2014年上海市高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf
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1、1 2014年上海市高考数学试卷(理科) 一、填空题(共14题,满分 56 分) 1 (4 分)函数 y=12cos 2(2x)的最小正周期是 2 (4 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则( z+) ? = 3 (4 分)若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线 的准线方程 4(4 分)设 f (x) =, 若 f (2) =4, 则 a的取值范围为 5 (4 分)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2+2y2 的最小值为 6 (4 分)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 7 (4 分)已知曲线 C
2、的极坐标方程为( 3cos4sin)=1,则 C 与极轴的 交点到极点的距离是 8(4分) 设无穷等比数列 an 的公比为 q, 若 a1=(a3+a4+an) , 则 q= 9 (4 分)若 f(x)=,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 10 (4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择 3 天进行 紧急疏散演练,则选择的3 天恰好为连续 3 天的概率是(结果用最简 分数表示) 11(4 分) 已知互异的复数 a, b 满足 ab0, 集合a, b=a 2, b2, 则 a+b= 12 (4 分)设常数 a使方程 sinx+cosx=a在闭区间 0,2上恰有三个解
3、x1, x2,x3,则 x1+x2+x3= 13 (4 分)某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量表示小白玩该游戏的得 分,若 E() =4.2,则小白得 5 分的概率至少为 14 (4分)已知曲线 C:x=,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0) ,存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ,则 m 的取值范围为 2 二、选择题(共4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,选对得5 分, 否则一律得零分 15 (5 分)设 a,bR,则“ a+b4”是“ a2 且 b2”的() A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 16 (5 分)如图,四
4、个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱, Pi(i=1,2, 8)是上底面上其余的八个点,则?(i=1,2, 8) 的不同值的个数为() A1B2C3D4 17 (5分)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个 不同的点,则关于x 和 y 的方程组的解的情况是() A无论 k,P1,P2如何,总是无解 B无论 k,P1,P2如何,总有唯一解 C存在 k,P1,P2,使之恰有两解 D存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 18 (5分)设 f(x)=,若 f(0)是 f(x)的最小值,则 a 的取 值范围为() A1,2B1,0C1,2
5、D0,2 3 三、解答题(共5 题,满分 72 分) 19 (12 分)底面边长为 2 的正三棱锥 PABC,其表面展开图是三角形P1P2P3, 如图,求 P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V 20 (14分)设常数 a0,函数 f(x)= (1)若 a=4,求函数 y=f(x)的反函数 y=f 1(x) ; (2)根据 a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由 21 (14 分)如图,某公司要在A、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌 CD, 其中 D 为顶端, AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为和 (1
6、)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 2,问 CD 的长至多为多少(结果精 确到 0.01 米)? (2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差, 现在实测得 =38.12,=18.45, 求 CD 的长(结果精确到0.01米) 4 22 (16 分)在平面直角坐标系xOy 中,对于直线 l:ax+by+c=0 和点 P1(x1, y1) ,P2(x2,y2) ,记 =(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,若 0,则称点P1, P2被直线 l 分隔,若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且曲线C 上存在点 P1、P2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 (1)求证:
7、点 A(1,2) ,B(1,0)被直线 x+y1=0分隔; (2)若直线 y=kx 是曲线 x 24y2=1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; (3)动点 M 到点 Q(0,2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 曲线 E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E 的分隔线 23 (16分)已知数列 an满足anan+13an,nN *,a 1=1 (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)设an 是公比为 q 的等比数列, Sn=a1+a2+an,若SnSn+13Sn,nN*, 求 q 的取值范围 (3)若 a1,a2,ak成等差数列,且a
8、1+a2+ak=1000,求正整数 k 的最大值, 以及 k 取最大值时相应数列a1,a2,ak的公差 5 2014 年上海市高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、填空题(共14题,满分 56 分) 1 (4 分)函数 y=12cos 2(2x)的最小正周期是 【考点】 GS:二倍角的三角函数; H1:三角函数的周期性 【专题】 56:三角函数的求值 【分析】 由二倍角的余弦公式化简,可得其周期 【解答】 解:y=12cos2(2x) =2cos 2(2x)1 =cos4x, 函数的最小正周期为T= 故答案为: 【点评】 本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题 2 (4
9、 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则( z+) ? =6 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 5N:数系的扩充和复数 【分析】 把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 【解答】 解:复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位, 则(z+) ? = =(1+2i) (12i)+1 =14i 2+1 =2+4 =6 故答案为: 6 【点评】 本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查 3 (4 分)若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线 6 的准线方程x=2 【考点】 K7:抛物线的标准方程 【专题】 5D:圆锥曲线的定义、性质与方程
10、 【分析】由题设中的条件 y2=2px(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合, 故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性 质求出它的准线方程 【解答】 解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(2,0) , 又 y2=2px(p0)的焦点与椭圆右焦点重合, 故=2 得 p=4, 抛物线的准线方程为x=2 故答案为: x=2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题, 关键是熟练掌握圆锥曲线 的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题 4 (4 分)设 f(x)=,若 f(2)=4,则 a的取值范围为( ,2 【考点】 5B:分段函数的应用 【专题】 32:分类讨
11、论; 51:函数的性质及应用 【分析】 可对 a 进行讨论,当 a2 时,当 a=2时,当 a2 时,将 a 代入相对应 的函数解析式,从而求出a 的范围 【解答】 解:当 a2 时,f(2)=24,不合题意; 当 a=2时,f(2)=22=4,符合题意; 当 a2 时,f(2)=2 2=4,符合题意; a2, 故答案为:(, 2 【点评】本题考察了分段函数的应用, 渗透了分类讨论思想, 本题是一道基础题 7 5 (4 分)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2+2y2 的最小值为2 【考点】 7F:基本不等式及其应用 【专题】 59:不等式的解法及应用 【分析】 由已知可得 y=,代入要
12、求的式子,由基本不等式可得 【解答】 解: xy=1, y= x 2+2y2=x2+ 2=2, 当且仅当 x2=,即 x=时取等号, 故答案为: 2 【点评】 本题考查基本不等式,属基础题 6(4 分) 若圆锥的侧面积是底面积的3 倍, 则其母线与底面角的大小为arccos (结果用反三角函数值表示) 【考点】 L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 【专题】 5F:空间位置关系与距离 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3 倍,可得圆锥的母线是圆锥底面半 径的 3 倍,在轴截面中,求出母线与底面所成角的余弦值,进而可得母线与 轴所成角 【解答】 解:设圆锥母线与轴所成角为, 圆锥的侧面积是底面积
13、的3 倍, =3, 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍, 故圆锥的轴截面如下图所示: 8 则 cos=, =arccos , 故答案为: arccos 【点评】本题考查的知识点是旋转体, 其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面 半径的 3 倍,是解答的关键 7 (4 分)已知曲线 C 的极坐标方程为( 3cos4sin)=1,则 C 与极轴的 交点到极点的距离是 【考点】 Q4:简单曲线的极坐标方程 【专题】 11:计算题; 5S:坐标系和参数方程 【分析】 由题意, =0,可得 C 与极轴的交点到极点的距离 【解答】 解:由题意, =0,可得( 3cos04sin0)=1, C 与极轴的交点到
14、极点的距离是= 故答案为: 【点评】 正确理解 C 与极轴的交点到极点的距离是解题的关键 8 (4 分)设无穷等比数列 an 的公比为q,若 a1=(a3+a4+an) ,则 q= 【考点】 6F:极限及其运算 【专题】 54:等差数列与等比数列 【分析】 由已知条件推导出 a1=,由此能求出 q 的值 【解答】 解:无穷等比数列 an 的公比为 q, a1=(a3+a4+an) =(a1a1q) =, 9 q2+q1=0, 解得 q=或 q=(舍) 故答案为: 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 极限知识的合理运用 9 (4 分)若 f(x) =,则满足
15、f(x)0 的 x 的取值范围是(0,1) 【考点】 7E:其他不等式的解法; 7J:指、对数不等式的解法 【专题】 59:不等式的解法及应用 【分析】 直接利用已知条件转化不等式求解即可 【解答】 解:f(x)=,若满足 f(x)0, 即, , y=是增函数, 的解集为: (0,1) 故答案为:(0,1) 【点评】本题考查指数不等式的解法, 指数函数的单调性的应用, 考查计算能力 10 (4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择 3 天进行 紧急疏散演练,则选择的3 天恰好为连续 3 天的概率是(结果用最简 分数表示) 【考点】 CB:古典概型及其概率计算公式 【专题】
16、5I:概率与统计 【分析】 要求在未来的连续10 天中随机选择 3 天进行紧急疏散演练,选择的3 天恰好为连续 3 天的概率,须先求在10 天中随机选择 3 天的情况, 再求选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况,即可得到答案 【解答】 解:在未来的连续 10 天中随机选择 3 天共有种情况, 其中选择的 3 天恰好为连续 3 天的情况有 8 种,分别是( 1,2,3) , (2,3,4) , 10 (3,4,5) , (4,5,6) , (5,6,7) , (6,7,8) , (7,8,9) , (8,9,10) , 选择的 3 天恰好为连续 3 天的概率是, 故答案为: 【点评】 本题考查
17、古典概型以及概率计算公式,属基础题 11 (4 分)已知互异的复数 a,b 满足 ab0,集合a,b=a 2,b2 ,则 a+b= 1 【考点】 19:集合的相等 【专题】 5J:集合 【分析】 根据集合相等的条件,得到元素关系,即可得到结论 【解答】 解:根据集合相等的条件可知,若a,b=a 2,b2, 则或, 由得, ab0,a0 且 b0,即 a=1,b=1,此时集合 1 ,1不满足条件 若 b=a 2,a=b2,则两式相减得 a 2b2=ba, 互异的复数 a,b, ba0,即 a+b=1, 故答案为: 1 【点评】本题主要考查集合相等的应用, 根据集合相等得到元素相同是解决本题 的关
18、键,注意要进行分类讨论 12 (4 分)设常数 a使方程 sinx+cosx=a在闭区间 0,2上恰有三个解 x1, x2,x3,则 x1+x2+x3= 【考点】 GP:两角和与差的三角函数 【专题】 57:三角函数的图像与性质 【分析】 先利用两角和公式对函数解析式化简,画出函数y=2sin(x+)的图 象,方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在0,2上,当 a=时, 11 直线与三角函数图象恰有三个交点,进而求得此时x1,x2,x3最后相加即可 【解答】 解:sinx+cosx=2(sinx+cosx)=2sin(x+)=a, 如图方程的解即为直线与三角函数图象的交点,在0,2上,当a=
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