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1、1 3.1.2复数的几何意义 学习目标 1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数,及它们之间的一一对 应关系 .2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法. 知识点一复平面的概念和复数的几何意义 1.复平面的概念 根据复数相等的定义,任何一个复数zabi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定 . 因为有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对应,所以复数与平面直角坐标系中的 点之间可以建立一一对应. 如图所示,点Z 的横坐标是a,纵坐标是b,复数 zabi 可用点 Z(a,b)表示 .这个建立了 直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,
2、 y 轴叫做虚轴 .显然,实轴上的点 都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的几何意义 按照这种表示方法,每一个复数,有复平面内唯一的一个点和它对应;反过来,复平面内的 每一个点,有唯一的一个复数和它对应.因此,复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是 一一对应的,即复数zabi复平面内的点Z(a,b),这是复数的一种几何意义. 3.复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中,每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示,而有序实数对与复 数是一一对应的.这样,我们还可以用平面向量来表示复数. 如图所示,设复平面内的点Z 表示复数zabi,连接 OZ,显然向量
3、OZ 由点 Z 唯一确定; 反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由向量 OZ 唯一确定 .因此,复数集C 与复平面内的向 量所成的集合也是一一对应的(实数 0与零向量对应), 即复数 zabi平面向量 OZ , 这是复数的另一种几何意义. 2 思考(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗? (2)象限内的点与复数有何对应关系? 答案(1)不是 . (2)第一象限的复数特点:实部为正,且虚部为正; 第二象限的复数特点:实部为负,且虚部为正; 第三象限的复数特点:实部为负,且虚部为负; 第四象限的复数特点:实部为正,且虚部为负. 知识点二复数的模 1.如图所示,向量OZ 的模 r 叫做复数zabi(
4、a,bR)的模,记作 |z|或|abi|.如果 b0, 那么 z abi 是一个实数a,它的模等于 |a|(就是 a 的绝对值 ).由模的定义可知:|z| |a bi| ra2b2(r0,rR). 2.复数的模的性质,设z1,z2是任意两个复数,则 (1)|z1 z2|z1| |z2|, z1 z2 |z1| |z2|(|z 2|0)(复数的乘、除法将在下节学习到). (2)|z n 1|z1| n(nN*). (3)|z1| |z2| |z1z2|z1|z2|,等号成立的条件是:当|z1z2|z1| |z2|时,即 z1,z2所对 应的向量同向共线;当|z1| |z2|z1z2|时,即 z1
5、,z2所对应的向量反向共线. (4)|z1|z2|z1z2|z1|z2|,等号成立的条件是:当|z1z2|z1|z2|时,即 z1,z2所对 应的向量反向共线;当|z1| |z2|z1z2|时,即 z1,z2所对应的向量同向共线. 思考复数的模的几何意义是什么? 答案复数 z 在复平面内对应的点为Z,复数 z0在复平面内对应的点为Z0,r 表示一个大于 0 的常数,则: 满足条件 |z|r 的点 Z 的轨迹为以原点为圆心,r 为半径的圆, |z|r 表示圆的内部,|z|r 表示圆的外部; 满足条件 |zz0|r 的点 Z 的轨迹为以 Z0为圆心,r 为半径的圆, |zz0|r 表示圆的内部,
6、|zz0|r 表示圆的外部. 3 题型一复数与复平面内的点 例 1在复平面内,若复数z (m 22m8)(m23m10)i 对应的点: (1)在虚轴上; (2)在 第二象限; (3)在第二、四象限;(4)在直线 yx 上,分别求实数m 的取值范围 . 解复数 z(m2 2m8)(m23m10)i 的实部为 m22m8,虚部为m23m10. (1)由题意得m 22m80. 解得 m 2 或 m4. (2)由题意, m 22m 80, m 23m 100, 20,得 m5,所以当m5 时,复数z 对应的点在 x 轴上方 . (2)由(m 25m6)(m22m15)40, 得 m1 或 m 5 2,
7、所以当 m 1 或 m 5 2时, 复数 z 对应的点在直线x y40 上. 题型二复数的模的几何意义 例 2设 zC,在复平面内对应点Z,试说明满足下列条件的点Z 的集合是什么图形. (1)|z|2; (2)1|z|2. 解(1)方法一|z|2 说明复数z 在复平面内对应的点Z 到原点的距离为2,这样的点Z 的 集合是以原点O 为圆心, 2 为半径的圆 . 方法二设 za bi,由|z|2,得 a 2b24.故点 Z 对应的集合是以原点 O 为圆心, 2 为半 径的圆 . (2)不等式 1|z|2 可以转化为不等式组 |z|2, |z|1. 4 不等式 |z|2 的解集是圆 |z|2 及该圆
8、内部所有点的集合. 不等式 |z|1 的解集是圆 |z|1 及该圆外部所有点的集合. 这两个集合的交集,就是满足条件1 |z| 2 的点的集合 .如图中的阴影部分,所求点的集合 是以 O 为圆心,以1 和 2 为半径的两圆所夹的圆环,并且包括圆环的边界. 反思与感悟解决复数的模的几何意义的问题,应把握两个关键点:一是 |z|表示点 Z 到原点 的距离,可依据 |z|满足的条件判断点Z的集合表示的图形;二是利用复数的模的概念,把模 的问题转化为几何问题来解决. 跟踪训练2若复数z 满足 |zi|2(i 为虚数单位 ),则z 在复平面所对应的图形的面积 为. 答案2 解析设 zxyi(x, yR)
9、,则zixyii x(y1)i ,|z i|x2 y1 2,由 |z i|2知x 2 y12 2, x 2(y1)22.复数 z对应的点 (x, y)构成以 (0,1)为圆心, 2 为半径的圆面 (含边界 ), 所求图形的面积为S 2.故填 2. 题型三复数的模及其应用 例 3已知复数z3ai,且 |z|0,m10.选 B. 6.设 A、B 为锐角三角形的两个内角,则复数z(cos Btan A)tan Bi 对应的点位于复平面 的() A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 答案B 解析因 A、B 为锐角三角形的两个内角,所以AB 2,即 A 2B, sin Acos B.cos
10、B tan Acos B sin A cos Acos Bsin A0,又 tan B0,所以点 (cos Btan A,tan B)在第二象 限,故选 B. 二、填空题 7.设 zlog2(m 23m3)i log2(m3)(m R),若 z对应的点在直线 x2y10 上,则 m 的值是. 答案15 解析由题意知,复数z xyi(x,yR)的实部 x 和虚部 y 满足方程x 2y1 0, 故 log2(m23m3)2log2(m3)10, 则 log2 m 23m3 m3 2 1, m 23m3 m3 21 2,m 15. m 23m3 0, m3 0, m3 21 2 , m15. 8.若
11、复数 z5cos 4i(i 为虚数单位, 0)在复平面上的对应点在直线yx 1上, 则 sin . 答案 4 5 解析复数 z5cos 4i 在复平面上的对应点在直线yx1 上, 45cos 1, 即 9 cos 3 5. 又 0,sin 1cos2 1 3 5 24 5. 9.已知 0a2,复数 z 的实部为a,虚部为1,则 |z|的取值范围是. 答案(1,5) 解析由题意可知zai.根据复数的模的定义,得|z|a 21,而 0 a2,故 1|z| 5. 10.复数 zlog1 23ilog 3 1 2对应的点位于复平面内的第 象限 . 答案三 解析log1 230,log 3 1 20,
12、zlog1 23ilog 3 1 2对应的点位于复平面内的第三象限 . 三、解答题 11.设复数 zlg(m 22m14)(m2 m6)i,求当实数 m 为何值时: (1)z为实数; (2)z对应的点位于复平面的第二象限. 解(1)由题意得 m 2m60, m 22m140, 解得 m3(m 2 舍去 ). 故当 m3 时, z 是实数 . (2)由题意得 lg m 22m14 0, m 2m60, 即 0m 22m 141, m 2m60. 即 m 22m140, m 22m150, m 2m60, 得 m 115或m 115, 5m3, m 2或m3. 解得 5m 115. 故当 5m 1
13、15时, z对应的点位于复平面内的第二象限. 12.已知 z1 34i,|z|1,求 |zz1|的最大值和最小值. 解如图, |z|1 表示复数z 对应的点在以 (0,0)为圆心, 1 为半径的圆上,而z1在坐标系中 10 的对应点的坐标为(3,4),|zz1|可看作是点 (3,4)到圆上的点的距离 . 由图可知,点 (3,4)到圆心 (即原点 )的距离为3 2425, 故 |zz 1|max516, |zz1|min 514. 13.设全集U C, Az|z|1|1 |z|, zC ,B z|z|1, zC ,若 zA(?UB),求 复数 z 在复平面内对应的点的轨迹. 解zC,|z|R,1|z|R. |z|1| 1|z|, 1|z|0,即 |z|1, Az|z| 1,zC. 又 Bz|z|1,zC, ?UBz|z|1,zC. zA(?UB), zA 且 z?UB, |z|1, |z|1, |z|1. 由复数的模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,1 为半径的 圆.
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