高中数学必修二:两条直线的位置关系.pdf
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1、第 1 页 共 23 页 高中数学必修二 第二节 :两条直线的位置关系 1两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行: 对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有 l1l2? k1k2. 当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1 l2. (2)两条直线垂直: 如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有 l1l2? k1 k2 1. 当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0 时, l1 l2. 2两条直线的交点的求法 直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2y C20,则l1与 l2的交点坐标就是方程组 A1xB1yC10, A2xB2yC2
2、0 的解 3三种距离公式 P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离 |P1P2| x2x1 2 y 2y1 2 点 P0(x0,y0)到直线 l:AxByC0 的距离d |Ax0By0C| A 2B2 平行线 AxByC1 0与 AxByC20 间 距离 d |C1C2| A 2B2 1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)当直线 l1和 l2斜率都存在时,一定有 k1k2? l1l2.( ) (2)如果两条直线l1与 l2垂直,则它们的斜率之积一定等于 1.() (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交() (4)点 P(x0, y0)到直线 ykx
3、b的距离为 |kx0b| 1k 2.( ) (5)两平行直线2xy10,4x2y10 间的距离是0.() 答案: (1)(2)(3)(4)(5) 第 2 页 共 23 页 2若直线ax2y 10 与直线 2x3y10 垂直,则a 的值为 () A 3B 4 3 C 2 D3 解析: 选 D直线 ax 2y10 的斜率 k1 a 2,直线 2x3y10 的斜率 k2 2 3, 因为两直线垂直,所以 a 2 2 3 1,即 a3. 3 (教材习题改编)已知点 (a,2)(a0)到直线 l: xy30 的距离为 1, 则 a 的值为 () A.2B22 C.21 D.2 1 解析: 选 C由题意知
4、|a23| 2 1, |a1|2,又 a0, a21. 4若直线2xy 10,yx1, yax 2交于一点,则a 的值为 _ 解析: 由 2xy 10, yx1 得 x 9, y 8. 即直线 2x y 10 与 yx1 相交于点 (9, 8) 又因为直线2xy 10,yx1,yax2 交于一点, 所以 8 9a2,解得 a 2 3. 答案: 2 3 5 已知直线 3x4y30 与直线 6x my140 平行, 则它们之间的距离是_ 解析: 6 3 m 4 14 3, m8,直线 6x my14 0 可化为 3x4y70,两平行线 之间的距离d | 37| 3 2422. 答案: 2 考点一两
5、条直线的位置关系基础送分型考点 自主练透 考什么 怎么考 两条不同直线的位置关系有平行、相交 垂直是其中一种特殊情况两种情况, 要求能根 据直线方程判断两条直线的位置关系,利用两条直线平行、垂直求其中一条直线的方程或 参数的取值范围,多以选择题、填空题的形式命题,难度较易,属于基础题. 第 3 页 共 23 页 1已知过点A( 2,m)和点 B(m,4)的直线为l1,直线 2xy10 为 l2,直线 x ny 10 为 l3.若 l1l2, l2l3,则实数mn 的值为 () A 10B 2 C 0 D8 解析: 选 Al1 l2, 4m m 2 2(m 2),解得 m 8(经检验, l 1与
6、 l2不重合 ), l2l3, 211n0,解得 n 2, mn 10. 2已知经过点A(2,0)和点 B(1,3a)的直线 l1与经过点 P(0, 1)和点 Q(a, 2a)的直 线 l2互相垂直,则实数a 的值为 _ 解析: l1的斜率 k1 3a0 1 2 a. 当 a0 时, l2的斜率 k2 2a 1 a0 12a a . 因为 l1l2,所以 k1k2 1,即 a 1 2a a 1,解得 a1. 当 a0 时, P(0, 1),Q(0,0),这时直线l2为 y 轴, A(2,0),B(1,0),直线 l1为 x 轴,显然l1l2. 综上可知,实数a 的值为 1 或 0. 答案: 1
7、 或 0 3已知两直线l1:mx8yn0 和 l2:2xmy1 0,试确定 m,n 的值,使 (1)l1与 l2相交于点 P(m, 1); (2)l1l2; (3)l1l2,且 l1在 y 轴上的截距为 1. 解: (1)由题意得 m 28n0, 2mm10, 解得 m1, n7. 即 m1,n 7时, l1与 l2相交于点P(m, 1) (2)l1l2, m 2160, m 2n0, 解得 m4, n2 或 m 4, n2. 即 m4,n 2 或 m 4,n2 时, l1l2. (3)当且仅当2m8m0, 即 m0 时, l1l2. 第 4 页 共 23 页 又 n 8 1, n 8. 即
8、m0,n 8时, l1 l2,且 l1在 y轴上的截距为1. 怎样快解 准解 1解题要 “ 前思后想 ” 解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想 ” 2方法要 “因题而定 ” (1)已知两直线的斜率存在,判断两直线平行垂直的方法 两直线平行? 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等; 两直线垂直? 两直线的斜率之积等于1. (2)由一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1:A1xB1yC1 0(A 2 1B 2 10) l2:A2xB2yC2 0(A 2 2B 2 20) l1与 l2垂直的充要条 件 A1A2 B1B20 l1与 l2平行的充分条 件 A1 A2 B1 B2 C
9、1 C2(A2B 2C20) l1与 l2相交的充分条 件 A1 A2 B1 B2(A2B20) l1与 l2重合的充分条 件 A1 A2 B1 B2 C1 C2(A2B 2C20) 注意 在判断两直线位置关系时,比例式 A1 A2与 B1 B2, C1 C2的关系容易记住, 在解答选 择、填空题时,建议多用比例式来解答 考点二距离问题重点保分型考点 师生共研 距离问题包括两点间的距离、点到直线的距离以及两条平行线间的距离,多以选择题 或填空题的形式考查,难度偏小,属于基础题. 典题领悟 第 5 页 共 23 页 1若 P,Q 分别为直线3x4y12 0与 6x8y50 上任意一点,则|PQ|
10、的最小值 为() A. 9 5 B.18 5 C. 29 10 D.29 5 解析: 选 C因为 3 6 4 8 12 5 ,所以两直线平行, 将直线 3x 4y120 化为 6x8y240, 由题意可知 |PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, 即 |245| 6 282 29 10,所以 |PQ|的最小值为 29 10. 2已知A(4, 3),B(2, 1)和直线l:4x 3y20,若在坐标平面内存在一点P, 使|PA|PB|,且点 P 到直线 l 的距离为 2,则 P 点坐标为 _ 解析: 设点 P 的坐标为 (a,b) A(4, 3),B(2, 1), 线段 AB 的中点 M 的坐标
11、为 (3, 2) 而 AB 的斜率 kAB 31 42 1, 线段 AB 的垂直平分线方程为y2x3, 即 xy50. 点 P(a,b)在直线 xy50 上, ab50. 又点 P(a,b)到直线 l:4x3y20 的距离为2, |4a3b 2| 4 2 32 2,即 4a3b2 10, 由联立解得 a1, b 4 或 a27 7 , b 8 7. 所求点P的坐标为 (1, 4)或 27 7 , 8 7 . 答案: (1, 4)或 27 7 , 8 7 解题师说 第 6 页 共 23 页 距离问题的常见题型及解题策略 (1)求两点间的距离关键是确定两点的坐标,然后代入公式即可,一般用来判断三角
12、 形的形状等 (2)解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线 的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在 (3)求两条平行线间的距离要先将直线方程中x,y 的对应项系数转化成相等的形式, 再利用距离公式求解也可以转化成点到直线的距离问题 冲关演练 1若点 P 是曲线 yx 2ln x 上任意一点, 则点 P 到直线 yx2 的最小距离为 () A. 2 2 B1 C.2 D2 解析: 选 C因为点 P 是曲线 y x2ln x 上任意一点,所以当点P 处的切线和直线y x2 平行时,点P 到直线 yx2 的距离最小因为直线yx2 的斜率等于1,
13、曲线 y x2 ln x 的导数 y 2x 1 x ,令 y1,可得 x1 或 x 1 2(舍去 ),所以在曲线 yx 2 ln x 上与直线yx2 平行的切线经过的切点坐标为(1,1), 所以点 P 到直线 yx2 的最 小距离为2,故选 C. 2若动点A,B 分别在直线l1:xy70 和 l2:xy50 上移动,则 AB 的中点 M 到原点的距离的最小值为() A 3 2 B2 2 C 3 3 D42 解析: 选 A依题意知AB 的中点 M 的集合为与直线l1:xy70 和 l2: xy5 0 距离都相等的直线,则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离设点M 所在直 线的方程为l:
14、xym 0,根据平行线间的距离公式得 |m7| 2 |m5| 2 ? |m 7|m5| ? m 6, 即 l: xy60.根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 |6| 2 32. 考点三对称问题题点多变型考点 追根溯源 对称问题主要包括中心对称和轴对称两类问题,中心对称就是点(线)关于点的对称,轴 对称就是点 (线 )关于线的对称,此类问题多以选择题或填空题的形式考查,难度适中 常见的命题角度有: 第 7 页 共 23 页 (1)点关于点的对称;(2)点关于线的对称; (3)线关于点的对称;(4)线关于线的对称 题点全练 角度 (一)点关于点的对称 1过点 P(0,1)作直线
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