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1、第 1 页 共 74 页 高中数学第一章 -集合 榆林 01. 集合与简易逻辑知识要点 一、知识结构: 本 章知识主要分为集合、 简单不等式的解法(集 合化简) 、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一)集合 1.基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2.集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: 任何一个集合是它本身的子集,记为AA; 空集是任何集合的子集,记为A; 空集是任何非空集合的真子集; 如果BA,同时AB,那么 A = B. 如果CACBBA,那么,. 注: Z= 整数 ()Z = 全体整数 () 已
2、知集合S 中 A 的补集是一个有限集,则集合A 也是有限集 .() (例: S=N; A=N , 则 CsA= 0 ) 空集的补集是全集. 若集合 A=集合 B,则 C BA=,CAB =CS( CAB)=D(注:CAB =). 常见题:1: ( x,y)|xy =0,xR,yR坐标轴上的点集. (x,y)|xy 0,xR,yR二、四象限的点集. (x,y)|xy 0,xR,yR 一、三象限的点集. 注:对方程组解的集合应是点集. 例: 132 3 yx yx 解的集合 (2,1). 第 2 页 共 74 页 点集与数集的交集是. (例: A =( x,y)| y =x+1 B= y|y =x
3、2+1 则 AB =) 2: n 个元素的子集有2 n个. n 个元素的真子集有2n 1 个. n 个元素的非空真子集有2n 2 个 . 3:一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真. 否命题逆命题 . 一个命题为真,则它的逆否命题一定为真. 原命题逆否命题 . 例:若325baba或,则应是真命题 . 解:逆否: a = 2 且 b = 3,则 a+b = 5,成立,所以此命题为真. ,且21yx3yx. 解:逆否: x + y =3x = 1 或 y = 2. 21yx且3yx,故3yx是21yx且的既不是充分,又不是必要条件. 小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 例:若255xxx或
4、,. 3.集合运算:交、并、补. |, | , ABx xAxB ABx xAxB AxUxA U 交:且 并:或 补:且C 4.主要性质和运算律 (1)包含关系: , ,;,;,. U AAA AUAU AB BCAC ABA ABB ABA ABB C (2)等价关系: U ABABAABBABUC (3)集合的运算律: 交换律:.;ABBAABBA 结合律 :)()();()(CBACBACBACBA 分配律 :.)()()();()()(CABACBACABACBA 0-1 律:,AAA UAA UAU 等幂律:.,AAAAAA 求补律: A CUA= A CUA=U CUU=CU=U
5、 反演律: CU(A B)= (CUA) ( CUB) C U(AB)= (CUA) ( CUB) 第 3 页 共 74 页 5.有限集的元素个数 定义:有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card( A)规定 card( ) =0. 基本公式: (1)()( )( )() (2)()( )( )() ()()() () card ABcard Acard Bcard AB card ABCcard Acard Bcard C card ABcard BCcard CA card ABC (3) card(UA)= card(U)- card(A) ( 二 ) 含绝对值不等式、一元二次不
6、等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法 (零点分段法) 将不等式化为a0(x-x 1)(x-x2) (x-xm)0(0”, 则找“线”在x 轴上方的区间;若不等 式是“ b 解的讨论; 一元二次不等式ax 2+box0(a0) 解的讨论 . 000 二次函数 cbxaxy 2 (0a)的图象 第 4 页 共 74 页 原 命 题 若 p则 q 否 命 题 若 p 则 q 逆 命 题 若 q则 p 逆 否 命 题 若 q 则 p 互 为 逆 否 互 逆 否 互 为 逆 否 互 互 逆 否 互 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等
7、实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 2. 分式不等式的解法 (1)标准化: 移项通分化为 )( )( xg xf 0(或 )( )( xg xf f(x 2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x) 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x) 的单调区间 .此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 第 7 页 共 74 页 正确理解奇、偶函数的定义。必须
8、把握好两个问题: ( 1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 )(xf 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件;( 2))()(xfxf或 )()(xfxf是定义域上的恒等式。 2奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4如果 )( xf 是偶函数,则 |)(|)(xfxf ,反之亦成立。 若奇函数在0x时有意义,则0)0(f。 7. 奇函数,偶函数: 偶函数 :)()(xfxf 设(ba,)为偶函数上一点,则(ba,)也是图象上一点. 偶函
9、数的判定:两个条件同时满足 定义域一定要关于y 轴对称,例如:1 2 xy在)1, 1上不是偶函数. 满足)()(xfxf,或0)()(xfxf,若0)( xf时,1 )( )( xf xf . 奇函数 :)()(xfxf 设(ba,)为奇函数上一点,则(ba,)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 定义域一定要关于原点对称,例如: 3 xy在)1, 1上不是奇函数. 满足)()(xfxf,或0)()(xfxf,若0)( xf时,1 )( )( xf xf . 8. 对称变换:y = f(x)( 轴对称 xfy y y =f(x)( 轴对称 xfy x y =f(x)( 原点对称
10、xfy 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: 在进行讨论 . 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数f(x)= 1+ x x 1 的定义域为A,函数 ff(x)的定义域是B,则集合 A 与 集合 B 之间的关系是. 解:)(xf的值域是)(xff的定义域 B , )(xf的值域R , 故RB, 而 A1| xx, 故AB. 22 1 22 212122 2 22 121 )( )()( bxbx xxxx bxbxxfxf x )( AB 第 8 页 共 74 页 x y 11. 常用变换: )( )( )()()()( yf xf yxf
11、yfxfyxf . 证:)()()()( )( )( )(yfyxfyyxfxf xf yf yxf )()()()()()(yfxfyxfyfxf y x f 证:)()()()(yf y x fy y x fxf 12. 熟悉常用函数图象: 例: | 2 x y| x关于 y 轴对称 . |2| 2 1 x y | 2 1 x y | 2| 2 1 x y x y (0,1) x y x y (-2,1) |122| 2 xxy| y关于 x轴对称 . 熟悉分式图象: 例: 3 7 2 3 12 xx x y定义域, 3|Rxxx,值域, 2|Ryyy值域x 前的系数 之比 . (三)指数
12、函数与对数函数 指数函数)10(aaay x 且 的图象和性质 a1 00时, y1;x0时, 01. ( 5)在 R 上是增函数( 5)在 R上是减函数 对数函数y=logax 的图象和性质 : 对数运算: nanaaa cba b b a N a n a a n a aaa aaa aaaa acb a N N Na M n M MnM NM N M NMNM n a 1121 loglog.loglog 1logloglog log log log log 1 log loglog logloglog loglog)(log 32 log )12 ) 1( 推论: 换底公式: (以上10
13、且.aa,a1,c0,c1,b0,b1,a0,a0,N0,M n21 ) 对数函数y=logax 的图象和性质 : a1 01 a0 ) 1 , 0(x时0y ), 1(x时0y (5)在( 0,+)上是增函数在( 0, +)上是减函数 第 11 页 共 74 页 当1a时,xy a log的a值越大,越靠近x轴;当10a时,则相反 . . 函数表达式的求法:定义法;换元法;待定系数法. (3).函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数 的定义域 .常涉及到的依据为分母不为0;偶次根式中被开方数不小于0;对数的真数 大于 0,底数大于零且不等于1;零指数幂的底
14、数不等于零;实际问题要考虑实际意义 等. (4).函数值域的求法:配方法( 二次或四次 ) ;“判别式法” ;反函数法;换元法; 不等式法;函数的单调性法. . 单调性的判定法: 设 x 1,x2 是所研究区间内任两个自变量,且 x 1 x2 ; 判定 f(x 1 ) 与 f(x 2 ) 的大小;作差比较或作商比较. . 奇偶性的判定法: 首先考察定义域是否关于原点对称,再计算 f(-x)与 f(x)之间的关 系: f(-x)=f(x)为偶函数; f(-x)=-f(x)为奇函数; f(-x)-f(x)=0为偶; f(x)+f(-x)=0 为奇; f(-x)/f(x)=1是偶; f(x) f(-
15、x)=-1为奇函数 . . 图象的作法与平移:据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;利用熟知函数的 图象的平移、翻转、伸缩变换;利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 高中数学第三章数列 考试内容: 数列 等差数列及其通项公式等差数列前n 项和公式 等比数列及其通项公式等比数列前n 项和公式 考试要求: (1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法,并 能根据递推公式写出数列的前几项 (2)理解等差数列的概念,掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实 际问题 (3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,井能解决简单的实 际问题 03. 数 列知识要点 数列 数列的定义 数列的有关概念 数列的通项 数列与函数的关系 项 项数 通项 等差数列 等差数列的定义 等差数列的通项 等差数列的性质 等差数列的前n项和 等比数列 等比数列的定义 等比数列的通项 等比数列的性质 等比数列的前n项和
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