高考试题中的阿基米德三角形(含答案).pdf
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1、- 1 - ( 2005 江西卷,理22 题)如图,设抛物线 2 :xyC的焦点为F,动点 P 在直线02:yxl上运动, 过 P作抛物线C 的两条切线PA、PB,且与抛物线C 分别相切于A、 B 两点 . ( 1)求 APB 的重心 G 的轨迹方程 . (2)证明 PFA=PFB. 22解:(1)设切点A、B 坐标分别为)(,(),(01 2 11 2 0xxxxxx和, 切线 AP 的方程为:;02 2 00 xyxx 切线 BP 的方程为:;02 2 11 xyxx 解得 P 点的坐标为: 10 10 , 2 xxy xx x PP 所以 APB 的重心 G 的坐标为 P P G x x
2、xx x 3 10 , , 3 4 3 )( 33 2 10 2 1010 2 1 2 010 pP P G yx xxxxxxxxyyy y 所以 2 43 GGp xyy,由点 P 在直线 l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为: ).24( 3 1 ,02)43( 22 xxyxyx即 (2)方法 1:因为). 4 1 ,(), 4 1 , 2 (), 4 1 ,( 2 1110 102 00 xxFBxx xx FPxxFA 由于 P 点在抛物线外,则.0| FP , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 2 2 0 2 0 2 0100
3、10 FP xx xxFP xxxx xx FAFP FAFP AFP 同理有 , | 4 1 ) 4 1 (| ) 4 1 )( 4 1 ( 2 | cos 10 2 2 1 2 1 2 1101 10 FP xx xxFP xxxx xx FBFP FBFP BFP AFP=PFB. 方法 2:当,0,0,0 000101 yxxxxx则不妨设由于时所以 P 点坐标为)0, 2 ( 1 x ,则 P 点到直线 AF 的距离为:, 4 1 4 1 :; 2 | 1 2 1 1 1 x x x yBF x d的方程而直线 x y O A B P F l - 2 - 即.0 4 1 ) 4 1
4、( 11 2 1 xyxxx 所以 P 点到直线BF 的距离为: 2 | 4 1 2 | ) 4 1 ( )() 4 1 ( | 42 ) 4 1 ( | 1 2 1 12 1 2 1 22 1 112 1 2 x x x x xx xx x d 所以 d1=d2,即得 AFP=PFB. 当0 01x x时,直线AF 的方程:, 0 4 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 00 2 0 0 2 0 xyxxxx x x y即 直线 BF 的方程: , 0 4 1 ) 4 1 (),0( 0 4 1 4 1 11 2 1 1 2 1 xyxxxx x x y即 所以 P 点到直线AF
5、 的距离为: 2 | 4 1 ) 4 1 )( 2 | ) 4 1 ( | 4 1 ) 2 )( 4 1 (| 10 2 0 2 0 10 2 0 22 0 01 2 0 102 0 1 xx x x xx xx xxx xx x d, 同理可得到P 点到直线BF 的距离 2 | 01 2 xx d,因此由d1=d2,可得到 AFP= PFB (2006 全国卷, 理 21 题 )已知抛物线x 24y 的焦点为 F, A、 B 是抛物线上的两动点,且 AF FB ( 0) 过 A、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为 ()证明 FM AB 为定值; ()设 ABM 的面积为 S,写出 S f
6、( )的表达式,并求S的最小值 21解: ( )由已知条件,得F(0,1), 0 设 A(x1,y1), B(x2,y2)由 AF FB , 即得(x1,1y) (x2,y21), x1 x2 1y1 (y21) 将式两边平方并把y1 1 4x 1 2,y 2 1 4x 2 2 代入得y1 2y 2 解、式得y1 ,y2 1 ,且有 x1x2 x2 2 4 y 2 4, 抛物线方程为y 1 4x 2,求导得 y 1 2x 所以过抛物线上A、B 两点的切线方程分别是 y1 2x1(xx1)y1,y 1 2x 2(xx2)y2, - 3 - 即 y1 2x 1x 1 4x 1 2,y1 2x 2x
7、 1 4x 2 2 解出两条切线的交点M 的坐标为 (x 1x2 2 , x1x2 4 )( x1x2 2 , 1) 4 分 所以 FM AB (x 1x2 2 , 2)(x2x1, y2 y1)1 2(x2 2x 1 2)2(1 4x2 21 4x1 2)0 所以 FM AB 为定值,其值为0 7 分 ()由 ()知在 ABM 中, FM AB,因而 S 1 2|AB|FM | |FM|(x 1x2 2 )2(2)2 1 4x1 2 1 4x2 2 1 2x1x24 y1y2 1 2(4)4 1 2 1 因为 |AF|、|BF|分别等于A、B 到抛物线准线y 1 的距离,所以 |AB| |A
8、F| |BF| y1 y22 1 2( 1 ) 2 于是S1 2|AB|FM|( 1 ) 3, 由 1 2 知 S4,且当 1 时, S取得最小值4 (2007 江苏卷,理19 题)如图,在平面直角坐标系xOy中,过y轴正 方向上一点(0, )Cc任作一直线,与抛物线 2 yx相交于AB两点,一 条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线:lyc交于,P Q, (1)若2OA OB,求c的值;(5 分) (2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线; (5 分) (3)试问( 2)的逆命题是否成立?说明理由。(4 分) 解: (1)设过 C 点的直线为ykxc,所以 2 0xkxc c
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- 高考 试题 中的 阿基米德 三角形 答案
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