《高中数学定积分.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学定积分.pdf(7页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第 25炼 定积分 一、基础知识 1、相关术语:对于定积分 b a fx dx (1),:a b称为积分上下限,其中ab (2)fx:称为被积函数 (3)dx:称为微分符号,当被积函数含参数时,微分符号可以体现函数的自变量是哪个, 例如: 2 b a xtx dx中的被积函数为 2 fxxtx,而 2 b a xtx dt的被积函数为 2 f txtx 2、定积分 b a fx dx的几何意义:表示函数fx 与x轴,,xa xb围成的面积(x轴 上方部分为正,x轴下方部分为负)和,所以只有当fx图像在,a b完全位于x轴上方 时, b a fx dx才表示面积。 b a f x dx可表示数f
2、x 与x轴,,xa xb围成的面积 的总和,但是在求定积分时,需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法:高中阶段求定积分的方法通常有2 种: (1)微积分基本定理:如果 fx 是区间 ,a b 上的连续函数,并且 Fxfx,那么 | b b a a fx dxF xF bF a 使用微积分基本定理,关键是能够找到以fx为导函数的原函数F x。所以常见的初等 函数的导函数公式要熟记于心: f xC 0fxfxx 1 fxx sinfxx c osfxxcosf xx si nfxx x fxa ln x fxaa x fxe x fxe logafxx 1 ln fx xa lnfxx 1 fx
3、 x 寻找原函数通常可以“先猜再调” , 先根据导函数的形式猜出原函数的类型,再调整系数, 例如: 3 fxx,则判断属于幂函数类型,原函数应含 4 x,但 43 4xx,而 3 f xx, 所以原函数为 4 1 4 FxxC(C为常数) 如 果 只 是 求 原 函 数 , 则 要 在 表 达 式 后 面 加 上 常 数C, 例 如2fxx, 则 2 FxxC,但在使用微积分基本定理时,会发现F bF a计算时会消去C,所 以求定积分时,F x不需加上常数。 (2)利用定积分的几何含义:若被积函数找不到原函数,但定积分所对应的曲边梯形面积 易于求解, 则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意
4、曲边梯形若位于x轴的下方, 则 面积与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质:假设, bb aa fx dxg x dx存在 (1) bb aa kf x dxkfx dx 作用:求定积分时可将fx的系数放在定积分外面,不参与定积分的求解,从而简化fx 的复杂程度 (2) bbb aaa fxg xdxf x dxg x dx 作用:可将被积函数拆成一个个初等函数的和,从而便于寻找原函数并求出定积分,例如 2222 22 1111 11xxdxx dxxdxdx (3) bcb aac fx dxfx dxfx dx,其中 acb 作用: 当被积函数含绝对值,或者是分段函数时,可利用此公
5、式将所求定积分按区间进行拆 分,分别求解。 5、若fx具备奇偶性,且积分限关于原点对称,则可利用奇偶性简化定积分的计算 (1)若fx为奇函数,则00 a a fx dxa (2)若fx为偶函数,则 0 0 aa a fx dxfx dx a 6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤: (1)通过作图确定所求面积的区域 (2)确定围成区域中上,下曲线对应的函数,fxg x (3)若 ,xa b 时,始终有 f xg x ,则该处面积为 b a fxg x dx 7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况 (1)构成曲面梯形的函数发生变化 (2)构成曲面梯形的函数上下位置发生变
6、化,若要面积与定积分的值一致,则被积函数要 写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变,但上 下位置发生过变化,则也需将两部分分开来写。 二、典型例题: 例 1:已知函数 2 2 1, 10 1,01 xx fx xx ,则 1 1 fx dx () A. 38 12 B. 34 12 C. 4 4 D. 34 12 思 路:fx在1,0 , 0,1的 解析式不同, 所以求定积分时要 “依 不同而分段 ” : 101 2 2 110 11fx dxxdxx dx, 而 0 22 0 1 1 11 11 33 xdxx , 对 于 1 2 0 1x dx无法找到原函
7、数, 从而考虑其几何意义: 222 110yxxyy, 1 2 0 1x dx为单位圆面积的 1 4 , 即 1 2 0 1 4 x dx , 所以 1 1 143 3412 fx dx 答案: B 小炼有话说:( 1)若被积函数在不同区间解析式不同时,则要考虑将定积分按不同区间进行 拆分 (2)若被积函数具备“”特征,在无法直接找到原函数时,可考虑其图像的几何意义, 运用面积求得定积分,但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同 例 2: 4 0 cos2 cossin x dx xx () A. 221B. 21C. 21D. 22 思 路 : 被 积 函 数无 法 直接 找 到 原函 数
8、, 但 是 可以 进 行 化简 。 22 cos2cossin =cossin cossincossin xxx fxxx xxxx ,所以: 44 0 0 cossinsincos|21xx dxxx 答案: C 例 3:设 2 x fx,则 4 4 fx dx_ 思路:本题可以通过对x的符号进行分类讨论,将fx写成分段函数,再将定积分拆分为 两段分别求解,但若观察到fx为偶函数,则可利用对称性得: 44 4 0 40 230 222 ln2ln2 x x fx dxdx 答案: 30 ln 2 例 4:已知 2 2 0 316xk dx ,则k() A. 1B. 2C. 3D. 4 思路:
9、先按部就班求解定积分,再解出关于k的方程即可: 解: 2 232 0 0 382xk dxxkxk 8216k解得4k 答案: D 例 5:由曲线 2 xt yt (t为参数)和2yx围成的封闭图形的面积等于_ 思路:所给曲线为参数方程,考虑化为普通方程为 2 yx,作出 两个曲线图像,可得两个交点的横坐标为1,2xx,结合图 象可得: 2 2232 1 -1 119 22| 232 Sxxdxxxx 答案: 9 2 例6:设 2 ,0,1 1 ,1, xx fx xe x (其中e为自然对数的底数) ,则yfx的图像与 0,xxe以及x轴所围成的图形的面积为_ 思路:作出图像可得fx恒在x轴
10、的上方,则面积可用定积分表示,但由于两个区间的函 数不同,所以要拆成两个定积分: 1 23 1 01 01 1114 ln1 333 e e Sx dxdxxx x 答案: 4 3 例 7:曲线 2 y x 与直线1,4yxx所围成的封闭图形的面积为() A. 2ln 2B. 2ln 2C. 4ln 2D. 42ln 2 思路: 作出图像观察可得:所围成的区域上方曲线为1yx, 下 方 为 2 y x , 自 变 量 的 取 值 范 围 为,E F, 其 中 2 :2 1 y Exx yx , 4,0F , 所 以 所 求 面 积 为 4 24 2 2 21 12ln42ln2 2 Sxdxx
11、xx x 答案: D 例 8:如图所示,正弦曲线sinyx,余弦曲线cosyx与两直线0,xx所围成的 阴影部分的面积为() A. 1B. 2 C. 2D. 2 2 思路: 观察到两部分阴影区域,函数的上下位置不同,所以考虑面积用两段定积分表示,在 0,中,sinyx与cosyx的交点横坐标为 4 x,所以0, 4 时,余弦函数位于上 方, 4 1 0 cossinSxx dx, 在 , 4 处, 正弦函数位于上方, 2 4 sincosSxx dx 所以 4 12 0 4 cossinsincos2 2SSSxx dxxx dx 答案: D 小炼有话说:(1)在求曲线围成的面积时,可遵循被积
12、函数始终“上下”的原则,如果函 数发生变化或上下位置改变时,则可以将面积分割为若干段,分别求定积分即可 (2)本题还可以采用“填补法”,观察到左边较小阴影部分与x右侧部分中心对称,所 以面积相同,从而可将较小阴影部分填补至x右侧。新的阴影部分始终sinyx位于 上方,可求得阴影部分位于 5 , 44 ,所以 5 4 4 sincos2 2Sxx dx 例 9:已知ab,若函数,fxg x满足 bb aa fx dxg x dx,则称,f xg x 为 区间,a b上的一组“等积分”函数,给出四组函数: 2,1fxx g xxsin ,cosfxx g xx 22 3 1, 4 fxxg xx
13、函数,fxg x分别是定义在1,1上的奇函数且积分值存在 其中为区间1,1上的“等积分”函数的组数是() A. 1B. 2C. 3D. 4 思路:按照“等积分”的定义,只需计算出两个函数在1,1处的积分,再判断是否相等即 可。 解: 111 21 0 110 1 2442 2 fx dxx dxxdxx 11 21 1 11 1 12 2 g x dxxdxxx 11 11 fx dxg x dx所以为“等积分” fx为奇函数,g x为偶函数 1 1 0fx dx 111 1 0 110 c o s2c o s2 si n2 si n 1gx d xx d xx dxx 由几何含义可得: 11
14、 2 11 1 1 2 fx dxx dx 11 23 1 1 11 311 442 g x dxx dxx 11 11 fx dxg x dx 所以为一组“等积分”函数 因为,fxg x为奇函数,所以 11 11 0fx dxg x dx 为一组“等积分”函数 综上所述,为“等积分”函数 答案: C 例 10:已知函数1 x fxe,直线 12 :1,:1 t lxlye(t为常 数,且01t) ,直线 12 ,l l与函数fx的图像围成的封闭图形如图 中阴影所示,当t变化时阴影部分的面积的最小值为_ 思路:可解得fx与直线 2 l的交点为,1 t t e,从而用 t可表示出阴 影部分面积:
15、 1 12 0 1111 t txxt t SSSeedxeedx,化简后可 得: 231 tt S tteee,再通过导数分析S t单调性即可求出S t的最小值 解:fx与 2 l的交点为:111 txt fxeee,解得:xt 所以阴影面积 1 12 0 1111 t txxt t SSSeedxeedx 1 0 t txxt t eedxee dx 1 0 231 txtxttt t e xeee xteee 设 231 tt S tteee,则 221 ttt S tteeet S t在 1 0, 2 单调递减,在 1 ,1 2 单调递增 2 min 1 211 2 S tSeee 答案: 2 1e 小炼有话说:( 1)本题是定积分与导数综合的一道题目,在处理时要理解定积分和导数所起 到的作用: 定积分用于处理面积,而需要求最值时,非常规函数可用导数解出单调性,从而 求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法 (2)对于含参数的定积分,首先要确定被积函数的自变量(可观察“d”后面的字母) ,然 后将参数视为一个常量参与运算(包括求原函数和代入上下限)即可, 所得的结果通常是含 参数的表达式。
链接地址:https://www.31doc.com/p-4749448.html