最值等方面的考查,解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3已知 f(x)ax 2bxc(a0),且 f(1)2,f(0)0, 0 1f(x)dx 2,求 a、 b、c 的值 . 解由 f(1)2,得 ab c2. 又 f(x) 2axb,f(0)b0, 而 0 1f(x)dx 0 1 (ax 2bx c)dx 1 3ax 31 2bx 2cx 1 0 1 3a 1 2bc, 1 3a 1 2bc
10、 2, 由 式得 a6,b 0,c 4. 1. 0 4 cos 2x cos xsin xdx 等于 ( ) A.2(21) B.21 C.21 D.22 答案C 解析结合微积分基本定理,得 0 4 cos 2xsin2x cos xsin xdx 0 4 (cos xsin x)dx(sin xcos x) 4 0 21. 2.下列定积分的值等于1 的是 () A. 0 1xdx B. 0 1(x1)dx C. 0 11dx D. 0 11 2dx 答案C 解析 0 1xdx1 2x 2 1 0 1 2, 0 1(x 1)dx 1 2x 2x 1 0 1 2 1 3 2, 0 11dxx 1
11、 0 1, 0 11 2dx 1 2x 1 0 1 2.故选 C. 3. 0 2 x 22 3x dx . 答案 4 3 解析 0 2 x 22 3x dx 0 2x2dx 0 22 3xdx x 3 3 2 0 x 2 3 2 0 8 3 4 3 4 3. 4.设函数 f(x) x 21,0 x1, 3x,1x2, 则 0 2f(x)dx . 答案 17 6 解析 0 2f(x)dx 0 1(x2 1)dx 1 2(3x)dx x 3 3 x 1 0 3x x 2 2 2 1 17 6 . 5.已知函数f(x)为偶函数,且 0 6f(x)dx 8,则 6 6 f(x)dx. 答案16 解析因
12、为函数f(x)为偶函数,且 0 6f(x)dx8,所以 6 6 f(x)dx2 0 6f(x)dx16. 1.求定积分的一些常用技巧 (1)对被积函数,要先化简,再求积分. (2)若被积函数是分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要去掉绝对值符号才能积分. 2.由于定积分的值可取正值,也可取负值,还可以取0,而面积是正值,因此不要把面积理 解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和,而是在 x 轴下方的图形面积要取定积 分的相反数 . 一、选择题 1.函数 y 0 xcos xdx 的导数是 ( ) A.cos xB.sin xC.c
13、os x1 D.sin x 答案A 解析(sin x)cos x, 0 x cos xdxsin x x 0 sin x,故选 A. 2.若 F(x)x 2,则 F(x)的解析式不正确的是 () A.F(x) 1 3x 3 B.F(x)x 3 C.F(x) 1 3x 31 D.F(x) 1 3x 3c(c 为常数 ) 答案B 解析若 F(x)x3,则 F(x)3x2,这与 F(x) x2不一致,故选B. 3. 4 0 |x2|dx 等于 () A. 4 0 (x 2)dx B. 4 0 (x2)dx C. 4 2(x2)dx 2 0 2(x2)dx D. 4 2(x 2)dx 2 0 (x2)
14、dx 答案D 解析|x2| x2, 2x0, x2, 4 x0,所以 f(1)lg 10.又 x0 时, f(x)x 0 a3t2dtxt3 a 0 xa3, 所以 f(0)a 3 .因为 ff(1)1,所以 a 31,解得 a1. 三、解答题 11.设 f(x)是一次函数,且 0 1f(x)dx5, 0 1xf(x)dx17 6 ,求 f(x)的解析式 . 解f(x)是一次函数,设f(x)ax b(a0),则 0 1f(x)dx 0 1(axb)dx 0 1axdx 0 1bdx 1 2ab5, 0 1xf(x)dx 0 1x(axb)dx 0 1(ax2)dx 0 1bxdx 1 3a 1
15、 2b 17 6 . 由 1 2ab5, 1 3a 1 2b 17 6 , 得 a4, b3. 即 f(x)4x3. 12.若函数 f(x) x 3,x 0,1, x,x 1,2, 2 x,x 2,3. 求 0 3f(x)dx 的值 . 解由积分的性质,知: 0 3f(x)dx 0 1f(x)dx 1 2f(x)dx 2 3f(x)dx 0 1x3dx 1 2 xdx 2 32xdx x 4 4 1 0 2 3x 3 2 2 1 2 x ln 2 3 2 1 4 4 3 2 2 3 8 ln 2 4 ln 2 5 12 4 3 2 4 ln 2 . 13.求定积分 4 3 |xa|dx. 解(1)当 a4 即 a4 时, 原式 4 3 (xa)dx x 2 2 ax 3 47a 7 2. (2)当 4 a 3即 3a4 时, 原式 4 a( xa)dx a 3 (xa)dx x 2 2 ax a 4 x 2 2 ax 3 a a 2 2 4a8 a 2 2 3a 9 2 a2a 25 2 . (3)当 a 3 即 a3 时, 原式 4 3 (xa)d x x 2 2 ax 3 -4 7a 7 2. 综上,得 4 3 |x a|dx 7a7 2 a4 , a 2a25 2 3a4 , 7a 7 2 a3 .
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