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1、第 2 讲参数方程 1(2017 合肥调研 )在直角坐标系xOy 中,曲线 C: x2cos 1, y2sin 1 (为参 数),在以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l: sin cos m. (1)若 m0 时,判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 2 2 ,求实数 m 的取值范围 解(1)曲线 C 的直角坐标方程为 (x1) 2(y1)22,是一个圆; 直线 l 的直角坐标方程为xy0, 圆心 C 到直线 l 的距离为 d |11| 1 212 2r, 所以直线 l 与圆 C 相切 (2)由已知可得,圆心 C到
2、直线 l 的距离为 d|11m| 1 212 3 2 2, 解得1m5. 所以实数 m的取值范围为 1,5 2在平面直角坐标系xOy 中,圆 C 的参数方程为 x4cos , y4sin (为参数 ),直 线 l 经过点 P(1,2),倾斜角 6. (1)写出圆 C 的普通方程和直线l 的参数方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,求 |PA| |PB|的值 解(1)由 x4cos , y4sin 消去 , 得圆 C 的普通方程为 x2y216. 又直线 l 过点 P(1,2),且倾斜角 6. 所以 l 的参数方程为 x1tcos 6, y2tsin 6. 即 x1 3 2
3、t, y21 2t (t 为参数) (2)把直线 l 的参数方程 x1 3 2 t, y21 2t 代入 x2y216, 得 1 3 2 t 2 21 2t 216,t2( 32)t110, 所以 t1t211. 由参数方程的几何意义,|PA| |PB|t1t2|11. 3(2016 全国卷 )在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 (x6) 2y225. (1)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的参数方程是 xtcos , ytsin (t 为参数 ),l 与 C 交于 A,B 两点,|AB| 10,求 l 的斜率 解(1)由
4、x cos ,y sin 可得圆 C 的极坐标方程为 212 cos 11 0. (2)在(1)中建立的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为 ( R) 设 A,B 所对应的极径分别为1,2,将 l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程 得 212 cos 110. 于是 1212cos ,1211. |AB|12|12 24 12 144cos 2 44. 由|AB|10得 cos 2 3 8,tan 15 3 . 所以 l 的斜率为 15 3 或 15 3 . 4以直角坐标系的原点O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等 的长度单位 已知直线 l 的参数方程为 x1tcos , yt
5、sin (t 为参数,0 ), 曲线 C 的极坐标方程为 sin2 4cos . (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A,B 两点,当 变化时,求 |AB|的最小值 解(1)由 sin2 4cos 得( sin )24 cos , 曲线 C 的直角坐标方程为y24x. (2)将直线 l 的参数方程代入 y 24x 得到 t2sin2 4tcos 40. 设 A,B 两点对应的参数分别是t1,t2, 则 t1t24cos sin 2 ,t1t2 4 sin 2. |AB|t1t2|t1t2 24t1t2 4 sin 24,当 2时取到等号 |AB|min4,
6、即 |AB|的最小值为 4. 5(2014 全国卷 )在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴非负半轴为 极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为 2cos , 0, 2 . (1)求 C 的参数方程; (2)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l:y3x2 垂直,根据 (1)中你 得到的参数方程,确定D 的坐标 解(1)C 的普通方程为 (x1)2y21(0y1) 可得 C 的参数方程为 x1cos t, ysin t (t 为参数, 0t) (2)设 D(1cos t,sin t),由(1)知 C 是以 C(1,0)为圆心, 1 为半径的上半圆因为C 在点 D 处的切
7、线与 l 垂直, 所以直线CD 与 l 的斜率相同,tan t3,t 3 .故 D 的直角坐标为 1cos 3,sin 3 ,即 3 2, 3 2 . 6 (2017 长沙模拟 )在平面直角坐标系 xOy中, 曲线 C的参数方程为 x3cos , ysin (为参数 ),在以原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极 坐标方程为 sin 4 2. (1)求 C 的普通方程和 l 的倾斜角; (2)设点 P(0,2),l 和 C 交于 A,B 两点,求 |P A|PB|的值 解(1)由 x3cos , ysin 消去参数 ,得 x 2 9 y 21, 即 C 的普通方程为 x 2 9 y 21. 由 sin 4 2,得 sin cos 2,(*) 将 x cos , y sin 代入(*),化简得 yx2, 所以直线 l 的倾斜角为 4. (2)由(1)知,点 P(0,2)在直线 l 上,可设直线 l 的参数方程为 xtcos 4, y2tsin 4 (t 为参数 ), 即 x 2 2 t, y2 2 2 t (t 为参数 ), 代入 x 2 9 y 21 并化简,得 5t218 2t270, (18 2)245271080, 设 A,B 两点对应的参数分别为t1,t2, 则 t1t2 18 2 5 0,t1t2 27 5 0,所以 t10,t20,
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