高中数学题型全面归纳复数.pdf
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1、第十五章复数 本章知识结构图 考纲解读 1.理解复数的基本概念. 2.理解复数相等的充要条件. 3.了解复数的代数表示方法及其几何意义. 4.会进行复数代数形式的四则运算. 5.了解复数代数的加、减运算的几何意义. 命题趋势探究 复数的代数运算、 代数表示及其几何意义是高考的必考内容,题型多为选择题或填空题, 考题难度为低档. 知识点讲解 一、基本概念 (1)i叫虚数单位, 满足 2 1i,当kZ时, 4414243 1,1, kkkk iii iii. (2)形如( ,)abi a bR的数叫复数,记作abiC. 复数( ,)zabi a bR与复平面上的点( , )Z a b一一对应,a叫
2、 z 的实部, b 叫 z 的虚部;0,bzRZ 点组成实轴;0,bz叫虚数;0b且0a,z 叫纯虚数,纯 虚数对应点组成虚轴(不包括原点)。两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数. 两个复数,( , , ,)abi cdi a b c dR相等 ac bd (两复数对应同一点) 复数的模:复数( ,)abi a bR的模,也就是向量OZ的模,即有向线段OZ的长 度,其计算公式为 22 | |zabiab,显然, 2222 | | |,zabiabz zab. 二、基本性质 1.复数运算 (1)()()()()iabicdiacbd 概念虚数、纯虚数、实部、虚部、实轴、虚轴、模、共轭复
3、数 几何意义 运算 复数与复平面内点(向量)的对应关系、模的几何意义 加、减、乘、除、乘方 复数 (2)() ()()()abicdiacbdadbc i 222 22 () ()z z| | | | ) 2 abiabiabz zz zza ( 注意 其中 22 | |zab ,叫 z 的模; zabi是zabi的共轭复数 ( ,)a bR . (3) 22 22 () ()()() (0) () () abiabicdiacbdbcad i cd cdicdicdicd . 实数的全部运算律(加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则)都 适用于复数 . 2.复数的几何意义 (
4、1)复数( ,)zabi a bR对应平面内的点( , )z a b; (2)复数( ,)zabi a bR对应平面向量OZ; (3)复平面内实轴上的点表示实数,除原点外虚轴上的点表示虚数,各象限内的点都 表示复数 . (4)复数( ,)zabi a bR的模|z表示复平面内的点( , )z a b到原点的距离. 题型归纳与思路提示 题型 190 复数概念及其代数运算 思路提示 无论是复数模、共轭复数、复数相等或代数运算都要认清复数包括实部和虚部两部分, 所以在解决复数有关问题时要将复数的实部和虚部都认识清楚. 例 15.1(2017 课标 1,理 3)设有下面四个命题 1 p:若复数z满足
5、1 z R,则zR; 2 p:若复数z满足 2 zR,则zR; 3 p:若复数 12 ,z z满足 12 z zR,则 12 zz; 4 p:若复数zR,则zR. 其中的真命题为 A. 13 ,p pB 14 ,ppC 23 ,ppD 24 ,pp 变式 1(2016 年北京卷9)设 a R,若复数( 1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a=_。 变式2 ( 2017 年天津理9) 已知aR, i 为虚数单位,若 i 2i a 为实数,则a 的值 为. 变式 3(2017 年全国卷I 理3)设有下面四个命题 :若复数满足,则;:若复数满足, 则; :若复数满足,则;:若复数,
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