高考解析几何解答题题型分析及解答策略(考前阅读).pdf
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1、1 高考解析几何解答题题型分析及解答策略 (考前阅读 ) 1定点 问题 (1)解析几何中直线过定点或曲线过定点问题是指不论直线或曲线中的参数如何变化,直线或曲线都 经过某一个定点 (2)定点问题是在变化中所表现出来的不变的点,那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、 比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就是要求的定点 2定值问题 解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小 或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关,不随参数的变化而变化,而始终是一个确定的值 3最值问题 圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变
2、,但总体上主要有两种方法:一是利用几何方法, 即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;二是利用代数方法,即把要求 最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数,然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 4圆锥曲线中的范围问题 (1)解决这类问题的基本思想是建立目标函数和不等关系 (2)建立目标函数的关键是选用一个合适的变量,其原则是这个变量能够表达要解决的问题;建立不 等关系的关键是运用圆锥曲线的几何特征、判别式法或基本不等式等灵活处理 5圆锥曲线中的存在性问题 (1)所谓存在性问题,就是判断满足某个(某些 )条件的点、直线、曲线(或参数 )等几何元素是否存在的 问
3、题 (2)这类问题通常以开放性的设问方式给出,若存在符合条件的几何元素或参数值,就求出这些几何 元素或参数值;若不存在,则要求说明理由 6圆锥曲线中的证明问题 圆锥曲线中的证明问题,主要有两类:一类是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系,如: 某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;另一类是证明直线与圆锥曲线中的一 些数量关系 (相等或不等 ) 7圆锥曲线与三角、向量的交汇问题 8圆锥曲线与数列、不等式的交汇问题 2 9圆锥曲线与函数、导数的交汇问题 10 热点一圆锥曲线中的 定点、定直线问题 例 1已知椭圆 E: x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0), 其右焦点
4、为 (1,0),点 P 1, 3 2 在椭圆 E 上 (1)求椭圆 E 的方程; 来源 :Z_xx_k.Com (2)过椭圆 E 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆E 交 于(不同于点A 的)M,N 两点,试判 断直线 MN 与 x 轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由 自主解答 (1)设椭圆 E 的左右焦点分别为F1,F2, 椭圆 E 右焦点为 (1,0), c1, 又点 P 1, 3 2 在椭圆 E 上, 2a|PF1|PF2| 1 1 23 2 2 11 23 2 24, a 2,ba2c23, 椭圆方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)当直线 MN
5、与 x 轴垂直时, 直线 AM 的方程为yx2,来源 学科网 ZXXK 联立 yx2, 3x 24y2 12, 得 7x216x40, 解得 x 2 7或 x 2(舍) 此时直线MN 的方程为 x 2 7,直线 MN 过 x 轴上一点 Q 2 7,0 . 当直线MN 不垂直于 x 轴时,设直线MN 的方程为ykxn. 则由 ykxn, 3x 24y2 12, 得(34k2)x28knx4n2120. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 当 (8kn)24 (34k2)(4n2 12) 0,即 n24k23b0)的离心率 e 2 2 ,左、右焦点分别为F1,F2,点 P(2,3), 点 F
6、2在线段 PF1的中垂线上 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:ykxm 与椭圆 C 交于 M,N 两点,直线F2M 与 F2N 的倾斜角分别为 , ,且 ,试问直线l 是否过定点?若过,求该定点的坐标 解: (1)由椭圆 C 的离心率e 2 2 ,得 c a 2 2 , 其中 ca2 b2, 椭圆 C 的左、右焦点分别为F1( c,0),F2(c,0) 又点 F2在线段 PF1的中垂线上, |F1F2| |PF2|, (2c)2(3)2(2c)2, 解得 c1, a22, b21. 椭圆的方程为 x 2 2 y21. (2)由题意直线MN 的方程为y kxm, 由 x 2 2 y2
7、 1, ykxm, 消去 y 得(2k21)x24kmx2m22 0. x y yb M A P B O 2 2xpy 4 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 则 x1x2 4km 2k 21, x1x2 2m 2 2 2k 21,且 kF 2M kx1m x11 ,kF 2 Nkx 2m x21 . 由已知 得 kF 2MkF2N0, 即 kx1m x11 kx2m x21 0. 化简得 2kx1x2(mk)(x1x2) 2m0, 所以 2k 2m 2 2 2k 214km m k 2k 21 2m0, 整理得 m 2k. 故直线 MN 的方程为yk(x 2), 因此直线MN 过定点,
8、该定点的坐标为(2,0). 例 3. 已知动点P到定直线2x的距离与到定点F(1,0)的距离的差为1. (1) 求动点 P的轨迹方程; (2) 若 O为原点, A、B是动点 P的轨迹上的两点, 且AOB的面积 SAOBm tan AOB ,试求m的最小值; (3) 求证:在( 2)的条件下,直线AB恒过一定点 . 并求出此定点的坐标. 解: (1)依题意知动点P到定点 F(1,0)的距离与到定直线1x的距离相等, 由抛物线的定义可知动点P的轨迹方程是 2 4yx (2)设 22 12 12 (,),(,) 44 yy AyBy 1 sin 2 AOB SOA OBAOB,又tan AOB Sm
9、AOB 1 sin 2 OA OBAOB= tanmAOB 11 cos 22 mOA OBAOBOAOB 22 12 12 1 () 216 y y y y 2 12 1 (8)2 32 y y min 2m,此时 12 8y y (3)当 22 12 yy时,直线AB的方程为 2 121 122 12 () 4 44 yyy yyx yy 5 即 2 1 1 12 4 () 4 y yyx yy 12 1212 4y y yx yyyy 12 8y y 直线 AB的方程为 12 4 (2)yx yy 即直线 AB恒过定点( 2,0) 例 4 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab
10、 外一点 00 (,)P xy,当过P的动直线l与椭圆交于不同的两点A, B时,在线段AB上取一点Q,满足 | | APAQ PBQB 。 求证:点Q总在某定直线上,并求出该直线的方程。 证明:设 1122 (,),(,),( ,)A x yB xyQ x y,由题意知 | | APAQ PBQB 设A在P,Q之间, (0)PAAQ ,又Q在P,B之间,故 PBBQ, 又因为| |PBBQ,所以1。由(0)PAAQ得 101011 (,)(,)xxyyxx yy,解得 0 1 0 1 1 1 xx x yy y 。 同理,由PBBQ得 202022 (,)(,)xxyyxxyy解得 0 2 0
11、 2 1 1 xx x yy y 。 因为点A在椭圆上,所以 22 00 22 ()() 11 1 xxyy ab , 即 22200 22 ()()(1) xxyy ab 同理,由点 B在椭圆上,可得 6 22200 22 ()()(1) xxyy ab 由整理得 00 22 1 x xy y ab 所以点Q在定直线 00 22 1 x xy y ab 上。 热点一圆锥曲线中的定值 问题 例 5(2013 山东高考 )椭圆 C: x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的左、右焦点分别是 F1,F2,离心率为 3 2 ,过 F1且垂直于 x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求
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