2018-2019学年高二数学抛物线练习题及答案详解.pdf
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1、1 2018-2019学年高二数学抛物线练习题 A 级 基础小题练熟练快 1已知抛物线x 22py(p0)的准线经过点 (1, 1),则抛物线的焦点坐标为() A (0,1)B(0,2) C (1,0) D(2,0) 解析: 选 A由抛物线x22py(p0)的准线为y p 2 1,得 p2,故所求抛物线 的焦点坐标为(0,1) 2已知 AB 是抛物线y 2 2x 的一条焦点弦, |AB|4,则 AB 中点 C 的横坐标是 () A 2 B.1 2 C. 3 2 D.5 2 解析: 选 C设 A(x1, y1),B(x2,y2),则 |AB|x1x2p4,又 p1,所以x1x2 3,所以点C 的
2、横坐标是 x1x2 2 3 2. 3设抛物线C:y 24x 的焦点为 F,准线 l 与 x 轴的交点为A,过抛物线C 上一点 P 作准线 l 的垂线,垂足为Q.若 QAF 的面积为2,则点 P 的坐标为 () A (1,2)或(1, 2) B(1,4)或(1, 4) C (1,2) D(1,4) 解析: 选 A设点 P 的坐标为 (x0,y0)因为 QAF 的面积为 2,所以 1 2 2|y 0|2, 即|y0|2,所以 x01,所以点P 的坐标为 (1,2)或(1, 2) 4已知点F 是抛物线y 2x 的焦点, A,B 是该抛物线上的两点若 |AF|BF |3, 则线段 AB 的中点到y 轴
3、的距离为 () A. 7 4 B.5 4 C. 3 4 D1 解析: 选 B设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 |AF |BF |xA p 2xB p 2xAxB p3, 则 AB 的中点 C xAxB 2 ,y AyB 2 到 y 轴的距离d xAxB 2 3p 2 5 4. 5已知点 A(0,2),抛物线 C1:y 2ax(a0)的焦点为 F,射线 FA 与抛物线C 相交于点 M,与其准线相交于点N.若|FM | |MN |15,则 a 的值为 () A. 1 4 B.1 2 C 1 D4 2 解析: 选 D依题意,点F 的坐标为 a 4, 0 ,设点 M 在准线上的射 影为K,由
4、抛物线的定义知|MF |MK|,|KM | |MN |15,则 |KN| |KM|21.kFN 02 a 40 8 a , kFN |KN| |KM| 2, 8 a2,解得 a4. 6已知抛物线y 24x 的焦点为 F,过焦点 F 的直线交抛物线于A,B 两点, O 为坐标 原点若 AOB 的面积为4,则 |AB|() A 6 B8 C 12 D16 解析: 选 D设 A y 2 1 4 , y1, B y 2 2 4 ,y2, F(1,0) 当 AB x轴时,|AB|4, SAOB 1 2|OF | |AB| 2,不成立,所以 y2 y 2 2 4 1 y1 y 2 1 4 1 ? y1y2
5、 4.由 AOB 的面积为4,得 1 2|y 1y2|14,所以 y 2 1y 2 256,因此 |AB|x1x2p y 2 1y 2 2 4 216. 7已知点P 在抛物线y 24x 上,且点 P 到 y 轴的距离与其到焦点的距离之比为 1 2,则 点 P 到 x 轴的距离为 _ 解析: 设点 P 的坐标为 (xP,yP),抛物线 y 24x 的准线方程为 x 1,根据抛物线的 定义,点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离,故 xP xP 1 1 2, 解得 xP1, 所以 y2 P4,所以 |yP|2. 答案 :2 8一个顶点在原点,另外两点在抛物线y 22x 上的正三角形的面积为 _
6、解析: 如图,根据抛物线的对称性得AOx 30. 直线 OA 的方程 y 3 3 x, 代入 y22x,得 x26x0, 解得 x0 或 x6. 即得 A 的坐标为 (6,23) |AB|4 3,正三角形OAB 的面积为 1 24 3612 3. 答案 :123 9已知抛物线y 24x,过焦点 F 的直线与抛物线交于A,B 两点,过A,B 分别作 y 轴的垂线,垂足分别为C,D,则 |AC|BD|的最小值为 _ 3 解析: 由题意知F(1,0),|AC|BD| |AF|FB |2|AB|2,即 |AC|BD|取得最小 值时当且仅当|AB|取得最小值依抛物线定义知当|AB|为通径,即 |AB|2
7、p4 时为最小值, 所以 |AC|BD|的最小值为2. 答案: 2 10已知抛物线y 24x 的焦点为 F,过点 F 作一条直线交抛物线于A,B 两点 若 |AF| 3,则 |BF| _. 解析: 设 A(xA,yA),B(xB,yB),点 A 在第一象限, 则|AF |xA13,所以 xA2,yA22, 所以直线AB 的斜率为k 22 2 12 2. 则直线 AB 的方程为y2 2(x1), 与抛物线方程联立整理得2x25x 20,xAxB 5 2, 所以 xB1 2,所以 |BF|xB p 2 1 21 3 2. 答案: 3 2 B 级 中档题目练通抓牢 1已知抛物线C:y 28x 的焦点
8、为 F, P是抛物线C 的准线上一点,且P 的纵坐标为 正数, Q 是直线 PF 与抛物线C 的一个交点若|PQ|2|QF |,则直线PF 的方程为 () A xy20 Bxy20 C xy20 Dxy2 0 解析: 选 B如图,过点Q 作 QMl 于点 M.|QF |等于点 Q 到准 线的距离 |QM |, |PQ|2|QM |, PQM 45, PFO 45, 直线 PF 的倾斜角为135,即斜率 k 1,直线 PF 的方程为y 0 1(x2),即 xy20. 2已知点 P 是抛物线y 22x 上的动点, 点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 7 2,4 ,则|PA| |PM|的最小值
9、是 () A. 7 2 B4 C. 9 2 D5 解析: 选 C设抛物线 y22x 的焦点为F, 则|PF|PM | 1 2, |PM |PF| 1 2. |PA|PM |PA|PF| 1 2. 4 将 x 7 2代入抛物线方程 y 22x,得 y 7. 74,点 A 在抛物线的外部 当 P,A,F 三点共线时,|PA|PF|有最小值 F 1 2,0 , |AF | 7 2 1 2 2 4025. |PA|PM |有最小值5 1 2 9 2. 3.如图, 过抛物线y 2 2px(p0)的焦点 F 的直线依次交抛物线及其准 线于点 A,B,C,若 |BC|2|BF|,且 |AF |3,则抛物线的
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