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1、用心爱心专心 13.6 (2)实系数一元二次方程 一、 教学内容分析 本节课是“实系数一元二次方程”的第二节课,上一节课主要讨论了实系数一元二次方 程在复数集中解的情况. 学生会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三 项式进行因式分解;能理解实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数的关系,并会进行简 单应用 . 本节课将通过练习巩固以上知识,并检验学生对以上知识的掌握程度. 课本中的例题3 是“实系数一元二次方程”这一节的重点和难点,本节课将引导学生进 行重点探究 . 二、教学目标设计 进一步掌握在复数集中解实系数一元二次方程和对二次三项式进行因式分解;掌握实系 数一元二次方程有
2、虚数根时的根与系数的关系及其应用. 三、教学重点及难点 对实系数一元二次方程有虚数根时的根与系数关系的灵活应用. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计 六、教学过程设计 课堂小结并布置作业 复习旧知 巩固练习 例题精析 课堂练习 用心爱心专心 (一)复习旧知 上一节课我们主要学习了哪些内容?我们一起来回顾一下. 1. 实系数一元二次方程 2 0axbxc在复数集C中解的情况: (1)当 2 40bac时,原方程有两个不相等的实数根 2 4 2 bbac x a ; (2)当 2 40bac时,原方程有两个相等的实数根 2 b x a ; (3)当 2 40bac时,原方程有一对
3、共轭虚根 2 1 4 22 bacb xi aa , 2 2 4 22 bacb xi aa . 2、二次三项式 2 axbxc在复数范围内分解因式: 2 12 ()()axbxca xxxx. 3、实系数一元二次方程 2 0axbxc的韦达定理: 12 b xx a , 12 c xx a . 特别地,当 2 40bac时, 12 xx和为一对共轭虚根,即 21 xx , 2 121 |xxx, 121 2Rexxx. 说明 以上三点可以让学生回答,而第3 点中的“ 2 121 |xxx, 121 2Rexxx”可以 让学生在老师的引导下发现. (二)巩固练习 1. 已知 1-i是实系数一元
4、二次方程 2 0xpxq 的一个根,则p q= . 2. 若两个数之和为2,两个数之积为3,则这两个数分别为 . 3. 在复数集中分解因式: 2 321xx= . 用心爱心专心 4. 若方程 2 20()xaxaR有虚数根z,则 |z|= . 参考答案: 1. -4 2. 12i和12i 3. 1212 3()() 3333 xixi 4. 2 (三)例题精析 例 1、已知方程 2 10()xpxpR 的两根为 1 x 、 2 x ,若 12 1xx ,求实数 p 的值 . 分析:要求实数p 的值,即要利用已知条件 121xx ,从而应考虑 1x 、 2x 为实根还是虚 根,因此,应对0和0讨
5、论 . 解: (见课本P92例 3) 说明 对于 0 的情形,也可考虑设 1( ,)xabi a bR , 则 2xabi,由1221xxbi 得 1 2 b, 又由 222 121 1|xxxab,得 3 2 a,所以 12 23pxxa. 设问: 若将题设中的“两根”改为“两虚根”,则如何作答? 设问: 我们知道:当 1 x、 2 x为实数时, 22 12121212 ()()4xxxxxxx x,而当 1 x、 2 x为虚数时,上式是否仍然成 立?请说明理由. 说明 可以给点时间让学生思考和讨论. 因为当 z 为虚数时, 2 2 zz, 所以当 1 x、 2 x为虚数时,上式不成立. 可
6、以适当修改为 222 1212121212 |() |()4|xxxxxxxxx x (*) 该结论显然成立. 设问: 大家尝试一下,能否利用上述结论(*) 来解答本例? 用心爱心专心 因为 2 222 12121212 1()()44xxxxxxx xp, 所以3p或5p. 说明 在已知 12 xx的值时,利用结论(*) 可以避免对0与0的讨论 . 设问: 本例删除已知条件“ 12 1xx”后,请用m来表示 12 xx. 将例 1 的“两根之差的绝对值”改为“两根的绝对值之和”,可以有以下例题. 例2、已知关于x 的方程 22 2440xaxaa()aR的两根为、,且 3,求实数 a 的值
7、. 解: 22 44(44)16(1)aaaa. 当0,即1a时,、为实数,且 22 44(2)0aaa, 所以23a,又1a,所以 3 2 a. 当0,即1a时,、为一对共轭虚数,所以23 得 29 4 ,所以 9 4 ,所以 29 44 4 aa得 7 2 a或 1 2 a, 因为1a,所以 1 2 a. 故 3 2 a或 1 2 a. 说明 (1)前面有例1 的分析与探讨,例题2 可考虑让学生自己完成. (2)提醒学生注意:对0与0的讨论 . (3)例 2 删除已知条件“3”后,也可用a 来表示. 例 3、已知关于x 的方程 2 (12 )2 (1)0axi xai()aR有实数根, 求
8、实数 a 的值 . 解:设 x0是原方程的两个根,则 2 00 (12 )2 (1)0axi xai,即 2 000 (2 )(22 )0axxaxa i,所以 2 00 0 20 220 axxa xa , 解该方程组得0a或3a. 用心爱心专心 说明 补充例 3 主要是考虑到练习册第58 页习题 136 B 组第 5 题与例 3 属同一类问题,可 以视情况选用. 若时间允许,例3 还可以考虑在求出a 的值后,解该方程. (四)课堂练习 1. 若、是方程 2 70xx的两个根,则 2 = . 2. 见课本 P93 练习 13.6 (2)T4. 说明 练习第 1 题可以直接用求根公式,也可以使
9、用结论(*).其答案是27. (五)课堂小结 本节课是在复习与巩固上节课主要内容“实系数一元二次方程解的情况和韦达定理”的 基础上,通过例题1 和例题 2, 进一步探讨实系数一元二次方程有虚数根时的韦达定理的应用, 应灵活利用 2 121 | c xxx a , 121 2Re b xxx a . 注意分类讨论这一数学思想的应用,例题1 和例题2 都对0与0(即实根与虚 根)进行了讨论,但合理利用以下等式: 222 1212121212 |() |()4|xxxxxxxxx x,可以避免分类讨论. (六)课后作业 1书面作业:练习册P55 习题 136 A组 T6.8. P57 习题 136 B 组 T4.5. 2思考题:(补充题及备选题) ( 1 ) 若 方 程 2 2810()xxaaR有 一 个 虚 根 的 模 为5, 则 实 数a的 值 为 . (2)已知关于x 的方程 2 20()xxmmR的两根为、,求. (3)已知关于x 的方程 2 (2 )20()xki xkikR有实根,求实数k 的值,并解 方程 . 参考答案:(1)9 (2) 2,01 2 1,0 2,1 m m m mm 用心爱心专心 (3)当2 2k时,原方程的两根为2,22i; 当2 2k时,原方程的两根为2,22i. 说明 补充的思考题,可作为学有余力的同学的能力训练题,也可作为教师的备选题
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