高考数学一轮复习知识点与练习均值和方差.pdf
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1、专注专业口碑极致 - 1 - 1 离散型随机变量的均值与方差 一般地,若离散型随机变量X 的概率分布为 X x1x2xixn P p1p2pipn (1)均值:称 E(X) x1p1x2p2 xipi xnpn为随机变量 X 的均值或数学期望,它反映了离散 型随机变量取值的平均水平 (2)方差:称V(X) 2 (x 1 ) 2p 1(x2 ) 2p 2 (xn ) 2p n n i1x 2 ipi 2 为随机变量X 的方差,它刻 画了随机变量X 与其均值 E(X)的平均偏离程度,其算术平方根 V X 为随机变量X 的标准差 2 均值与方差的性质 (1)E(aXb)aE(X) b. (2)V(a
2、Xb)a 2V(X)(a,b 为常数 ) 3 两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则E(X)_p_,V(X)p(1p) (2)若 XB(n,p),则 E(X)_np_,V(X)np(1p) 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定() (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离 变量的平均程度越小() (3)若随机变量X 的取值中的某个值对应的概率增大时,期望值也增大() (4)均值是算术平均数概念的推广,与概率无关() 专注专业口碑极致
3、- 2 - 1 (教材改编 )某射手射击所得环数 的概率分布如下: 78910 P x 0.10.3y 已知 的均值 E( )8.9,则 y 的值为 _ 2(2014 陕西改编 )设样本数据x1,x2,x10的均值和方差分别为 1 和 4,若 yixia(a 为非零常数, i1,2, 10),则 y1,y2, y10的均值和方差分别为 _ 3设随机变量X 的概率分布为P(X k) 1 5(k2,4,6,8,10),则 V(X)_. 4 (2014 浙江改编 )随机变量 的取值为0,1,2.若 P( 0)1 5,E( )1,则 V( )_. 5 (教材改编 )抛掷两枚骰子,当至少一枚5 点或一枚
4、6 点出现时,就说这次试验成功,则在10 次试 验中成功次数的均值为_ 题型一离散型随机变量的均值、方差 命题点 1求离散型随机变量的均值、方差 例 1(2015 福建 )某银行规定, 一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误,该银行卡将被锁定小 王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6 个 密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试若密码正确,则结束尝试;否则继续尝试, 直至该银行卡被锁定 (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求 X 的概率分布和均值 命题点 2已知离散型随机变量的均
5、值与方差,求参数值 专注专业口碑极致 - 3 - 例 2设袋子中装有a 个红球, b 个黄球, c 个蓝球,且规定:取出一个红球得1 分,取出一个黄球得 2 分,取出一个蓝球得3 分 (1)当 a3,b2, c1 时,从该袋子中任取(有放回,且每球取到的机会均等)2 个球,记随机变量 为取出此2 球所得分数之和,求 的概率分布; (2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1 个球,记随机变量为取出此球所得分数若 E( ) 5 3, V( ) 5 9,求 ab c. 命题点 3与二项分布有关的均值与方差 例 3某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统 )A 和 B,系统 A 和系统 B
6、在任意时刻发生 故障的概率分别为 1 10和 p. (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 49 50 ,求 p 的值; (2)设系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 ,求 的概率分布及均值E( ) 思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略 (1)求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布,然后利用均值、 方差公式直接求解 (2)由已知均值或方差求参数值可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程,解方程即可求 出参数值 (3)由已知条件,作出对两种方案的判断可依据均值、方差的意义,对实际问题作出判断 (1)(20
7、14 山东 )乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分, 如图,甲上有两个不相交的区域A, B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球规定: 回球一次,落点在C 上记 3 分,在 D 上记 1 分,其他情况记0 分对落点在A 上的来球,队员小明回 专注专业口碑极致 - 4 - 球的落点在C 上的概率为 1 2,在 D 上的概率为 1 3;对落点在 B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概 率为 1 5,在 D 上的概率为 3 5.假设共有两次来球且落在 A,B 上各一次,小明的两次回球互不影响求: 小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; 两次回球结
8、束后,小明得分之和 的概率分布与均值 (2)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立 求在未来连续3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于100 个且另 1天的日销售量低于50 个的概率; 用 X 表示在未来3 天里日销售量不低于100 个的天数, 求随机变量X 的概率分布,均值E(X)及方差 V(X) 题型二均值与方差在决策中的应用 例 4(2014 湖北 )计划在某水库建一座至多安装3 台发电机的水电站过去50 年的水文资料显示,水 库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和单位
9、:亿立方米)都在 40 以上其中,不 专注专业口碑极致 - 5 - 足 80 的年份有10 年,不低于80 且不超过 120 的年份有35 年,超过120 的年份有5 年,将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的入流量相互独立 (1)求未来 4 年中,至多有1 年的年入流量超过120 的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制,并有如下 关系: 年入流量X 40120 发电机最多可运行台数123 若某台发电机运行,则该台年利润为5 000 万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800 万元欲 使水电站年总利润的均值达到最大,
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