《2014年安徽省高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2014年安徽省高考数学试卷(理科)(含解析版).pdf(28页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、1 2014 年安徽省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的 1 (5 分)设 i 是虚数单位,表示复数 z 的共轭复数若 z=1+i,则+i? = () A2B2iC2D2i 2 (5 分)“x0” 是“ln (x+1)0” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 3 (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是() A34B55C78D89 4 (5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系,两种坐标系中取相同的长度单
2、位已知直线l 的参数方程是(t 为 参数) ,圆 C的极坐标方程是 =4cos,则直线 l 被圆 C截得的弦长为() AB2CD2 5 (5 分)x,y 满足约束条件,若 z=yax取得最大值的最优解不唯 一,则实数 a 的值为() 2 A或1B2 或 C2 或1D2 或 1 6 (5 分)设函数 f(x) (xR)满足 f(x+ )=f(x)+sinx当 0x时,f (x)=0,则 f()=() ABC0D 7 (5 分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为() A21+B18+C21D18 8 (5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60 的共有() A
3、24 对B30 对C48 对D60 对 9 (5 分)若函数 f(x)=| x+1|+| 2x+a| 的最小值为 3,则实数 a 的值为() A5 或 8B1 或 5C1 或4D4 或 8 10 (5分)在平面直角坐标系xOy中已知向量、 ,| =| =1, ? =0,点 Q满足=( + ) ,曲线 C= P|= cos + sin ,0 2 ,区域 = P| 0 r| R,rR若 C为两段分离的曲线,则() A1rR3B1r3R Cr1R3D1r3R 3 二、填空题:本大题共5 小题,每小题 5 分,共 25 分把答案填在答题卡相应 位置 11 (5 分)若将函数 f(x)=sin(2x+)
4、的图象向右平移个单位,所得图象 关于 y 轴对称,则 的最小正值是 12 (5 分)数列 an 是等差数列, 若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q= 13(5分) 设a0, n是大于 1的自然数, (1+) n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+ +anxn 若 点 Ai(i,ai) (i=0,1,2)的位置如图所示,则a= 14 (5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点 F1的直线交椭圆 E于 A、B两点,若 | AF1| =3| F1B| ,AF2x 轴,则椭圆 E的方 程为 15 (5 分)已知两个不相等的非零向量
5、, ,两组向量,和 ,均 由2个和3个排 列 而 成 , 记 S=?+?+?+?+?,Smin表示 S 所有可能取值中的最小 值则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号) S有 5 个不同的值; 若 ,则 Smin与| 无关; 若 ,则 Smin与| 无关; 若| 4| ,则 Smin0; 若| =2| ,Smin=8| 2,则 与 的夹角为 4 三、解答题:本大题共6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤解答早答题卡上的指定区域 16 (12 分)设 ABC的内角为 A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且 b=3, c=1,A=2B ()求 a 的值; ()求 si
6、n(A+)的值 17 (12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立 ()求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; ()记 X为比赛决胜出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望) 18 (12 分)设函数 f(x)=1+(1+a)xx2x3,其中 a0 ()讨论 f(x)在其定义域上的单调性; ()当 x 0,1 时,求 f(x)取得最大值和最小值时的x 的值 5 19 (13 分)如图,已知两条抛物线E1:y2=2p1x(p10)和 E2:y
7、2=2p2x (p20) , 过原点 O 的两条直线 l1和 l2,l1与 E1,E2分别交于 A1、A2两点, l2与 E1、E2 分别交于 B1、B2两点 ()证明: A1B1A2B2; ()过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2分别交于 C 1、C2两点记 A1B1C1 与A2B2C2的面积分别为 S1与 S2,求的值 6 20 (13 分)如图,四棱柱ABCD A1B1C1D1中,A1A底面 ABCD ,四边形 ABCD 为梯形, ADBC ,且 AD=2BC ,过 A1、C、D 三点的平面记为 ,BB1与 的 交点为 Q ()证明: Q为 BB1的中点; ()求此四棱柱
8、被平面所分成上下两部分的体积之比; ()若 AA1=4,CD=2 ,梯形 ABCD的面积为 6,求平面 与底面 ABCD所成二 面角的大小 21 (13 分)设实数 c0,整数 p1,nN* ()证明:当 x1 且 x0时, (1+x)p1+px; ()数列 an满足 a1,an+1=an+ an1 p证明: a nan+1 7 2014 年安徽省高考数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共10 小题,每小题5 分,共 50 分在每小题给出的四个 选项中,只有一个是符合题目要求的 1 (5 分)设 i 是虚数单位,表示复数 z 的共轭复数若 z=1+i,则+i? = () A
9、2B2iC2D2i 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 5N:数系的扩充和复数 【分析】 把 z 及 代入+i? ,然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值 【解答】 解: z=1+i, , +i? = = 故选: C 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础的计算题 2 (5 分)“x0” 是“ln (x+1)0” 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件 【专题】 11:计算题; 5L:简易逻辑 【分析】根据不等式的性质, 利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到 结论 【解答】 解: x0
10、,x+11,当 x+10 时,ln(x+1)0; 8 ln(x+1)0,0x+11,1x0,x0, “x0” 是 ln(x+1)0 的必要不充分条件 故选: B 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据不等式的性质是解决本 题的关键,比较基础 3 (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是() A34B55C78D89 【考点】 E9:程序框图的三种基本逻辑结构的应用;EF :程序框图 【专题】 5K:算法和程序框图 【分析】写出前几次循环的结果,不满足判断框中的条件,退出循环,输出z 的 值 【解答】 解:第一次循环得 z=2,x=1,y=2; 第二次循环得 z=3,x
11、=2,y=3; 第三次循环得 z=5,x=3,y=5; 第四次循环得 z=8,x=5,y=8; 第五次循环得 z=13,x=8,y=13; 第六次循环得 z=21,x=13,y=21; 9 第七次循环得 z=34,x=21,y=34; 第八次循环得 z=55,x=34,y=55;退出循环,输出55, 故选: B 【点评】本题考查程序框图中的循环结构,常用的方法是写出前几次循环的结果 找规律,属于一道基础题 4 (5 分)以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标 系,两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程是(t 为 参数) ,圆 C的极坐标方程是 =4cos,则
12、直线 l 被圆 C截得的弦长为() AB2CD2 【考点】 J9:直线与圆的位置关系;Q8:点的极坐标和直角坐标的互化;QH: 参数方程化成普通方程 【专题】 5S :坐标系和参数方程 【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程,求出半径和弦心距, 再利用弦长公式 求得弦长 【解答】 解:直线 l 的参数方程是(t 为参数) ,化为普通方程为xy 4=0; 圆 C的极坐标方程是 =4cos,即 2=4cos ,化为直角坐标方程为x 2+y2=4x, 即 (x2)2+y2=4,表示以( 2,0)为圆心、半径r 等于 2 的圆 弦心距 d=r,弦长为 2=2=2, 故选: D 【点评】本题主要考查把参数
13、方程化为普通方程的方法,把极坐标方程化为直角 坐标方程的方法,点到直线的距离公式、弦长公式的应用,属于中档题 5 (5 分)x,y 满足约束条件,若 z=yax取得最大值的最优解不唯 一,则实数 a 的值为() 10 A或1B2 或C2 或1D2 或 1 【考点】 7C :简单线性规划 【专题】 11:计算题; 31:数形结合; 34:方程思想; 35:转化思想 【分析】 由题意作出已知条件的平面区域,将z=yax 化为 y=ax+z,z 相当于直 线 y=ax+z的纵截距,由几何意义可得 【解答】 解:由题意作出约束条件,平面区域, 将 z=yax 化为 y=ax+z,z 相当于直线 y=a
14、x+z的纵截距, 由题意可得, y=ax+z 与 y=2x+2 或与 y=2x 平行, 故 a=2或1; 故选: C 【点评】本题考查了简单线性规划, 作图要细致认真, 注意目标函数的几何意义 是解题的关键之一,属于中档题 6 (5 分)设函数 f(x) (xR)满足 f(x+ )=f(x)+sinx当 0x时,f (x)=0,则 f()=() ABC0D 11 【考点】 3P:抽象函数及其应用; 3T:函数的值 【专题】 51:函数的性质及应用 【分析】 利用已知条件,逐步求解表达式的值即可 【解答】 解:函数 f(x) (xR)满足 f(x+ )=f(x)+sinx当 0x时, f(x)=
15、0, f()=f() =f()+sin =f()+sin+sin =f()+sin+sin+sin =sin+sin+sin = = 故选: A 【点评】 本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力 7 (5 分)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为() A21+B18+C21D18 12 【考点】 L!:由三视图求面积、体积 【专题】 5F:空间位置关系与距离 【分析】 判断几何体的形状,结合三视图的数据,求出几何体的表面积 【解答】 解:由三视图可知,几何体是正方体的棱长为2,截去两个正三棱锥, 侧棱互相垂直,侧棱长为1, 几何体的表面积为:S 正方体2S棱锥侧+2S棱
16、锥底 =21+ 故选: A 【点评】 本题考查三视图求解几何体的表面积, 解题的关键是判断几何体的形状 8 (5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60 的共有() A24 对B30 对C48 对D60 对 【考点】 D9:排列、组合及简单计数问题;LM:异面直线及其所成的角 【专题】 5O:排列组合 【分析】利用正方体的面对角线形成的对数,减去不满足题意的对数即可得到结 果 【解答】 解:正方体的面对角线共有12 条,两条为一对,共有=66 条, 同一面上的对角线不满足题意, 对面的面对角线也不满足题意, 一组平行平面共 有 6 对不满足题意的直线对数, 不满足题意的
17、共有: 36=18 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对其中所成的角为60 的共有: 66 18=48 13 故选: C 【点评】 本题考查排列组合的综合应用,逆向思维是解题本题的关键 9 (5 分)若函数 f(x)=| x+1|+| 2x+a| 的最小值为 3,则实数 a 的值为() A5 或 8B1 或 5C1 或4D4 或 8 【考点】 &2:带绝对值的函数; 5A:函数最值的应用 【专题】 17:选作题; 5T:不等式 【分析】分类讨论,利用 f(x)=| x+1|+| 2x+a| 的最小值为 3,建立方程,即可求 出实数 a 的值 【解答】解:1 时,x,f(x)=x12xa=3
18、xa11; x1,f(x)=x1+2x+a=x+a11; x1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1a2, 1=3或 a2=3, a=8或 a=5, a=5时,1a2,故舍去; 1 时,x1,f(x)=x12xa=3xa12a; 1x,f(x)=x+12xa=xa+1+1; x,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1+1, 2a=3或+1=3, a=1 或 a=4, a=1 时,+12a,故舍去; 综上, a=4 或 8 故选: D 【点评】本题主要考查了函数的值域问题解题过程采用了分类讨论的思想,属 于中档题 14 10 (5分)在平面直角坐标系xOy中已知向量、 ,| =| =1,
19、? =0,点 Q满足=( + ) ,曲线 C= P|= cos + sin ,0 2 ,区域 = P| 0 r| R,rR若 C为两段分离的曲线,则() A1rR3B1r3RCr1R3D1r3R 【考点】 9S :数量积表示两个向量的夹角 【专题】 5A:平面向量及应用; 5B:直线与圆 【分析】 不妨令=(1,0) , =(0,1) ,则 P点的轨迹为单位圆, = P| (0r | R,rR 表示的平面区域为:以Q 点为圆心,内径为r,外径为 R 的圆环,若 C为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交,进而 根据圆圆相交的充要条件得到答案 【解答】 解:平面直角坐标系xOy中已知向量
20、、 ,| =| =1, ? =0, 不妨令=(1,0) , =(0,1) , 则=(+ )=(,) , = cos + sin = (cos ,sin ) , 故 P点的轨迹为单位圆, =P| (0r| R,rR 表示的平面区域为: 以 Q 点为圆心,内径为r,外径为 R的圆环, 若 C为两段分离的曲线, 则单位圆与圆环的内外圆均相交, 故| OQ| 1rR | OQ|+ 1, | OQ| =2, 故 1rR 3, 故选: A 【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用,其中根据已知分析出P的轨 迹及 = P| (0r| R,rR 表示的平面区域,是解答的关键 15 二、填空题:本大题共5
21、小题,每小题 5 分,共 25 分把答案填在答题卡相应 位置 11 (5 分)若将函数 f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位,所得图象 关于 y 轴对称,则 的最小正值是 【考点】 HJ :函数 y=Asin(x + )的图象变换 【专题】 57:三角函数的图像与性质 【分析】 根据函数 y=Asin(x + )的图象变换规律,可得所得图象对应的函数 解析式为y=sin(2x+2 ) ,再根据所得图象关于y 轴对称可得 2=k+,kz,由此求得 的最小正值 【解答】 解:将函数 f(x)=sin(2x+)的图象向右平移个单位, 所得图象对应的函数解析式为y=sin 2(x )+ =s
22、in(2x+2 )关于y 轴对称, 则2=k +,kz,即 =,故 的最小正值为, 故答案为: 【点评】 本题主要考查函数y=Asin(x+ )的图象变换规律,余弦函数的图象 的对称性,属于中档题 12 (5 分)数列 an 是等差数列, 若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列, 则 q=1 【考点】 88:等比数列的通项公式 【专题】 54:等差数列与等比数列 【分析】设出等差数列的公差,由a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列列 式求出公差,则由化简得答案 16 【解答】 解:设等差数列 an 的公差为 d, 由 a1+1,a3+3,a5+5 构成等
23、比数列, 得:, 整理得:, 即+5a1+a1+4d 化简得: (d+1) 2=0,即 d=1 q= 故答案为: 1 【点评】本题考查了等差数列的通项公式,考查了等比数列的性质, 是基础的计 算题 13(5分) 设a0, n是大于 1的自然数, (1+) n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+ +anxn 若 点 Ai(i,ai) (i=0,1,2)的位置如图所示,则a=3 【考点】 DA:二项式定理 【专题】 5P:二项式定理 【分析】求出 (1+) n 的展开式的通项为, 由图知,a0=1, a1=3,a2=4,列出方程组,求出a 的值 【解答】 解: (1+ )n的展开式的通项为, 由
24、图知, a0=1,a1=3,a2=4, , 17 , a23a=0, 解得 a=3, 故答案为: 3 【点评】本题考查解决二项式的特定项问题,关键是求出展开式的通项, 属于一 道中档题 14 (5 分)设 F1,F2分别是椭圆 E:x2+=1(0b1)的左、右焦点,过点 F1的直线交椭圆 E于 A、B两点,若 | AF1| =3| F1B| ,AF2x 轴,则椭圆 E的方 程为x2+=1 【考点】 K3:椭圆的标准方程; K4:椭圆的性质 【专题】 35:转化思想; 49:综合法; 5D:圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】 求出 B(c,b2) ,代入椭圆方程,结合1=b2+c2,即可求出椭
25、圆 的方程 【解答】 解:由题意, F1(c,0) ,F2(c,0) ,AF2x轴, | AF2| =b2, A点坐标为( c,b2) , 设 B(x,y) ,| AF1| =3| F1B| ,=3, ( cc,b2)=3(x+c,y) , B(c,b2) , 代入椭圆方程可得, 1=b 2+c2,b2= ,c2= ,x2+ =1 故答案为: x 2+ =1 【点评】 本题考查椭圆的方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题 18 15 (5 分)已知两个不相等的非零向量, ,两组向量,和 ,均 由2个和3个排 列 而 成 , 记 S=?+?+?+?+?,Smin表示 S 所有可能取值中的最小
26、 值则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号) S有 5 个不同的值; 若 ,则 Smin与| 无关; 若 ,则 Smin与| 无关; 若| 4| ,则 Smin0; 若| =2| ,Smin=8| 2,则 与 的夹角为 【考点】 2K:命题的真假判断与应用;96:平行向量(共线) 【专题】 5A:平面向量及应用; 5L:简易逻辑 【 分 析 】 依 题 意 , 可 求 得S 有 3 种 结 果 : S1=+, S2=+ ? + ? +,S3= ? + ? + ? + ? +,可判断错误; 进一步分析有S1S2=S2S3=+2 ? +2| ?| = 0,即 S中最小为 S3;再对逐一分析即可
27、得答案 【解答】 解: xi,yi(i=1,2,3,4,5)均由 2 个 和 3 个 排列而成, S=x iyi可能情况有三种: S=2 +3;S=+2 ? +2;S=4 ? + S有 3 种结果: S1=+, S2=+ ? + ? +, S3= ? + ? + ? + ? +,故错误; S1S2=S2S3=+2 ? +2| ?| =0, S中最小为 S3; 若 ,则 Smin=S3=,与| 无关,故正确; 19 若 ,则 Smin=S3=4 ? +,与| 有关,故错误; 若 | 4| , 则 Smin=S3=4| ?| cos + 4| ?|+ +=0,故正确; 若| =2| ,Smin=S
28、3=8| 2cos +4 =8, 2cos=1 ,=, 即 与 的夹角为 综上所述,命题正确的是, 故答案为: 【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查平面向量的数量积的综合应 用,考查推理、分析与运算的综合应用,属于难题 三、解答题:本大题共6 小题,共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤解答早答题卡上的指定区域 16 (12 分)设 ABC的内角为 A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且 b=3, c=1,A=2B ()求 a 的值; ()求 sin(A+)的值 【考点】 GP :两角和与差的三角函数;HP:正弦定理 【专题】 15:综合题; 56:三角函数的求值 【
29、分析】 ()利用正弦定理,可得a=6cosB ,再利用余弦定理,即可求a 的值; ()求出 sinA,cosA,即可求 sin(A+)的值 【解答】 解: () A=2B,b=3, a=6cosB , a=6, a=2; 20 () a=6cosB , cosB=, sinB=, sinA=sin2B=,cosA=cos2B=2cos 2B1= , sin(A+)=(sinA+cosA)= 【点评】本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算 能力,属于中档题 17 (12 分)甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜, 则判定获胜局数多
30、者赢得比赛 假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为,各局比赛结果相互独立 ()求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率; ()记 X为比赛决胜出胜负时的总局数,求X的分布列和均值(数学期望) 【考点】CG :离散型随机变量及其分布列; CH :离散型随机变量的期望与方差 【专题】 5I:概率与统计 【分析】 (1)根据概率的乘法公式,求出对应的概率,即可得到结论 (2)利用离散型随机变量分别求出对应的概率,即可求 X的分布列; 以及均值 【解答】 解:用 A 表示甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的是事件, Ak表示第 k 局甲获胜, Bk表示第 k 局乙获胜, 则 P(Ak)=,
31、P(Bk)=,k=1,2,3,4,5 ()P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=()2+()2+ ()2= () X的可能取值为 2,3,4,5 P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=, 21 P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=, P (X=5) =P (A1B2A3B4A5) +P (B1A2B3A4B5) +P (B1A2B3A4A5) +P (A1B2A3B4B5) =, 或者 P(X=5)=1P(X=2)P(X=3)P(X=4)=, 故分布列为: X2345 P
32、 E(X)=2+3+4+5= 【点评】本题主要考查概率的计算, 以及离散型分布列的计算, 以及利用期望的 计算,考查学生的计算能力 18 (12 分)设函数 f(x)=1+(1+a)xx2x3,其中 a0 ()讨论 f(x)在其定义域上的单调性; ()当 x 0,1 时,求 f(x)取得最大值和最小值时的x 的值 【考点】 6B:利用导数研究函数的单调性;6E:利用导数研究函数的最值 【专题】 53:导数的综合应用 【分析】 ()利用导数判断函数的单调性即可; ()利用()的结论,讨论两根与1 的大小关系,判断函数在 0,1 时的单 调性,得出取最值时的x 的取值 【解答】 解: ()f(x)
33、的定义域为(, +) ,f (x)=1+a2x3x2, 由 f (x)=0,得 x1=,x2=,x1x2, 由 f (x)0 得 x,x; 由 f (x)0 得x; 故 f(x)在(,)和(,+)单调递减, 22 在(,)上单调递增; () a0,x10,x20,x 0,1,当时,即 a4 当 a4 时,x21,由()知, f(x)在 0,1 上单调递增, f(x)在 x=0 和 x=1处分别取得最小值和最大值 当 0a4 时,x21,由()知, f(x)在 0,x2 单调递增,在 x2,1 上 单调递减, 因此 f(x)在 x=x2=处取得最大值,又f(0)=1,f(1)=a, 当 0a1
34、时,f(x)在 x=1处取得最小值; 当 a=1时,f(x)在 x=0和 x=1处取得最小值; 当 1a4 时,f(x)在 x=0处取得最小值 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识,考查学生分类 讨论思想的运用能力,属中档题 19 (13 分)如图,已知两条抛物线E1:y 2=2p 1x(p10)和 E2:y 2=2p 2x (p20) , 过原点 O 的两条直线 l1和 l2,l1与 E1,E2分别交于 A1、A2两点, l2与 E1、E2 分别交于 B1、B2两点 ()证明: A1B1A2B2; ()过 O 作直线 l(异于 l1,l2)与 E1、E2分别交于 C1、C
35、2两点记 A1B1C1 与A2B2C2的面积分别为 S1与 S2,求的值 23 【考点】 KH :直线与圆锥曲线的综合 【专题】 5C :向量与圆锥曲线 【分析】 ()由题意设出直线l1和 l2的方程,然后分别和两抛物线联立求得交 点坐标,得到的坐标,然后由向量共线得答案; ()结合()可知 A1B1C1与A2B2C2的三边平行,进一步得到两三角形相 似,由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案 【解答】 ()证明:由题意可知,l1和 l2的斜率存在且不为0, 设 l1:y=k1x,l2:y=k2x 联立,解得 联立,解得 联立,解得 联立,解得 , , A1B1A2B2; ()解:由()知
36、A1B1A2B2, 同()可证 B1C1B2C2,A1C1A2C2 A1B1C1A2B2C2, 因此, 24 又, 故 【点评】本题是直线与圆锥曲线的综合题,考查了向量共线的坐标表示,训练了 三角形的相似比与面积比的关系,考查了学生的计算能力,是压轴题 20 (13 分)如图,四棱柱ABCD A1B1C1D1中,A1A底面 ABCD ,四边形 ABCD 为梯形, ADBC ,且 AD=2BC ,过 A1、C、D 三点的平面记为 ,BB1与 的 交点为 Q ()证明: Q为 BB1的中点; ()求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比; ()若 AA1=4,CD=2 ,梯形 ABCD的面积为
37、6,求平面 与底面 ABCD所成二 面角的大小 【考点】 LF :棱柱、棱锥、棱台的体积;MJ:二面角的平面角及求法 【专题】 15:综合题; 5F:空间位置关系与距离 【分析】 ()证明平面 QBC 平面 A1D1DA,可得 QBC A1AD,即可证明 Q 为 BB1的中点; ( ) 设BC=a, 则AD=2a, 则=, VQ ABCD= ahd,利用 V 棱柱=ahd,即可求出此四棱柱被平面所 25 分成上、下两部分的体积之比; ()ADC中,作 AE DC ,垂足为 E ,连接 A1E,则 DE 平面 AEA 1,DEA1E, 可得 AEA 1为平面 与底面 ABCD所成二面角,求出 S
38、 ADC=4,AE=4, 可得 tan AEA 1= =1,即可求平面 与底面 ABCD所成二面角的大小 【解答】 ()证明:四棱柱ABCD A1B1C1D1中,四边形 ABCD为梯形, AD BC , 平面 QBC 平面 A1D1DA, 平面 A1CD与面 QBC 、平面 A1D1DA的交线平行, QC A1D QBC A1AD, =, Q为 BB1的中点; ()解:连接QA,QD,设 AA1=h,梯形 ABCD的高为 d,四棱柱被平面所 分成上、下两部分的体积为V1,V2, 设BC=a , 则AD=2a , =, VQ ABCD= = ahd, V2=, V棱柱=ahd, V1=ahd,
39、四棱柱被平面 所分成上、下两部分的体积之比; ()解:在 ADC中,作 AEDC,垂足为 E,连接 A1E,则 DE 平面 AEA1, DEA1E, AEA1为平面 与底面 ABCD所成二面角的平面角, BC AD,AD=2BC , SADC=2SABC, 梯形 ABCD的面积为 6,DC=2 , SADC=4,AE=4 , 26 tanAEA1=1, AEA1=, 平面 与底面 ABCD所成二面角的大小为 【点评】本题考查面面平行的性质,考查体积的计算,考查面面角,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题 21 (13 分)设实数 c0,整数 p1,nN* ()证明:当 x1 且 x0时,
40、(1+x)p1+px; ()数列 an满足 a1,an+1=an+ an1 p证明: a nan+1 【考点】8K:数列与不等式的综合; F9:分析法和综合法; R6:不等式的证明 【专题】 33:函数思想; 55:点列、递归数列与数学归纳法 【分析】 第()问中,可构造函数f(x)=(1+x)p(1+px) ,求导数后利用 函数的单调性求解; 对第()问,从an+1着手,由 an+1=an+an1 p,将求证式进行等价转 化后即可解决,用相同的方式将anan+1进行转换,设法利用已证结论证明 【解答】证明: ()令 f (x) = (1+x) p (1+px) , 则 f (x) =p (1
41、+x) p1p=p(1+x) p11 当 1x0 时,01+x1,由 p1 知 p10,(1+x)p 1(1+x)0=1, 27 (1+x)p 110,即 f (x)0, f(x)在( 1,0 上为减函数, f(x)f(0)=(1+0)p(1+p0)=0,即( 1+x)p(1+px)0, (1+x)p1+px 当 x0 时,有 1+x1,得( 1+x)p 1(1+x)0=1, f (x)0, f(x)在 0,+)上为增函数, f(x)f(0)=0, (1+x)p1+px 综合、知,当x1 且 x0 时,都有( 1+x) p1+px,得证 ()先证 an+1 an+1=an+ an1 p,只需证 an+an1 p , 将写成p1个相加,上式左边 =, 当且仅当,即时,上式取 “=”号, 当 n=1时,由题设知,上式 “=”号不成立, an+an 1p ,即 an+1 再证 anan+1 只需证 anan+an1 p,化简、整理得 a n pc,只需证 a nc 由前知 an+1成立,即从数列 an 的第 2 项开始成立, 又 n=1时,由题设知成立, 28 对 nN*成立, anan+1 综上知, anan+1,原不等式得证 【点评】本题是一道压轴题,考查的知识众多,涉及到函数、数列、不等式,利 用的方法有分析法与综合法等,综合性很强,难度较大
链接地址:https://www.31doc.com/p-4749702.html