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1、第 3 讲高考数学文化与人文价值 数学文化解读教育部考试中心函件关于 2017 年普通高考考试大纲修订内容的 通知要求 “增加中华优秀传统文化的考核内容,积极培育和践行社会主义核心 价值观,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用.比如,在数学中增加数学 文化的内容 .”因此,我们特别策划了此专题,将数学文化与数学知识相结合,选 取典型样题深度解读,希望能够给予广大师生的复习备考以专业的帮助与指导. 热点一算法中的数学文化 【例 1】(1)(2017 菏泽模拟 )公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正 多边形的边数无限增加时, 多边形面积可无限逼近圆的面积, 并创立了“割圆术”,
2、利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著 名的“徽率” . 如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为 _.(参考数据: sin 15 0.258 8,sin 7.5 0.130 5,31.732) (2)(2016 四川卷 )秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县 )人,他 在所著的数书九章中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的 算法,如图所示的程度框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输 入 n,x 的值分别为 3,2,则输出 v 的值为() A.9 B.18 C.20 D.35 解析(1)n6
3、,S1 26sin 60 3 3 2 2.5983.1,满足条件,退出循环 . 输出 n 的值为 24. (2)初始值 n3,x2,v1. 程序框图运行过程如下: i2v1224 i1v4219 i0v92018 i1 不满足条件 i0,退出循环 . 输出 v18. 答案(1)24(2)B 探究提高1.更相减损术、秦九韶算法和割圆术分别在人民教育出版社数学必 修 3(A 版)第 36 页,第 37页,第 45 页“算法案例 ”中出现 .其中更相减损术和 秦九韶算法分别在2015 年和 2016 年全国卷 中考过,因此割圆术将是以后命题 的热点 . 2.将数学文化嵌入到程序框图:(1)要读懂程序
4、框图,按程序框图依次执行;(2)要 理解数学文化的人文价值,树立正能量. 【训练 1】(2017衡水中学二调 )算学启蒙是由中国元代数学家朱世杰撰写 的一部数学启蒙读物,包括面积、体积、比例、开方、高次方程等. 名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自 半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a,b 分别为 5,2,则输出的 n 等于() A.2 B.3 C.4 D.5 解析当 n1 时,a15 2 ,b4,满足进行循环的条件, 当 n2 时,a45 4 ,b8 满足进行循环的条件, 当 n3 时,a135 8 ,b16 满足进行循环的
5、条件, 当 n4 时,a 405 16 ,b32 不满足进行循环的条件,退出循环.故输出的 n 值为 4. 答案C 热点二数列中的数学文化 【例 2】(1)(2017 江西红色七校联考 )九章算术之后,人们学会了用等差数 列的知识来解决问题, 张丘建算经卷上第 22题为: “今有女善织,日益功疾 (注: 从第 2 天开始,每天比前一天多织相同量的布),第一天织 5 尺布,现一月 (按 30 天计)共织 390 尺布”,则从第 2 天起每天比前一天多织 _尺布() A.1 2 B. 8 15 C.16 31 D.16 29 (2)中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行
6、健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算 相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天 走的路程为前一天的一半,走了6 天后到达目的地,请问第二天走了() A.192 里B.96 里 C.48 里D.24 里 解析(1)每天织布数依次构成一个等差数列 an ,其中 a15,设该等差数列的 公差为 d. 则一月织布总数 S303053029 2 d150435d390,解之得 d 16 29. (2)依题意, 6 天中每天行走的路程构成一个等比数列,记为an,其中公比 q1 2. 由题设有 a11 1 2 6 11 2 378,解得 a
7、1192. 则 a2a1q1921 296. 所以第二天走了 96 里. 答案(1)D(2)B 探究提高1.我国古代数学强调 “经世济用 ”,注重算理算法,其中很多问题可 转化为等差数列,等比数列问题. 2.两题以传统数学文化为载体考查数学的实际应用,求解的关键是将古代实际问 题转化为现代数学问题,建立数列模型,进行数列的基本计算,利用方程思想求 解. 【训练 2】(2017石家庄调研 )朱载堉 (15361611),是中国明代一位杰出的音乐 家、 数学家和天文历算家, 他的著作律学新说中制成了最早的“十二平均律”. 十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度 )分成十二个半音音程的律制,各
8、相邻两律之间的频率之比完全相等,亦称“十二等程律”. 即一个八度 13 个音, 相邻两个音之间的频率之比相等, 且最后一个音是最初那个音的频率的2 倍.设第 三个音的频率为 f1,第七个音的频率为f2.则f 2 f1( ) A. 3 2 B. 11 16 C.4122 D. 8 2 解析依题意, 13 个音的频率成等比数列,记为an,设公比为 q. 则 a13a1q 12,且 a132a1,q 1 12 2 , 所以 f2 f1 a7 a3q 4 4 1 12 2 3 2. 答案A 热点三立体几何中的数学文化 【例 3】(1)(2015 全国 卷)九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,
9、书中有如下问题: “今有委米依垣内角, 下周八尺,高五尺 .问: 积及为米几何?” 其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底 部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 () A.14 斛B.22 斛 C.36 斛D.66 斛 (2)我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅,提出了著名的祖暅原理:“幂势 即同,则积不容异” . “幂”是截面积, “势”是几何体的高, 意思是两等高立方 体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等 .已知某不规则几何体 与如图
10、三视图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为 () A.4 2 B.8 4 3 C.8 D.82 解析(1)设米堆的底面半径为r 尺,则 2r8,所以 r 16 .所以米堆的体积为V 1 4 1 3 r 25 12 16 2 5 320 9 (立方尺 ). 故堆放的米约有 320 9 1.6222(斛). (2)由三视图知,该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱. V正方体2 38,V 半圆柱 1 2( 1 2)2 , 三视图对应几何体的体积V8. 根据祖 暅原理,不规则几何体的体积VV8. 答案(1)B(2)C 探究提高1.本例以九章算术,祖暅原理为背景,相应考查圆锥的体积公
11、式、 三视图及其体积计算 .既检测了考生的基础知识和基本技能,又展示了中华民族的 优秀传统文化 . 2.两题很好地诠释了 关于 2017年普通高考考试大纲修订内容的通知中对数学 文化内容的要求,加强对中国优秀传统文化的考查,引导考生提高人文素养、传 承民族精神,树立民族自信心和自豪感,试题的价值远远超出试题本身. 【训练 3】(2017新乡三模 )九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈, 问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的楔体,下底面宽3 丈,长 4 丈;上棱长 2 丈,高一丈 .问它的体积是多少?”已知
12、1 丈为 10 尺,现将该楔体 的三视图给出如下图所示,其中网格纸上小正方形的边长为1 丈,则该楔体的体 积为() A.5 000 立方尺B.5 500 立方尺 C.6 000立方尺D.6 500 立方尺 解析该楔形的直观图如图中的几何体ABCDEF, 取 AB 的中点 G, CD 的中点 H, 连 FG,GH,HF,则该几何体的体积为四棱锥FGBCH 与三棱柱 ADEGHF 的体积之和,而三棱柱ADEGHF 可通过割补法得到一个高为EF,底面积为 S 1 231 3 2平方丈的一个直棱柱,故该楔形的体积 V2 32 1 32315 立方丈 5 000 立方尺. 答案A 热点四概率统计中的数学
13、文化 【例 4】(2017 郑州二模 )欧阳修在卖油翁中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地, 以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高 超,若铜钱直径 4 厘米,中间有边长为1 厘米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一 滴油(油滴大小忽略不计 ),则油恰好落入孔中的概率是() A.2 B.1 C. 1 2 D. 1 4 解析易知铜钱的面积S 224 ,铜钱小孔的面积S01.根据几何概型,所 求概率 PS 0 S 1 4 . 答案D 探究提高1.弘扬中华传统文化在数学中体现为两点:一是挖掘古代典籍与数学 知识的结合点;二是将数学落实在中华传统美德,贯彻“弘扬正能量 ”的精神风
14、 貌. 2.试题插图的创新是本题的一个亮点,其一,增强了数学问题的生活化,使数学 的应用更贴近考生的生活实际;其二,有利于考生分析问题和解决问题,这对稳 定考生在考试中的情绪和心态起到了较好的效果;其三,探索了数学试题插图的 新形式,给出了如何将抽象的数学问题直观化的范例. 【训练 4】我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮, 有人送来米 1 534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254 粒内夹谷 28 粒, 则这批米内夹谷约为 () A.134 石B.169 石 C.338 石D.1 365 石 解析由分层抽样的含义,该批米内夹谷约为 28 2541 534169(石).
15、 答案B 热点五推理与证明中的数学文化 【例 5】(1)(2017 南宁质检 )如图所示是毕达哥拉斯 (Pythagoras) 的生长程序:正 方形上连接着等腰直角三角形,等腰直角三角形边上再连接正方形,如此继续, 若共得到4 095 个正方形,设初始正方形的边长为 2 2 ,则最小正方形的边长为 _. (2)(2015 湖北卷 )九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四 棱锥称之为阳马, 将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳 马 PABCD 中,侧棱 PD底面 ABCD,且 PDCD,点 E 是 PC 的中点,连接 DE,BD,BE. 证明: DE平面 PBC
16、.试判断四面体 EBCD 是否为鳖臑,若是,写出其每个面 的直角 (只需写出结论 );若不是,请说明理由 . 记阳马 PABCD 的体积为 V1,四面体 EBCD 的体积为 V2,求 V1 V2的值. (1)解析依题意,正方形的边长构成以 2 2 为首项,公比为 2 2 的等比数列 . 因为共有 4 095个正方形,则 122 22n14 095,n12. 所以最小正方形的边长为 2 2 2 2 121 2 2 12 1 64. 答案 1 64 (2)证明因为 PD平面 ABCD,所以 PDBC, 由于底面 ABCD 为长方形,有 BCCD,且 PDCDD, 所以 BC平面 PCD. 由 DE
17、? 平面 PCD,所以 BCDE, 又 PDCD,点 E 是 PC 的中点,所以 DEPC. 由 PCBCC,故 DE平面 PBC. 由 BC平面 PCD,DE平面 PBC. 可知四面体 EBCD 的四个面都是直角三角形,则四面体EBCD 是一个鳖臑,其四 个面的直角分别是 BCD,BCE,DEC,DEB. 解由已知, PD 是阳马 PABCD 的高. V11 3S ABCD PD1 3 BC CD PD, 由知, DE 是鳖臑 DBCE 的高, BCCE. V21 3S BCE DE1 6 BC CE DE, 在 RtPDC 中,由于 PDCD,点 E 是 PC 的中点 . 所以 DECE
18、2 2 CD, 于是 V1 V2 1 3BC CD PD 1 6BC CE DE 2CD PD CE DE 4. 【训练 5】在我国南宋数学家杨辉所著的详解九章算法(1261 年)一书中, 用如图 1 所示的三角形,解释二项和的乘方规律.在欧洲直到 1623 年以后,法国 数学家布莱士 帕斯卡的著作 (1655 年)介绍了这个三角形 .近年来国外也逐渐承认 这项成果属于中国,所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图 1, 17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻 两行满足关系式: C r nC r1 nC r1 n1,其中 n
19、是行数, rN.请类比上式,在莱布尼 茨三角形中相邻两行满足的关系式是_. 图 1 图 2 解析类比观察得,将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数 1 C 1 n1,而相邻两项 之和是上一行的两者相拱之数,故类比式子C r n C r1 nC r1 n1,有 1 C 1 n1C r n 1 C 1 n2C r n1 1 C 1 n2C r1 n1 . 答案 1 C 1 n2C r n1 1 C 1 n2C r1 n1 1 C 1 n1C r n 热点六数学文化与现代科学 【例 6】2016 年 1 月 14 日,国防科工局宣布,嫦娥四号任务已经通过了探月 工程重大专项领导小组审议通过,正式开始实施 .如图所示, 假设“嫦娥四号”卫 星将沿地月转移轨道飞向月球后,在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一 个焦点的椭圆轨道绕月飞行, 之后卫星在 P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦 点的椭圆轨道绕月飞行 .若用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用 2a1 和 2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长,给出下列式子: a1c1a2c2; a1 c1a2c2; c1 a1a1c2.
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