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1、2016全国卷 1 2016全国卷 (理科数学 ) 1A12016 全国卷 设集合 S x|(x2)(x3)0 ,T x|x0 ,则 ST() A2,3 B(, 23, ) C3, ) D(0,23, ) 1D解析 Sx|x3 或 x2 , STx|04 2 32 4 3a,故 bb0)的左焦点, A,B 分别为 C 的左、右顶点, P 为 C 上一点,且PFx 轴过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于 点 M,与 y 轴交于点E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则C 的离心率为 () A. 1 3 B. 1 2 C.2 3 D.3 4 11A解析 设 M(c,y0),则 AM 所在直线方
2、程为y y0 ca(xa),令 x0,得 E(0, ay0 c a).BM 所在直线方程为 y y0 ca(xa),令 x0,得 y ay0 c a.由题意得 ay0 ca 1 2 ay0 ca,解得 a3c,故离心率 e c a 1 3. 12 D52016 全国卷 定义“规范01 数列” an如下: an共有 2m 项,其中m 项为 0,m 项为 1,且对任意k 2m,a1,a2, ak中 0 的个数不少于 1 的个数若m4,则不 同的“规范01 数列”共有 () A18 个B16 个 C14 个D12 个 12 C解析 a1,a2, a8中 0 的个数不少于 1 的个数, a1 0,a8
3、1.先排定中 间三个 1,当三个 0 在一起时排法种数为C1 2,当三个 0不相邻时排法种数为 C 3 4,当三个 0 分 成两组时排法种数为A2 3C 1 2,不同的“规范 01 数列”共有C 1 2C 3 4 A 2 3C 1 214(个) 2016全国卷 4 13 E52016 全国卷 若 x,y 满足约束条件 xy10, x2y 0, x2y 20, 则 zxy 的最大值为 _ 13.3 2 解析 可行域如图所示 联立 x2y0, x2y20, 得 A(1, 1 2) ,当直线 zxy 过点 A 时, z 取得最大值,所以zmax 11 2 3 2. 14 C42016 全国卷 函数
4、ysin x3cos x 的图像可由函数ysin x3cos x 的图 像至少向右平移_个单位长度得到 14. 2 3 解析 函数 y sin x3cos x2sin (x 3 ) 的图像可由函数ysin x3cos x 2sin(x 3 )的图像至少向右平移 2 3 个单位长度得到 15B4、B122016 全国卷 已知 f(x)为偶函数,当x0,则 x0 时, f(x)ln x 3x, f (x) 1 x 3,即 f(1) 2,曲线 y f(x)在点 (1, 3)处的切线方程为y3 2(x1),整理得y 2x1. 16 H1、H42016 全国卷 已知直线l:mxy3m30 与圆 x 2y
5、212 交于 A, B 两点,过A,B 分别作 l 的垂线与x 轴交于 C,D 两点若 |AB|2 3,则 |CD| _ 164解析 直线 l:m(x 3)y30 过定点 (3,3),又|AB|23, |3m3| 1m 2 2 ( 3)212,解得 m 3 3 .直线方程中,当x0 时, y2 3.又( 3,3),(0,23)两点 都在圆上,直线l 与圆的两交点为A( 3,3),B(0,23) 设过点 A(3, 3)且与直线l 垂直的直线为3xy c1 0, 将( 3, 3)代入直线方程3 xyc10,得 c1 2 3.令 y0,得 xC 2,同理得过点 B 且与 l 垂直的直线与x 轴交点
6、的横坐标为xD2, |CD |4. 17 D3、D42016 全国卷 已知数列 an 的前 n 项和 Sn1an,其中 0. (1)证明 an 是等比数列,并求其通项公式; (2)若 S531 32,求 . 2016全国卷 5 17 解: (1)由题意得a1S11a1,故 1,a1 1 1 ,a10. 由 Sn1a n,Sn11an1得 an1an1an,即 an1( 1) an.由 a10, 0 得 an 0,所以 an1 an 1. 因此 an是首项为 1 1 ,公比为 1的等比数列,于是 an 1 1 ( 1) n1. (2)由(1)得 Sn1( 1) n,由 S 5 31 32得 1(
7、 1) 531 32,即( 1) 51 32, 解得 1. 18 I42016 全国卷 图 1-4 是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位: 亿吨 )的折线图 图 1-4 注:年份代码17 分别对应年份20082014. (1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (2)建立 y 关于 t 的回归方程 (系数精确到0.01), 预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量 附注: 参考数据:tiyi40.17, 0.55,72.646. 参考公式:相关系数r, 回归方程 y ab t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: b 解:
8、由折线图中数据和附注中参考数据得 2016全国卷 6 r 2.89 0.5522.6460.99. 因为 y 与 t 的相关系数近似为0.99,说明 y 与 t 的线性相关程度相当高,从而可以用线 性回归模型拟合y 与 t 的关系 (2)由 y 9.32 7 1.331 及(1)得b 2.89 28 0.103, a b 1.331 0.10340.92. 所以 y 关于 t 的回归方程为 y 0.920.10t. 将 2016 年对应的t9 代入回归方程得y 0.920.10 91.82, 所以预测2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82 亿吨 19 G4、 G112016 全国卷
9、 如图 1-5, 四棱锥 P - ABCD 中, PA底面 ABCD, ADBC, AB ADAC3, PABC 4,M 为线段 AD 上一点, AM 2MD,N 为 PC 的中点 (1)证明: MN平面 PAB; (2)求直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值 图 1-5 19 解: (1)证明:由已知得AM 2 3AD2.取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 的中点知TNBC,TN 1 2BC2. 又 ADBC,所以 TN 綊 AM,故四边形AMNT 为平行四边形,于是MNAT. 因为 AT? 平面 PAB,MN?平面 P AB,所以 MN平面 P AB. (2)取
10、 BC 的中点 E,连接 AE.由 ABAC 得 AEBC,从而 AEAD,且 AEAB 2BE2 AB2BC 2 2 5. 以 A 为坐标原点, AE 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A - xyz,由 题意知, 2016全国卷 7 P(0,0,4),M(0,2,0),C(5, 2,0),N( 5 2 ,1,2) , PM (0,2, 4),PN ( 5 2 , 1, 2) ,AN ( 5 2 ,1,2). 设 n (x, y,z)为平面 PMN 的法向量,则 n PM 0, n PN 0, 即 2y4z0, 5 2 xy2z0, 可取 n(0, 2,1), 于是 |cos
11、 n,AN | |n AN | |n|AN | 8 5 25 . 故直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 85 25 . 20 H7、H92016 全国卷 已知抛物线C:y 22x 的焦点为 F,平行于x 轴的两条直 线 l1,l2分别交 C 于 A,B 两点,交C 的准线于P,Q 两点 (1)若 F 在线段 AB 上, R 是 PQ 的中点,证明:ARFQ; (2)若 PQF 的面积是 ABF 的面积的两倍,求AB 中点的轨迹方程 20 解: 由题设知F(1 2,0).设 l1 :ya,l2:y b,则 ab0,且 A(a 2 2 ,a) , B( b 2 2 , b) ,P( 1
12、2,a) ,Q( 1 2,b) ,R( 1 2, ab 2 ) . 记过 A,B 两点的直线为l,则 l 的方程为 2x (a b)yab 0. (1)证明:由于F 在线段 AB 上,所以1ab0. 记 AR 的斜率为k1,FQ 的斜率为k2,则 k1 ab 1a 2 ab a 2ab 1 a ab a b k2, 所以 ARFQ. (2)设 l 与 x 轴的交点为D(x1,0), 则 SABF 1 2|ba|FD | 1 2|ba| x 1 1 2 ,SPQF |ab| 2 . 由题设可得 |ba| x1 1 2 |ab| 2 ,所以 x10(舍去 )或 x11. 设满足条件的AB 的中点为
13、E(x,y) 当 AB 与 x 轴不垂直时,由kAB kDE可得 2 ab y x1(x1) 而 ab 2 y,所以 y2x1(x1) 当 AB 与 x 轴垂直时, E 与 D 重合所以所求轨迹方程为y2x1. 21B12、B14、B72016 全国卷 设函数 f(x) cos 2x( 1)(cos x1),其中 0, 记|f(x)|的最大值为A. (1)求 f (x); 2016全国卷 8 (2)求 A; (3)证明: |f(x)| 2A. 21 解: (1)f (x) 2 sin 2x( 1)sin x. (2)当 1 时, |f(x)| cos 2x( 1)(cos x1)| 2(1)3 2f(0), 因此 A3 2. 当 0 1 5. (i)当 00,知 g(1)g(1) g( 1 4 ). 又|g(1 4 )|g(1)| (1 )( 17 ) 8 0,所以 A|g(1 4 )| 26 1 8 . 综上, A 23 ,01 时,等价于a1a3,解得 a2. 所以 a 的取值范围是 2, )
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