2016年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2)及参考答案第一试.pdf
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1、2016 年浙江省高中数学竞赛模拟试题(2) 及参考答案第一试 一、填空题:本大题共8 小题,每小题8 分,共 64 分 . 1若对任意 ,2xa a 均有 2xax,则实数a的取值范围是 解: 22 3 2320460 2 xaxxaxaaa 2已知 22 241420xxyy,则xy的最小值为 解: 22 22 42421 241112411xxxxx yyyyy (利用函数单调性) 1 2xyy y ,等号当且仅当1xy时等号成立,所以xy的最小值为2 3用x表示不超过x的最大整数 . 则 2 1 1 sin 2014 等于 解: 2 2 111 0sin2014 1 2014 2014
2、 sin 2014 , 2 22 1111 tan12015 11 20142014 sintan 20142014 ,所以 2 1 2014 1 sin 2014 4已知 2 1 ,() 21 n nf x fxfxfxfxffx x 个 则 1 2 n f 解: 1 22 2 2 1 111 1111 1111 21 n n n n nnn f f ffffx ,所以 2 1 3 2 n n f 5 在正方体 1111 ABCDA B C D中,已知棱长为1, 点E在 11 A D上,点F在CD上, 11 2,2A EED DFFC. 则三棱锥 1 BFEC的体积为 解:如图,作 111
3、FFC D, 连接 11 B F交 1 EC于点K 三棱锥 1BFEC 的体积为 1 15 327 BFK EC S 6已知等腰直角PQR 的三个顶点分别在等腰直角ABC 的三条边上, 记 PQR, ABC 的面积分别为SPQR,SABC,则 PQR ABC S S 的最小值为 解: ( 1)当PQR的直角顶点在ABC的斜边上,则,P C Q R四点共圆, 180,APRCQRBQR所以sinsin.APRBQR在,APRBQR 中分别应用正弦定理得, sinsinsinsin PRARQRBR AAPRBBQR . 又45 ,AB故PRQR,故AR BR即R为AB的中点 .过R作RHAC 于
4、H, 则 1 2 PRRHBC,所以 2 2 22 1 () 1 2 4 PQR ABC BC S PR SBCBC ,此时 PQR ABC S S 的最小值为 1 4 . (2)当PQR的直角顶点在ABC的直角边上,如图所示, 设1,(01),(0) 2 BCCRxxBRQ, 则90.CPRPRCBRQ在Rt CPR中,, sinsin CRx PR 在BRQ中, 3 1, sin4 x BRx RQPRRQBQRBB, 由正弦定理 , 1 sin 3 sinsin sinsin() 44 x PQRBx BPQB 1 sincos2sin x , 因此 222 1111 ()() 22 s
5、in2 cos2sin PQR x SPR. 这样, PQR ABC S S 2 222 111 () cos2sin(12 )(cossin)5 ,当且仅当arctan2取等号, 此时 PQR ABC S S 的最小值为 1 5 . 7设P为抛物线 2 2yx上的一个动点, 过P作抛物线的切线与 22 :1Oxy交于点,MNO在,M N 两点处的切线交于点Q,则点Q的轨迹方程是 8选择集合 * 1,2,SnnN的两个不同的非空子集A和B 则使B中最小数大于 A中最大数的概率是 设 A 中的最大数为k,其中11kn , 整数n3, 则 A 中必含元素k,另元素 1,2, k 1可在 A 中,故
6、 A 的个数为: 0111 111 CCC2 kk kkk , B 中必不含元素1,2, k,另元素k1,k2, n 可在 B 中,但不能都不在B 中, 故 B 的个数为: 12 CCC21 n kn k n kn kn k ,从而集合对( A, B) 的个数为 1 221 kn k 11 22 nk , 所以所有满足A 中最大数小于B 中最小数的集合对( A, B) 的个数为 1 1 1111 1 12 22(1) 2(2) 21 12 n n nknn k nn而所有的集合对(A,B)的个数为21 22 nn 所以使 B中最小数大于A中最大数的概率是 1 (2) 21 2122 n nn
7、n 二、解答题:本大题共3 小题,共56 分. 9. (本小题满分16 分) . 已知椭圆 22 22 :1 xy E ab 的左、右焦点分别为 1 F, 2 F,直线l与椭圆 E 有且 只有一个公共点M,且交y轴于点 P,过点 M 作垂直于l的直线交y轴于点Q. 求证: 12 ,F Q FM P五点共圆 . (略) 10. (本小题满分20 分)已知函数 2 2 ( ) 1 n nxx fx x , 12 , n x xx,为正实数,且 12 .1 n xxx, 证明: 12 ()().()0 nnnn fxfxfx (略) 11.(本小题满分20 分) . 已知数列, nn ab满足 1
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