高考数学一轮复习知识点与练习平面向量的数量积.pdf
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1、专注专业口碑极致 - 1 - 1 向量的夹角 已知两个非零向量a 和 b,作 OA a,OB b,则 AOB 就是向量a 与 b 的夹角,向量夹角的范围是 0, 2 平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b 的夹角为 ,则数量 |a|b| cos 叫做 a 与 b 的数量积 (或 内积 ),记作 a b 投影 |a|cos 叫做向量a 在 b 方向上的投影, |b|cos 叫做向量b在 a 方向上的投影 几何意义数量积 a b等于 a 的长度 |a|与 b在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积 3.平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量, 为 a 与 b(或 e
2、)的夹角则 (1)e aa e|a|cos . (2)ab? a b0. (3)当 a与 b 同向时, a b|a|b|;当 a 与 b 反向时, a b |a|b|. 特别地, a a|a| 2 或|a|a a. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. 4 平面向量数量积满足的运算律 (1)a bb a; (2)( a) ba ( b) (a b) ab( 为实数 ); (3)(ab) ca cb c. 5 平面向量数量积有关性质的坐标表示 专注专业口碑极致 - 2 - 设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),则 a bx1x2 y1y2,由此得到 (1)若 a(
3、x,y),则 |a| 2x2y2 或|a|x2y2. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离|AB|AB |x2x1 2 y 2y1 2. (3)设两个非零向量a,b,a (x1,y1),b(x2, y2),则 ab? x1x2y1y20. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量() (2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量() (3)在四边形ABCD 中, AB DC 且AC BD 0,则四边形ABCD 为矩形 () (4)两个向量的夹角的范围是0, 2
4、( ) (5)由 a b0 可得 a0 或 b0.() (6)(a b)ca(b c)() 1已知向量a 与 b的夹角为 30 ,且 |a| 1,|2ab|1,则 |b|_. 2 (2015 山东改编 )已知菱形 ABCD 的边长为a, ABC60 ,则 BD CD _. 3已知单位向量e1,e2的夹角为 ,且 cos 1 3,若向量 a3e12e2,则 |a|_. 4已知 A,B,C 为圆 O 上的三点,若 AO 1 2(AB AC ),则 AB 与AC 的夹角为 _ 5(教材改编 )已知 |a|5,|b|4,a 与 b 的夹角 120 ,则向量 b 在向量 a 方向上的投影为_ 专注专业口
5、碑极致 - 3 - 题型一平面向量数量积的运算 例 1(1)(2015 四川 )设四边形ABCD 为平行四边形, |AB |6, |AD | 4,若点 M, N 满足 BM 3MC ,DN 2NC ,则 AM NM _. (2)已知正方形ABCD 的边长为1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE CB 的值为 _; DE DC 的最大 值为 _ 思维升华(1)求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何 意义 (2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时,可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律 化简再运算,但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补
6、 (1)如图, 在平行四边形ABCD 中,已知 AB8,AD5,CP 3PD ,AP BP 2,则AB AD _. (2)已知正方形ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE BD _. 题型二用数量积求向量的模、夹角 命题点 1求向量的模 例 2(1)已知向量a,b 均为单位向量,它们的夹角为 3,则 |a b|_. (2)(2014湖南 )在平面直角坐标系中,O 为原点, A(1,0),B(0,3),C(3,0),动点D 满足 |CD |1, 则|OA OB OD |的最大值是 _ 命题点 2求向量的夹角 例 3(1)(2015 重庆 )若非零向量a, b满足 |a| 2 2
7、3 |b|, 且(ab)(3a2b), 则 a与 b的夹角为 _ (2)若向量 a (k,3),b (1,4),c(2,1),已知 2a3b 与 c 的夹角为钝角,则k 的取值范围是_ 思维升华(1)根据平面向量数量积的定义,可以求向量的模、夹角,解决垂直、夹角问题;两向量夹 角 为锐角的充要条件是cos 0 且两向量不共线; 专注专业口碑极致 - 4 - (2)求向量模的最值(范围 )的方法: 代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法 求解; 几何法 (数形结合法 ),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解 (1)已知单位向量e1与 e2的夹角为 ,且 cos 1
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