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1、2011 年2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编(逐题解析版) 7函数与导数 一、填空题 (2018 3)函数 2 xx ee fx x 的图象大致是() ( 2018 10)若cossinfxxx 在aa,是减函数,则a的最大值是() A 2 x B 2 x C 3 4 x Dx ( 2018 11)已知 fx 是定义域为,的奇函数,满足11fxfx 若12f,则 12350ffff() A50B 0C 2D 50 (2017 11)若2x是函数 21 ( )(1) x f xxaxe的极值点,则( )f x的极小值为() A.1B. 3 2eC. 3 5eD.1 (2016 12)
2、已知函数( )()f xxR满足()2( )fxf x ,若函数 1x y x 与( )yfx 图像的交点为 11 (,)x y, 22 (,)xy,(,) mm xy,则 1 () m ii i xy() A0 BmC2mD4m (2015 5)设函数 2 1 1log (2)(1) ( ) 2(1) x xx f x x ,则 2 ( 2)(log 12)ff() A3 B6 C9 D12 (2015 10)如图,长方形ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动, 记 BOP=x. 将动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为x 的函数
3、 f(x) ,则 f( x)的图像大致为() ABCD (2015 12)设函数()fx 是奇函数( )()f x xR的导函数,(1)0f,当 x0 时,( )( )0xfxf x,则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值范围是() A( , 1)(0,1)U B( 1,0) (1,)U C( , 1)( 1,0)U D(0,1) (1,)U (2014 8)设曲线y=ax- ln(x+1)在点 (0,0)处的切线方程为y=2x,则 a=() A0 B1 C2 D 3 (2014 12)设函数 ( )3sin x f x m ,若存在( )f x的极值点 0 x满足 222 00 ()xf
4、 xm,则 m 的取值范围 是() A(, 6)(6,+)UB(, 4)(4,+)UC(, 2)(2,+)UD(, 1)(4,+)U (2013 8)设 3log 6a,5log 10b,7log 14c,则() A. c ba B. b ca C. a cbD. abc (2013 10)已知函数 32 ( )f xxaxbxc ,下列结论中错误的是() A. 00,()0xf xR B. 函数( )yf x 的图像是中心对称图形 C. 若 0 x 是( )f x 的极小值点,则( )f x 在区间 0 (,)x单调递减 D.若 0 x 是( )f x 的极值点,则 0 ()0fx (201
5、2 10)已知函数 xx xf )1ln( 1 )(,则)(xfy的图像大致为() A. B. C. D. (2012 12)设点 P 在曲线 x ey 2 1 上,点Q在曲线)2ln(xy上,则| PQ的最小值为() A. 2ln1B. )2ln1(2C. 2ln1D. )2ln1 (2 (2011 2)下列函数中,既是偶函数又在+(0,)单调递增的函数是() A 3 yxB| 1yxC 2 1yxD | | 2 x y (2011 9)由曲线yx,直线2yx及 y 轴所围成的图形的面积为() A 10 3 B4 C 16 3 D6 (2011 12) 函数 1 1 y x 的图像与函数2s
6、in,(24)yxx的图像所有交点的横坐标之和等于() A2 B4 C6 D8 二、填空题 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o 1 1 y x o (2018 新课标 ,理 13)曲线2ln1yx在点00,处的切线方程为_ (2014 15)已知偶函数f (x)在0, + )单调递减, f (2)=0. 若 f (x-1)0,则 x 的取值范围是 _. (2016 16)若直线y = kx+b 是曲线 y = lnx+2 的切线,也是曲线y = ln(x+1)的切线,则b = . 三、解答题 ( 201821 )已知函数 2x fxeax (1)若1a,证明:当0x时,
7、1fx ; (2)若 fx 在 0,只有一个零点,求a (2017 21)已知函数 2 ( )ln ,f xaxaxxx且( )0f x. (1)求 a; (2)证明:( )f x存在唯一的极大值点 0 x,且 22 0 ()2ef x. (2016 21) ()讨论函数 2 ( ) 2 xx f xe x 的单调性,并证明当x0 时,( 2)20 x xex; ()证明:当0,1)a时,函数 2 ( )=(0) x eaxa g xx x 有最小值 .设 g (x)的最小值为( )h a ,求函数( )h a 的值域 . 14 ( 201521)设函数 2 ( ) mx fxexmx. ()
8、证明:f (x)在( - ,0)单调递减,在(0,+)单调递增; ()若对于任意x1,,x2- 1,1,都有 f (x1)- f (x2)e- 1,求 m 的取值范围 15 ( 201421)已知函数( )2 xx f xeex. ()讨论( )f x的单调性; ()设( )(2 )4( )g xfxbf x,当0x时, ( )0g x ,求b的最大值; ()已知1.414221.4143,估计 ln2 的近似值(精确到0.001). 16 ( 201321)已知函数( )ln() x f xexm . ()设0x是( )f x 的极值点,求m,并讨论( )f x 的单调性; ()当2m时,证
9、明( )0f x. 17.(2012 21)已知函数 121 ( )(1)(0) 2 x f xfefxx. ()求)(xf的解析式及单调区间; ()若baxxxf 2 2 1 )(,求ba) 1(的最大值 . 18 ( 201121)已知函数 ln ( ) 1 axb f x xx ,曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程为230xy. ()求a、b 的值; ()如果当0x,且1x时, ln ( ) 1 xk f x xx ,求 k 的取值范围 . 2011 年 2018 年新课标全国卷理科数学试题分类汇编 7函数与导数(解析版) (2018 新课标 , 3)函数 2 xx ee
10、 fx x 的图象大致是() 【答案】 B 解析: 该函数为奇函数,奇函数关于原点对称,故排除选项A 中的图像;当0x时,0 xx ee, 0fx,故排除选项D 中的图像;取特殊值,当1x时, 1 2e e ,而不接近函数值1,故排除选项C 中的 图像; ( 2018 新课标 , 10) 若cossinfxxx 在aa,是减函数,则a的最大值是() A 2 x B 2 x C 3 4 x Dx 【答案】 A 解析:解法一:因为cossinfxxx ,所以2 sin 4 fxx, 因为函数cossinfxxx 在区间,a a 上单调递减,所以 02 0 424 42 a aa a . 解法二:导
11、数法:因为cossinfxxx ,所以sincossincos0fxxxxx, 所以 5 sincos0, 44 xxx,故 0 4 a. 解法三:特值法:因为cossinfxxx ,所以2 sin 4 fxx, 当 2 a时,, 2 2 , 3 , 444 x不满题意,故舍去,故只能选择A. (2018 新课标 , 11)已知 fx 是定义域为,的奇函数,满足11fxfx 若12f, 则12350ffff() A50B 0C 2D 50 【答案】 C解析:常规解法:因为函数 fx 为定义域R上的奇函数,11fxfx ,所以 00 4 f T , 由题意可知:4200fff,312ff,所以1
12、2340ffff 所以250mod 4 ,所以1235012202ffffff, 方法 2:特值函数法:设该函数为正弦函数, 1112 31412 fff fff 奇函数 0 00 x fxfxf(定义域必须包含零) (2017 11)A【 解析 】 21 1 x fxxaxe 导函数 21 21 x fxxaxae , 20f,1a,导函数 21 2 x fxxxe,令0fx, 1 2x, 1 1x, 当x变化时,f x,fx随变化情况如下表: x, 2 2 2,1 1 1, fx + 0 - 0 + fx极大值极小值 从上表可知:极小值为11f.故选 A (2016 12)B解析: 由 2
13、fxfx 得 fx 关于 01, 对称,而 11 1 x y xx 也关于 01, 对称, 对于每一组对称点 0 iixx, =2 iiyy, 111 02 2 mmm iiii iii m xyxym,故选 B (2016 12)B解析: 由2f xf x 得 fx 关于 01, 对称,而 11 1 x y xx 也关于 01, 对称, 对于每一组对称点 0 ii xx , =2 ii yy , 111 02 2 mmm iiii iii m xyxym,故选 B ( 2015 5)C 解析: 由已知得 2 ( 2)1 log 43f,又 2 log 121,所以 22 log 12 1lo
14、g6 2 (log 12)226f,故 2 ( 2)(log 12)9ff (2015 10)B 解析: 由已知得,当点P 在 BC 边上运动时,即0 4 x时, 2 tan4tanPAPBxx; 当点 P 在 CD 边上运动时,即 3 44 x, 2 x时, 2211 (1)1(1)1 tantan PA PB xx ,当 2 x时, 2 2PAPB;当点P 在 AD 边上运动时,即 3 4 x时,PAPB 2 tan4tanxx,从点P 的运动过程可以看出,轨迹关于直线 2 x对称,且()() 42 ff,且轨迹非线型,故选B (2015 12)A 解析: 记函数 ( ) ( ) f x
15、g x x ,则 2 ( )( ) ( ) xf xf x g x x ,因为当 x0 时,xf (x)- f(x)0 时, g(x)0,则 f(x)0;当 x0, 综上所述,使得f(x)0 成立的 x 的取值范围是 (- , - 1)(0, 1),故选 A (2014 8) D 解析: 1 1 ya x , 且在点(0,0)处的切线的斜率为2, 0 1 |2 01 x ya, 即3a. (2014 12)C 解析: ( )3cos x fx mm ,令( )3cos0 x fx mm 得 1 (), 2 xmkkZ, 0 1 (), 2 xmkkZ,即 0 1| | ()| 22 m xmk
16、, m x xf sin3)(的极值为3, 3)( 2 0 xf,3 4 )( 2 2 0 2 0 m xfx 222 00 ()xf xm, 2 2 3 4 m m , 即: 2 4m,故:2m或2m. (2013 8)D 解析: 根据公式变形, lg 6lg2 1 lg3lg3 a, lg10lg2 1 lg5lg5 b, lg14lg2 1 lg 7lg7 c, 因为 lg 7lg 5lg 3,所以 lg 2lg 2lg 2 lg 7lg5lg3 ,即 cba. 故选 D. (2013 10)C 解析: f (x)=3x2+2ax+b, yf (x)的图像大致如右图所示, 若 x0是 f
17、 (x)的极小值点,则则在(,x0)上不单调,故C 不正确 (2012 10)B 解析: 易知ln(1)0yxx对( 1,0)(0,)xU恒成立,当且仅当0x时,取等号, 故的值域是 (-, 0). 所以其图像为B. (2012 12)B 解析: 因为 1 2 x ye与ln(2)yx互为反函数,所以曲线 1 2 x ye与曲线ln(2 )yx关于直线 y=x 对称,故要求 |PQ|的最小值转化为求与直线y=x 平行且与曲线相切的直线间的距离,设切点为A, 则 A 点到直线y=x 距离的最小值的2 倍就是 |PQ|的最小值 . 则 11 ()1 22 xx yee,2 x e,即 ln 2x,
18、故切点 A 的坐标为(ln 2,1),因此,切点A 点到直线y=x 距离为 |ln 2 1|1ln 2 22 d,所 以| 22(1ln2)PQd. (2011 2)B 解析: 由各函数的图像知,故选B. (2011 9)C】解析: 用定积分求解 3 4 24 2 0 0 2116 (2)(2 ) | 323 Sxxdxxxx ,故选 C. ( 2011 12)D 解析: 1 1 y x 的对称中心是(1,0)也是2sin( 24)yxx的中心,24x他们 的图像在x=1 的左侧有4 个交点,则x=1 右侧必有4 个交点 . 不妨把他们的横坐标由小到大设为x1, x2,x3,x4,x5,x6,
19、x7,x8,则 18273645 2xxxxxxxx,故选 D . 二、填空题 (2018 新课标 ,理 13)曲线2ln1yx在点00,处的切线方程为_ 【答案】2yx解析: 0 22 2 101 xyy x ,直线为2yx ( 2014 15)( 1,3)解析: ( )f x是偶函数,(1)0(|1|)0(2)f xfxf,又( )f x在 0,)单调递减,|1 |2x,解得:13x (2016 16)1 ln2解析: ln2yx 的切线为: 1 1 1 ln1yxx x (设切点横坐标为1 x ) , l n1yx 的 切线为: 2 2 22 1 ln1 11 x yxx xx , 12
20、 2 12 2 11 1 ln1ln1 1 xx x xx x ,解得1 1 2 x 2 1 2 x, 1 ln11ln 2bx 三、解答题 (2018 新课标 ,理 21)已知函数 2x f xeax (1)若1a,证明:当0x时,1fx ; (2)若 fx 在 0, 只有一个零点,求a 解析:(1)当1a时, 2x f xex,所以导函数2 x fxex, 设2 x g xex,导函数为2 x gxe,令0gx,则 0 ln 2x, 函数g x在区间0,ln 2 上单调递减,在区间ln 2,上单调递增, min ln 222ln 20g xg 所以函数 2x fxex在区间0,上单调递增,
21、 故 函数 2x f xex在区间0,上 min 11f xf,即1f x 解法 2:当1a时,( )1f x等价于 2 (1)e10 x x 设函数 2 ( )(1)e1 x g xx,则 22 ( )(21)e(1) e xx g xxxx 当1x时,( )0g x,所以( )g x在(0,)单调递减 而(0)0g,故当0x时,( )0g x,即( )1f x (2) 解法一:分离参数 构造函数 2 x e g x x , h xa ,导函数 2 44 2 2 x xx x ex e xex gx xx , 令0gx,则2x,函数g x在区间0,2上单调递减,在区间2,上单调递增, 因为函
22、数g x与函数h x只有一个零点,则 2 2 4 e ag,所以 2 4 e a. 解法 2:设函数 2 ( )1e x h xax ( )f x 在(0, )只有一个零点当且仅当( )h x 在 (0,)只有一个零点 (i)当0a时,( )0h x,( )h x没有零点; (ii)当0a时, ( )(2)e x h xax x 当(0, 2)x时,( )0h x;当(2,)x时,( )0h x 所以( )h x在(0, 2)单调递减,在(2,)单调递增 故 2 4 (2)1 e a h 是 ( )h x 在0, )的最小值学 &科网 若(2)0h,即 2 e 4 a, ( )h x 在(0,
23、 )没有零点; 若(2)0h,即 2 e 4 a, ( )h x 在(0, )只有一个零点; 若(2)0h,即 2 e 4 a,由于 (0)1h ,所以 ( )h x 在(0, 2)有一个零点, 由( 1)知,当0x时, 2 e x x,所以 333 4224 1616161 (4 )11110 e(e )(2 ) aa aaa ha aa 故( )h x在(2, 4 )a有一个零点,因此( )h x在(0,)有两个零点 综上, ( )f x 在(0, )只有一个零点时, 2 e 4 a (2017 21)已知函数 2 ( )ln ,f xaxaxxx且( )0f x. (1)求 a; (2)
24、证明:( )f x存在唯一的极大值点 0 x,且 22 0 ()2ef x. (2017 21)解析: (1)法一:由题知:( )lnf xx axax0x , 且( )0f x, 所以1ln0a xx, 即当0,1x时, ln 1 x a x ;当1,x时, ln 1 x a x ;当1x时,1ln0a xx成立 . 令 1 lng xxx, 11 1 x gx xx , 当 0,1x 时, 0gx ,g x递减 , 10g xg, 所以:1lnxx,即: ln 1 1 x x , 所以1a; 当1,x时,0gx,g x递增 , 10g xg,所以:1lnxx,即: ln 1 1 x x .
25、 所以,1a. 综上,1a. 法二:洛必达法则:由题知:( )lnf xx axax0x , 且( )0f x,所以:1ln0a xx. 即当0,1x时, ln 1 x a x ;当1,x时, ln 1 x a x ; 当1x时,1ln0a xx成立 . 令 ln 1 x g x x , 22 11 1ln1ln 11 xxx xx gx xx . 令 1 1lnh xx x , 22 111 x hx xxx . 当0,1x时,0hx,h x递增,10h xh; 所以0gx,g x递减, 111 ln ln1 limlimlim1 11 xxx x x g x xxx ,所以:1a; 当1,
26、x时,0hx,h x递减,10h xh; 所以0gx,g x递减, 111 ln ln1 limlimlim1 11 xxx x x g x xxx ,所以:1a. 故1a. (2)由(1)知:( )1 lnf xx xx , 22lnfxxx ,设 22 lnxxx , 则 1 2x x . 当 1 0, 2 x 时, 0x ;当 1 , 2 x 时, 0x . 所以 x 在 1 0, 2 递减,在 1 , 2 递增 . 又 2 0e , 1 0 2 , 10 ,所以 x 在 1 0, 2 有唯一零点 0 x ,在 1 , 2 有唯一零点1, 且当 0 0,xx 时, 0x ;当 0,1 x
27、x 时, 0x ; 当 1,x 时, 0x . 又 fxx ,所以 0 xx 是 ( )f x 的唯一极大值点. 由 0 0fx 得 00 ln21xx ,故 000 1fxxx . 由0 0,1x 得 0 1 4 fx . 因为 0 xx是( )f x在0,1的唯一极大值点,由 1 0,1e, 1 0fe得 12 0 fxfee 所以 22 0 ()2ef x. (2016 21) ()讨论函数 2 ( ) 2 xx f xe x 的单调性,并证明当 x0 时,(2)20 x xex; ()证明:当0,1)a时, 函数 2 ( )=(0) x eaxa g xx x 有最小值 .设 g (x
28、)的最小值为( )h a , 求函数( )h a 的值域 . (2016 21) 证明: 2 22 24e e 2 22 x xxx fx x xx , 当 x2 2,,时,0fx, fx 在22 ,,和上单调递增, 0x时, 2 e0 =1 2 xx f x ,2 e20 x xx. 2 4 e2e xx a xxaxa gx x 4 e2e2 xx x xaxa x 3 2 (2)(e) 2 xx xa x x ,01a,由 (1) 知,当0x时, 2 e 2 x x fx x 的值域为1,只有一解使得 2 e 2 t t a t ,02t,当 (0, )xt时 ,()0g x,( )g
29、x单 调 减 ; 当( ,)xt时( )0gx,( )g x单 调 增 , 22 2 e1e e1e 2 2 tt t t t t a t t h a ttt ,记 e 2 t k t t ,在0, 2t时, 2 e1 0 2 t t kt t , k t单调递增, 2 1e 24 h ak t, (2015 21)设函数 2 ( ) mx f xexmx. ()证明:f (x)在( - ,0)单调递减,在(0,+)单调递增; ()若对于任意x1,,x2- 1,1,都有 f (x1)- f (x2)e- 1,求 m 的取值范围 (2015 21)解析: () ( )(1)2 mx fxm ex,若0m,则当(,0)x时,10,( )0 mx efx; 当(0,)x时,10 mx e,( )0fx. 若0m,则当(,0)x时,10,( )0 mx efx; 当(0,)x时,10 mx e,( )0fx,所以,( )f x在(,0)单调递减,在(0,)单调递增 . ()由()知,对任意的m,( )f x在- 1,0单调递减,在0,1单调递增,故( )f x在0x处取 得最小值, 所以对于任意 12 , 1,1x x, 12 |()()|1f xf xe的充要条件是 (1)(0)1 ( 1)(0)1 ffe ffe ,
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