高中数学选修2-2数系的扩充和复数的概念.pdf
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1、第 1 页 共 8 页 3.1.1数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的基本概念及复数 相等的充要条件. 知识点一复数的引入 在实数范围内,方程x210 无解 .为了解决x210 这样的方程在实数系中无解的问题, 我们设想引入一个新数i,使 i 是方程 x2 10 的根,即使i i 1.把这个新数i 添加到实 数集中去,得到一个新数集.把实数 a 与实数 b 和 i 相乘的结果相加, 结果记作 abi(a, bR), 这些数都应在新数集中.再注意到实数a 和数 i,也可以看作是abi(a,b R)这样的数的特 殊形式, 所以实数系经过扩
2、充后得到的新数集应该是Cabi|a,bR ,称 i 为虚数单位 . 思考(1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x425. (2)虚数单位i 有哪些性质? 答案(1)在有理数集中:x425(x25)(x25). 在实数集中: x 425 (x25)(x25) (x25)(x5)(x5). 在复数集中: x425 (x25)(x25) (x25)(x5)(x5) (x5i)(x5i)( x5)(x5). (2)虚数单位i 有如下几个性质: i 的平方等于 1,即 i2 1; 实数与i 可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成立; i 的乘方: i4n1, i4n 1i,i4n2 1
3、,i4n3 i(nN*). 知识点二复数的概念、分类 1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如abi 的数叫做复数,其中a,bR,i 叫做虚数单位 .a 叫做复数的实 第 2 页 共 8 页 部, b 叫做复数的虚部. (2)复数的表示方法:复数通常用字母z 表示,即zabi. (3)复数集定义:全体复数所构成的集合叫做复数集.通常用大写字母C 表示 . 2.复数的分类及包含关系 (1)复数 (abi,a,b R) 实数 b0 虚数 b0 纯虚数 a0 非纯虚数a0 (2)集合表示: 思考(1)两个复数一定能比较大小吗? (2)复数 abi 的实部是a,虚部是 b 吗? 答案(1)不一定,只
4、有当这两个复数是实数时,才能比较大小. (2)不一定,对于复数zabi(a,bR),实部才是a,虚部才是b. 知识点三复数相等 复数相等的充要条件 设 a,b,c,d 都是实数,那么abicdi? ac 且 bd.即它们的实部与虚部分别对应相 等. 思考(1)若复数 zabi(a,bR).z0,则 ab 的值为多少? (2)若复数 z1,z2为 z13 ai(aR),z2b i(bR),且 z1z2,则 ab 的值为多少? 答案(1)0;(2)4. 题型一复数的概念 例 1写出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,虚数,还是纯虚数. 23i; 3 1 2i; 2i; ;3i; 0. 解的实部
5、为2,虚部为 3,是虚数; 的实部为 3,虚部为 1 2,是虚数; 的实部为 2, 虚部为 1,是虚数; 的实部为 ,虚部为0,是实数; 的实部为0,虚部为3,是纯 虚数; 的实部为0,虚部为0,是实数 . 反思与感悟复数 abi(a,bR)中,实数 a 和 b 分别叫做复数的实部和虚部.特别注意, b 第 3 页 共 8 页 为复数的虚部而不是虚部的系数,b 连同它的符号叫做复数的虚部. 跟踪训练1下列命题中,正确命题的个数是() 若 x, yC,则 xyi1i 的充要条件是xy1; 若 a, bR 且 a b,则 aibi; 若 x2y20,则 xy0. A.0 B.1 C.2 D.3 答
6、案A 解析由于 x, yC, 所以 xyi 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件, 所以 是假命题 .由于两个虚数不能比较大小,所以是假命题 .当 x1,y i 时, x2 y 20 成立,所以 是假命题 .故选 A. 题型二复数的分类 例 2设 z 1 2 log(m1)ilog2(5m)(mR). (1)若 z 是虚数,求m 的取值范围; (2)若 z 是纯虚数,求m 的值 . 解(1)因为 z是虚数,故其虚部log2(5 m)0, m 应满足的条件是 m 10, 5m0, 5m1, 解得 1m5,且 m4. (2)因为 z是纯虚数,故其实部 1 2 log(m1)0,虚部 l
7、og2(5 m)0, m 应满足的条件是 m11, 5m0, 5m1, 解得 m2. 反思与感悟将复数化成代数形式zabi(a,bR),根据复数的分类:当b 0 时, z 为 实数;当b0 时, z 为虚数;特别地,当b0,a0 时, z 为纯虚数,由此解决有关复数 分类的参数求解问题. 跟踪训练 2实数 k 为何值时,复数 z(1 i)k2(35i)k2(23i)分别是 (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数; (4)零. 解由 z (1i)k2(3 5i)k2(23i)(k23k4)(k25k6)i. (1)当 k 25k60 时, zR,即 k6 或 k 1. (2)当 k 25k60
8、 时, z 是虚数,即 k 6 且 k 1. (3)当 k 23k 40, k 25k 60 时, z 是纯虚数,解得k4. 第 4 页 共 8 页 (4)当 k 23k 40, k 25k 60 时, z0,解得 k 1. 题型三两个复数相等 例 3(1)已知 x2y22xyi 2i,求实数x,y 的值 . (2)关于 x 的方程 3x 2a 2x 1(10x 2x 2)i 有实根,求实数 a 的值 . 解(1)x2y22xyi2i, x 2y20, 2xy2, 解得 x1, y1, 或 x 1, y 1. (2)设方程的实数根为xm,则原方程可变为 3m 2a 2m1 (10m2m 2)i
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