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1、1 2018 年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛 暨 2018 年福建省高中数学竞赛试卷参考答案 一、填空题(共10小题,每小题 6 分,满分 60 分) 1将正偶数集合2 4 6 L,从小到大按第n 组有32n个数进行分组:2, 4 6 8 10,12 14 16 18 20 22 24, , , , ,则2018位于第组. 【解析】 设2018在第 n组,由2018为第1009个正偶数,以及题意,得 1 11 (32)1009(32) nn ii ii, 即 22 3(1)(1)3 1009 22 nnnn . 解得正整数27n. 2018位于第27组. 2在ABC中,内角A、B、C所对
2、的边分别是 a、b、 c. 若2a,3b,2CA, 则cosC. 【解析】 由2CA,知sinsin22sincosCAAA. 结合正弦定理,得2 coscaA. 由2a,3b,及余弦定理,得 222 2 cos2 2 bca caAa bc , 2 94 4 6 c c c . 2 1 0c,10c. 222 491 01 c o s 222 34 abc C ab . 3设复数 z满足2zi,则zz的最大值为. (i为虚数单位,z为 复数 z的共轭复数) 【解析】 设zxyi( x,yR) , 2 则 zxyi ,()()2zzxyixyiyi ,2zzy. 由2zi,知()2xyii,
3、22 (1)4xy. 2 (1)4y,13y. 26zzy,当且仅当3y,即3zi时,等号成立 . zz的最大值为6. 4 已知定义在R上的奇函数( )f x的图像关于直线2x对称,当02x时,( )1f xx, 则( 100)( 101)ff. 【 解析 】由( )f x为奇 函数 ,且其 图像关 于直线2x对称, 知()( )fxf x,且 (2)(2)fxfx. (4 )()(fxfxfx,(8)(4)( )f xf xf x. ( )f x是以 8 为周期的周期函 数. 又(3)(1)2ff,(4)(0)0ff. (1 0 0 )(1 0 1 )( 4 )( 3 )0ffff. 5从如
4、图所示的由9 个单位小方格组成的3 3方格表的 16 个顶点中任取三个顶点,则 这三个点构成直角三角形的概率为. 【解析】 先计算矩形的个数,再计算直角三角形的个数. 根据矩形特点,由这16 个点可以构成 22 44 36CC个不同的矩形 . 又每个矩形可以分割成4 个不同的直角三角形,且不同的矩形,分割所得的直角三角形 也不同 . 因此,可得436144个直角顶点在矩形顶点的不同的直角三角形; 3 再算直角顶点不在矩形顶点: (1)在 12 矩形中,有顶点不在矩形顶点, 边长分别为22 2, ,的直角三角形 2 个, 而 12 矩形横向、纵向各有6 个,共 212=24个; (2)在 23
5、矩形中,有顶点不在矩形顶点,边长分别为5510, ,的直角三角形 4 个, 边长分别为2210,2,的直角三角形 4 个, 而 23 矩形横向、纵向各有 2 个, 共 (4+4) 4=32 个; (第 5 题图) 故,所求的概率为 3 16 144+24+322005 401414 P C . 6如图,在三棱锥PABC中,PAC、ABC都是边长为6的等边三角形 . 若二面 角PACB的大小为120,则三棱锥PABC外接球的面积为. 【解析】 如图,取AC中点D,连DP、DB. 则由PAC、ABC都是边长为6的等边三角形,得 PDAC,BDAC,PDB为二面角PACB的平面角, 120PDB.
6、设O为三棱锥PABC外接球的球心, 1 O 、 2 O 分别为ABC、PAC C B A P (第 6 题图) 4 的中心 . 则 1 OOABC面, 2 OOPAC面,且 21 13 (6)3 32 O DO D, 21 OOOO . 易知O、 2 O 、D、 1 O 四点共面,连OD, 则 1 60ODO, 11 33OODO. 三棱锥PABC外接球半径 2222 11 3(23)21ROBOOO B. 三棱锥PABC外接球的面积为 2 484R. 7已知 1 F 、 2 F 分别为双曲线C: 22 1 412 xy 的左、右焦点,点P在双曲线C上,G、I 分别为 12 F PF的重心、内
7、心,若 GIx 轴 ,则 12 F PF的外接圆半径R. 【答案】5 【解析】 不妨设 00 ()P xy,在第一象限, 11 PFr , 22 PFr . 依题意, 12 4rr, 12 8F F. 由G、I分别为 12 F PF的重心、内心, GIx 轴 ,得 12 F PF内切圆半径 0 1 3 ry. 12 1122120 111 ()(8) 223 F PF SF PF FF Prrry . 又 12 1200 1 4 2 F PF SF Fyy. 1200 11 (8)4 23 rryy. 12 16rr,结合 12 4rr,得 1 10r, 2 6r. 由此得到, 222 112
8、2 F PF FF P . 因此, 212 PFF F . 12 F PF的外接圆半径 1 1 5 2 RF P. D C B A P O O2 O1 (第 6 题答题图) 5 8最近网络上有一篇文章很火. 源于一道常见题目: (见图) ,这貌似易解的题目,里面竟然蕴藏了深奥的大道 理. (本题不作为本次考试的试题,本次试题如下) 设 a,2 3 4 5 6 7 8b,则 1010 ab baab 的 最大值为. 【解析】 不妨设ab, a x b ,则14x,且 2 2 2 1110210 1010101011010110 10101 9999 11 1 1010110 10()101 a
9、abxxx b aa baabxxxx bb x xx x x 14x,当4x时, 1 10()101x x 取最大值 1 10(4)101 4 . 当4x时, 99 1 1 10()101x x 取最大值 9989 1 1 287 10(4)101 4 . 当8a,2b(或2a,8b)时, 1010 ab baab 取最大值 89 287 . 9 已 知 整 数 系 数 多 项 式 5432 12345 ( )f xxa xa xa xa xa , 若(32 )0f, (1)(3)0ff,则( 1)f. 【解析】 设 0 32x,则 0 32x, 2 0 (3)2x, 于是 2 00 2 3
10、32xx, 2 00 2 31xx. 222 00 (2 3)(1)xx, 42 00 1010xx. 0 32x是多项式 42 ( )101g xxx的一个根 . 6 又 0 32x不可能是三次整数系数多项式、二次整数系数多项式的零点. ( )g x整除( )f x. 42 ( )( )()(101)()f xg xxrxxxr ,r 为整数 . ( 1 )8 ( 1)88frr,(3)8(3)248frr. 由(1)(3)0ff,得( 88 )( 248 )0rr,2r. 42 ( )(101)(2)f xxxx,( 1)24f. 10已知函数( )f x满足:对任意实数x ,y,都有()
11、( )( )6f xyf xfyxy成立,且 ( 1)(1)9ff,则 2 ( ) 3 f. 【解析】 在()( )( )6fxyf xfyxy中, 令0xy,得(0)(0)(0)0fff,(0)0f. 令1x,1y,得(0)(1)( 1)( 6)fff,(1)( 1)6ff. 又( 1)(1)9ff, 6(1)(1)9ff,即 2 (1)6 (1)90ff , 2 (1)30f ,(1)3f. 又 211111 112 ( )()( )( )62( ) 333333 333 fffff, 12121 2 (1)()( )()6 33333 3 ffff. 112121 ( 1 )()2()6
12、3()23 333333 ffff. 11 ( ) 33 f, 212124 ()2 ( )2 333333 ff. 7 二、解析题(共5 小题,每小题 20 分,满分 100 分. 要求写出解题过程) 11已知数列 n a的前 n项和 n S 满足 2 nn Snan, * nN,且 2 3a. (1)求数列 n a的通项公式; (2)设 11 1 n nnnn b aaaa , n T 为数列 n b的前 n项和,求使 9 20 n T成立的最小正整 数 n的值. 【解析】 (1)由 2 nn Snan,得 11 2(1)1 nn Snan. 将上述两式相减,得 11 2(1)1 nnn
13、anana. 1 (1)1 nn nana. 12 (1)1 nn nana. ,得 12 20 nnn nanana, 21 2 nnn aaa. 数列 n a为等差数列 . 又由 11 21Sa,及 2 3a,得 1 1a, n a的公差2d. 12(1)21 n ann. 12已知 1 F 、 2 F 分别为椭圆C: 22 22 1 xy ab (0ab)的左、右焦点,点 2 6 (1) 3 P,在 椭圆C上,且 12 F PF的垂心为 265 () 33 H,. (1)求椭圆C的方程; (2)设A为椭圆C的左顶点,过点 2 F 的直线l交椭圆C于D、E两点,记直线AD、AE 的斜率分别
14、为 1 k 、 2 k ,若 12 1 2 kk,求直线l的方程 . 【解析】 设 1( 0)Fc, , 2( 0)F c, . 由 12 F PF的垂心为 2 65 () 33 H,得 12 F HPF . 8 12 5 1 3 1 2 62 6 33 F HPF kk cc , 2 245 93 c,解得 2 1c. 由点 2 6 (1) 3 P,在椭圆C上,得 22 241 1 9ab . 结合 222 1abc,解得 2 4a, 2 3b. 椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2)由( 1) ,知( 2 0)A, 2(1 0) F, . 若l斜率不存在,则由对称性, 12 0k
15、k,不符合要求 . 若l斜率存在,设为k,则l方程为(1)yk x. 由 22 (1) 1 43 yk x xy ,得 2222 (43)84120kxk xk 设 11 ()D xy, 22 ()E xy,则 2 122 8 43 k xx k , 2 122 412 43 k x x k . 1212 12 121212 (1)(1)33 (11) 222222 yyk xk x kkk xxxxxx 2 2 1212 22 121212 22 8 3(4) 3(4)3(4) 43 222 4128(2)(2)2()4 24 4343 k xxxx k kkk kkxxx xxx kk 2
16、22 2222 3(81612)211 2(2) 412161612 kkk kk kkkkk . 又 12 1 2 kk,因此,2k,直线l方程为2(1)yx. 13如图,在锐角ABC中,D、E是边BC上的 点,ABC、ABD、ADC的外心分别为O、P、Q. 证明: (1)APQABC; (2)若EOPQ,则QOPE. E O P Q B C A D 9 【解析】 (1)连结PD,QD. P、Q分别为ABD、ADC的外心, PQ为线段AD的垂直平分线 . 1 2 A P QA P DA B DA B C, 1 2 A Q PA Q DA C DA C B. A P QA B C. (2)连结
17、OA,OB,OP,PB,QC,延 长OQ与AC相交于点F. 由O、P、Q分别为 ABC、ABD、ADC的外心,知OP、OQ、PQ分别是线段AB、AC、AD的垂直平 分线. 2 ()2A P BA P DB P DA B DB A DA D CA Q C. 又OBPOAP, 11 22 AQFAQCAPBAPO. A、P、O、Q四点共圆,OAPOQP. 又EOPQ,DAPQ, E OD A, 1 2 OECADCAPBBPO. P、B、E、O四点共圆,OEPOBP. 设EO,QO的延长线分别与PQ,PE相交于M,N, 则OEPOBPOAPOQP. M、N、E、Q四点共圆 . 又EOPQ,90QN
18、EQME. Q OP E. N M E O P Q F B C A D 10 14已知( ) x f xemx. (1)若0x时,不等式 2 (2) ( )20xf xmx恒成立,求实数 m的取值范围; (2)若 1 x , 2 x 是函数( )fx的两个零点,求证: 12 2xx. 【解析】 (1)设 2 ( )(2) ( )2g xxf xmx,则( )(2)22 x g xxemx. 0x时,不等式 2 (2) ( )20xf xmx恒成立0x时,( )0g x恒成立 . ()(2 )2(1)2 xxx gxexemxem,( )(1) xxx gxexexe . 0x时,( )0 x
19、gxxe,( )(1)2 x g xxem在区间 0,上为增函数 . 另由(2)420gm,知 1 2 m. 若 11 22 m,则(0)120gm, 2 (2)20gem. 此时,( )gx在区间(02),内有唯一零点,设为 0 x . 则 0 0xx 时,( )0gx. ( )g x在区间 0 0 x,上为减函数, 0 ()(0)0g xg. 因此, 11 22 m不符合要求 . 若 1 2 m,则0x时,( )(0)120g xgm. 此时,( )g x在 0,上为增函数 . 0x时,( )(0)0g xg. 因此, 1 2 m符合要求 . 由、,得 m 的取值范围为 1 2 ,. (2
20、) 1 x , 2 x 是函数( ) x f xemx的两个零点, 1 1 x em x , 2 2 x emx , 12 12 () xx m xxee, 12 12 () xx m xxee. 不妨设 12 xx ,易知0m,联立上述两式,消 m ,得 1212 1212 1212 12 ()()()(1) 1 xxxx xxxx xxeexxe xx eee . 又由( 1)知,对 1 2 m,当0x时,( )(2)220 x g xxemx恒成立 . 当0x时, (2)20 x xex恒成立 . 11 当0x时, (1)22(2)2 20 111 xxxx xxx x exexexex
21、 eee . 12 12 12 12 ()(1) 220 1 xx xx xxe xx e , 12 2xx. 当 12 xx 时,同理可得, 12 2xx. 12 2xx. 15设M是由有限个正整数构成的集合,且 12201220 MAAABBBUUL UUUL U, 这里 i A, i B,1i,2,20,并对任意的120ij,都有 ij AAI, ij BBI. 已知对任意的120i,120j,若 ij ABI,则18 ij ABU,求集合M的元 素个数的最小值 . (这里,X表示集合X的元素个数) 【解析】 记 12201220 minAAABBBtLL, , ,. 不妨设 1 At, 1i ABI,1i,2,k; 1j ABI,1jk,2k, 20. 设 1ii aABI,1i,2,k. 对任意的120ij,都有 ij BBI, 1 a , 2 a , k a 互不相同, 1 Ak,即tk. 对任意的120i,120j,若 ij ABI,则18 ij ABU, 当1jk,2k,20时, 11 18 jj ABABU. 即,当1jk,2k,20时,18 j Bt. 122 01212 0kk MBBBBBBBBUUL ULL (20)(18)360218201802(10)(9)ktktktktkt
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