高考数学导数的概念及几何意义、导数的运算.pdf
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1、第九章导数及其应用 命题探究 (1)由 PO1=2 知 O1O=4PO1=8. 因为 A1B1=AB=6, 所以正四棱锥P-A1B1C1D1的体积 V锥= A1 PO1= 6 2 2=24(m3); 正 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积 V柱=AB 2 O 1O=6 2 8=288(m3). 所以仓库的容积V=V 锥+V柱=24+288=312(m 3). (2)设 A1B1=a(m),PO1=h(m),则 00,V 是单调增函数 ; 当 20)上点 P 处的切线垂直 ,则 P的坐标为. 答案(1,1) 5.(2014 江苏,11,5 分)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线 y=ax 2
2、+ (a,b 为常数 )过点 P(2,-5),且该曲线在点 P处的切线与直线 7x+2y+3=0 平行 ,则 a+b的值是. 答案-3 教师用书专用(69) 6.(2013 广东理 ,10,5 分)若曲线 y=kx+ln x在点 (1,k)处的切线平行于x 轴,则 k=. 答案-1 7.(2013 重庆理 ,17,13 分)设 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,其中 a R,曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1) 处的切线与 y 轴相交于点 (0,6). (1)确定 a的值 ; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解析(1)因 f(x)=a(x-5) 2+6ln x,故 f (
3、x)=2a(x-5)+ . 令 x=1,得 f(1)=16a, f (1)=6-8a,所以曲线 y=f(x) 在点 (1, f(1) 处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1), 由点 (0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故 a= . (2)由(1)知, f(x)=(x-5) 2+6ln x(x0), f (x)=x-5+ = - . 令 f (x)=0, 解得 x1=2,x2=3. 当 03 时, f (x)0, 故 f(x) 在(0,2),(3,+)上为增函数 ;当 22; (3)设实数 k 使得 f(x)k对 x (0,1)恒成立 ,求 k 的最大值 . 解析(1)因为 f
4、(x)=ln(1+x)-ln(1-x), 所以 f (x)=+ - , f (0)=2. 又因为 f(0)=0, 所以曲线 y=f(x) 在点 (0,f(0) 处的切线方程为y=2x. (2)证明 :令 g(x)=f(x)-2, 则 g(x)=f (x)-2(1+x 2)= - . 因为 g(x)0(0g(0)=0,x (0,1), 即当 x (0,1)时, f(x)2. (3)由(2)知,当 k 2 时, f(x)k对 x (0,1)恒成立 . 当 k2 时,令 h(x)=f(x)-k, 则 h(x)=f (x)-k(1+x 2)= - - . 所以当 02 时, f(x)k并非对 x (0
5、,1)恒成立 . 综上可知 ,k 的最大值为2. 9.(2013 北京理 ,18,13 分)设 L 为曲线 C:y=在点 (1,0)处的切线 . (1)求 L 的方程 ; (2)证明 :除切点 (1,0)之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方 . 解析(1)设 f(x)=,则 f (x)= - . 所以 f (1)=1.所以 L 的方程为 y=x-1. (2)证明 :令 g(x)=x-1-f(x), 则除切点之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方等价于g(x)0(?x0,x 1).g(x)满足 g(1)=0,且 g(x)=1-f (x)= - . 当 01 时,x2-10,ln x0,所以 g(x
6、)0, 故 g(x)单调递增 . 所以 ,g(x)g(1)=0( ?x0,x 1). 所以除切点之外 ,曲线 C 在直线 L 的下方 . 考点二导数的运算 1.(2016 天津,10,5 分)已知函数 f(x)=(2x+1)e x, f (x)为 f(x) 的导函数 ,则 f (0)的值为 . 答案3 2.(2014 福建,20,14 分)已知函数 f(x)=e x-ax(a 为常数 )的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x) 在点 A 处的切线斜率为 -1. (1)求 a的值及函数f(x) 的极值 ; (2)证明 :当 x0 时,x2ln 2 时, f (x)0,f(x) 单调递增 .
7、 所以当 x=ln 2 时,f(x) 取得极小值 , 且极小值 为 f(ln 2)=eln 2-2ln 2=2-ln 4, f(x) 无极大值 . (2)证明 :令 g(x)=e x-x2,则 g(x)=ex -2x. 由(1)得 g(x)=f(x) f(ln 2)0, 故 g(x) 在 R 上单调递增 ,又 g(0)=10, 因此 ,当 x0 时,g(x)g(0)0, 即 x 20 时,x20 时,x 21,要使不等式x2kx2成立 . 而要使 exkx 2成立 ,则只要 xln(kx2),只要 x2ln x+ln k 成立 . 令 h(x)=x-2ln x-ln k,则 h(x)=1- =
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- 关 键 词:
- 高考 数学 导数 概念 几何 意义 运算
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