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1、热点题型 1导数与目标函数 典例 (2017南充模拟 )已知 ,是三次函数f(x)1 3x 31 2ax 2 2bx的两个极值点,且 (0,1), (1,2),求 b2 a1的取值范围 由零点存在定理构造不等式组,将问 题转化为线性规划,同时采用数形结合思想 解函数 f(x)1 3x 31 2ax 22bx, f(x)x2ax2b. 又 (0,1), (1,2), f 0 2b0, f 1 1a2b0, 其对应的平面区域如右图所示: 由图可得:当 a3,b1 时, b2 a1取最小值 1 4; 当 a1,b0 时, b2 a1取最大值 1. 热点题型 2抽象函数与导数 典例 (2018太原模拟
2、 )已知定义在 R上的函数 f(x)存在导函数 f(x),且 2f(x)2f(x)3,f(1)1,求不等式 2f(x)3 1 e x10 的解 集 本题采用转化法, 将抽象函数不等式化 为代数不等式 解2f(x)2f(x)3,两边同乘以 e x 得 2e xf(x)2exf(x)3ex. 整理得 e x2f(x)32exf(x)0, 令 H(x)e x2f(x)3, H(x)0,则函数 H(x)在 R 上单调递增 2f(x)3 1 e x10,e x2f(x)3e, 即 H(x)H(1),解得 x1. 热点题型 3曲线多切线的判断与求解 典例 (2017红桥区二模 )已知函数f(x) 1 3x
3、 3a 2x 22x(a R) (1)当 a3 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若对于任意x1, )都有 f(x)0,函数 f(x)单调递增; 当 x2 时,f(x)1,此时 12. 所以实数 a 的取值范围为 (2,) 热点题型 4两曲线的公切线问题 典例 (2018安徽模拟 )已知函数 f(x)1 2x 22ax,g(x)3a2ln x b,设两曲线 yf(x),yg(x)有公共点,且在该点处的切线相同, 求 a(0,)时,实数 b 的最大值 利用方程思想根据已知,本题可得 方程组 f x0g x0, f x0g x0, 进而求解 解函数 f(x)的导数为 f(x)x2a, 函数
4、g(x)的导数为 g(x)3a 2 x , 由于两曲线 yf(x),yg(x)有公共点,设为P(x0,y0), 则 f x0g x0? 1 2x 2 02ax03a 2ln x 0b, f x0g x0? x02a3a 2 x0 ? x0a或x03a, 由于 x00,a0, 则 x0a,因此 b 1 2x 2 02ax03a 2ln x 0 5 2a 23a2ln a(a0),构造 函数 h(t)5 2t 23t2ln t(t0), 由 h(t)2t(13ln t), 当 00,即 h(t)单调递增;当 te 1 3时,h(t)0,函数 f(x) 1x ax ln x. (1)试问在定义域上能
5、否是单调函数?请说明理由; (2)若 f(x)在区间 1,)上是单调递增函数, 试求实数 a 的取值 范围; (3)当 a1 时,设数列 1 n 的前 n 项和为 Sn,求证: Sn10,f(x)递增 所以函数 f(x)不是定义域上的单调函数 (2)若 f(x)在 x1,)是单调递增函数,则f(x)0 恒成立, 即 a1 x恒成立 即 a 1 x max,x1,), 1 x1,a1. (3)证明:当 a1 时,由(2)知,f(x) 1x x ln x 在1,)上为 增函数, f(n)1n n 1n n ln n1n n ln n, 又当 x1 时,f(x)f(1)0, 1x x ln x0,即
6、 ln x11 x. 令 g(x)x1ln x, 则 g(x)11 x, 当 x(1, )时, g(x)0. 从而函数 g(x)在1,)上是递增函数,所以有g(x)g(1)0, 即得 x1ln x. 综上有: 1 1 x1), 1 x10,kxln x x ,k ln x x2 . 令 h(x)ln x x 2,h(x) 12ln x x 3, 令 h(x)0,解得 0 e. 则 h(x)在(0, e)单调递增,在( e, )单调递减,故 h(x)h( e) 1 2e ,则 k 1 2e . (3)证明:由 (2)知ln x x2 1 2e, ln x x4 1 2e 1 x2(x2), ln
7、 2 2 4 ln 3 3 4 ln n n 40,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增 当 a0 时,由 f(x)0, 即 ax2x1a0,解得 x11,x2 1 a1. .当 a 1 2 时,x1x2,h(x)0 恒成立,此时 f(x)0,函数 f(x) 在(0,)上单调递减; .当 010, x(0,1)时,h(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增; x 1 a1, 时,h(x)0,此时 f(x)0,此时 f(x)0,函数 f(x)单调递增 综上所述:当 a0 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,函数f(x)在 (1,)上单调递增; 当 a 1 2时,函数 f(x)在(0,)上单调递减; 当 00,函数 f(x)单调递增,所以f(x)在(0,2)上 的最小值为 f(1) 1 2. 由于“对任意 x1(0,2),存在 x21,2,使 f(x1)g(x2)”等价于 “g(x)在1,2上的最小值不大于f(x)在(0,2)上的最小值 1 2”(*), 又 g(x)(xb) 24b2,x 11,2,所以 当 b0,此时与 (*)矛盾; 当 b1,2时,因为 g(x)min4b20,同样与 (*)矛盾; 当 b(2,)时,因为 g(x)ming(2)84b,解不等式 8 4b 1 2,可得 b 17 8 . 综上, b 的取值范围是 17 8 , .
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