2018届高三数学二轮专题复习资料专题三角函数与解三角形.pdf
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1、第 1 页 共 21 页 专题 3:三角函数与解三角形 问题归类篇 类型一:同角三角函数求值 一前测回顾 1(1) 若 sin 5 13,且 为第四象限角,则 tan的值等于 _ 答案: 5 12 ( 2)已知 tan 2,则 sin cos cos 2 2sin cos sin 2, sin 2 2sin cos 2 答案: 3 8;2 (3)已知 sin cos 1 5, (0, ),则 cos sin , tan 答案: 7 5; 4 3 解析: sin cos 1 5, (0, ),且 sin 2 cos2 1,得到 sin 4 5,cos 3 5 二、方法联想 1三角函数求值 (1)
2、 知一求其余三角函数值; (2)关于 sin 与 cos的齐次式,同除cos 或 cos 2 ,如果不是齐次,借助1 sin 2 cos2构造齐次 (3)sin cos ,sin cos ,sin cos间关系式 注意根据角的范围确定三角函数值正负无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的 三角函数值 )缩小角的范围 三、归类巩固 *1已知 sin 4 5,并且 是第二象限角,则 cos的值为 (已知三角函数正弦值,求余弦值) 答案: 3 5 *2 已知 tan 3,且 3 2 ,则 cos sin (已知三角函数正切值,求正弦、余弦值) 第 2 页 共 21 页 答案: 10 5 解
3、析: sin cos 3 且 sin2 cos2 1,得到 sin与 cos 的值 *3 若 cos 2sin 5,则 tan (构造方程组求解sin ,cos ) 答案: 2 解析:结合sin2 cos2 1,得到 sin与 cos的值 类型二:三角函数的图像与性质 一、 前测回顾 1 (1) 函数 ysin(2x 3 )的定义域为 答案: k 6 ,k 2 3 (kZ) (2) 函数 ysin(2x 6), x0, 3的值域为 答案: 1 2 ,1 (3)已知0,在函数y2sinx 与 y 2cos x 的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为2 3, 则的值为 答案: 2 (4) 函数
4、 y2cos(3x 3)单调减区间为 答案: 2k 3 9, 2k 3 4 9 (kZ) (5)函数 ysin(2x 4) 的对称轴为;中心对称点为 答案: x k 2 8 (kZ);(k 2 8, 0)(k Z); 2 (1)函数 y2sin 2x 3sinxcosx3cos 2 x 的值域为 答案: 1 2 , 5 2 (2)函数 y4sin 2 x12cosx 1,x ? 6, 2 3 的值域为 答案: 13,8 (3)函数 ysinxcosx 2sinxcosx2,x ?0, 的值域为 答案: 3 4 ,32 (4)函数 y sinx1 cosx 1的值域为 答案: 0, ) 提示:方
5、法一:看作斜率,数形结合处理; 方法二:导数法处理 第 3 页 共 21 页 3 (1)已知函数yAsin(2x )的对称轴为x 6,则 的值为 答案: k 6(kZ) (2)已知函数ycos(2x )为奇函数,求的值为 答案: k 2(kZ) 二、 方法联想 1三角函数的定义域 方法:根据式子有意义的条件,列不等式组,解不等式求定义域 2三角函数的值域 方法 1:转化为yAsin(x )形式,先求x 的范围,再根据正弦函数的图象求出值域 如 yasin2x bsinx cosx ccos2x 的形式,先利用降幂公式化为一次形式,将用辅助角公式化为 yAsin(2x )形式求值域 方法 2:利
6、用换元法转化为二次函数值域问题 如 :含有 sin2x,cosx(或 sinx)和 cos 2x,sinx(或 cosx)形式;含有 sinx cos x,sinxcos x: 形如分子、分母含有sinx,cosx 的一次形式: 方法 1:化为 sin(x )M 形式,再得用三角函数的有界性(|sinx| 1 , |cosx| 1) 求值域 方法 2:导数法 3三角函数对称问题 方法:对于函数yAsin(x )或 yAcos(x ) 若 xx0为对称轴f(x0) A 若(x0,0)为中心对称点f(x0)0 推论:对于函数yAsin(x ) 或 yAcos(x ) 若函数 yf(x)为偶函数f(
7、0) A若函数 yf(x)为奇函数f(0)0 4求 f(x) Asin( x)B(A0)的解析式 方法:待定系数法 步骤: (1)由周期 T 2 |得 ; (2)由 ABymax, ABymin, 得, A ymaxymin 2 , B ymaxymin 2 , (3)将点代入求(尽量代入最高点或最低点) 三、归类巩固 第 4 页 共 21 页 *1在同一平面直角坐标系中,函数ycos(x 2 3 2 )(x?0,2 )的图象和直线y1 2的交点个数是 答案: 2 (利用三角函数图像) 解析:)20)( 2 3 2 cos( ,x x y,得到 ysinx 2,做出图像 *2 定义在区间0,3
8、 上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 答案 7(考查三角函数图像) *3函数 y|sinx|,(x ,2 )的单调递增区间是 答案: ,3 2 ;(考查三角函数的图像和性质) *4 已知函数f(x)2sin (2x )(| | )的部分图象如图所示,则f(0)_ 答案: 1;(考查三角函数的图象) *5 将函数 4 2sin2)(xxf的图像向右平移)0(个单位,再将图像上每 一点横坐标缩短到原来的 2 1 倍,所得图像关于直线 4 x对称,则的最小正值为 答案: 3 8 (考查三角函数图像变换) *6函数 y2sin( 6x 3)(0 x 9) 的最大值与最小值
9、之差为 答案: 23;(考查三角函数的最值) *7 若函数 f(x)sin(x )(0 2)的图象关于直线 x 6对称,则 答案: 3;(考查三角函数的对称性 ) *8 若将函数 f(x)sin(2x 4)的图象向右平移 个单位,所得图象关于y轴对称,则的最小正值是 _ 答案: 3 8 ; (考查三角函数图象变换,三角函数的奇偶性) *9函数 f(x)sinx( 6 x 2 3 )的值域为 答案: 1 2,1(考查三角函数值域 ) *1- 设 0x ,则函数 sin2 2sin x y x 的最小值为 答案: 5 2(考查正弦函数、余弦函数的图象和性质) 解析:令tsinx(0,1) ,利用
10、y t 2 2 t 的单调性得到最小值 第 5 页 共 21 页 *11 将函数 f(x)sin2x 的图像向右平移(0) 2 个单位后得到函数( )g x的图像,若对满足 12 ()()2f xg x的 1 x, 2 x,有12 min 3 xx,则 答案: 12(考查三角函数图像变换,最值 ) *12若 f(x)2sin x (0 1)在区间 0, 3上的最大值是 2,则 _ 答案: 3 4(考查三角函数单调性 ,最值 ) *13 将函数 f(x) 2sin(2x 6)的图象向左平移 m 个单位 (m0),若所得的图象关于直线x 6对称,则 m 的最小值为 答案: 6 ;(考查三角函数的图
11、象与对称性) *14 已知过原点的直线与函数y|sin x|(x 0) 的图像有且只有三个交点,是交点中横坐标的最大值,则 2sin 2 2 的值为 _ 答案: 1(考查三角函数图像) 类型三:两角和与差的三角函数 一、 前测回顾 1 0000 10sin160cos10cos20sin= 答案: 1 2 2已知 10 1 )sin(, 2 1 )sin(,则 tana tanb = 答案: 3 2 解析:把两角和与差的正弦公式中的sinacosb,cosasinb分别看成一个整体,通过解方程组,求出 sinacosb和cosasinb,作比,即可求出 tana tanb = 3 2 . 第
12、6 页 共 21 页 3 0000 37tan23tan337tan23tan 答案: 3 解析:因为23 0 +37 0 = 60 0 ,联想公式tan(23 0 +37 0) =tan23 0 +tan37 0 1- tan23 0 tan37 0 ,逆用两角和正切公式,并进行 变形得: tan23 0 +tan37 0 + 3tan23 0 tan37 0 =3 二、 方法联想 如何根据题目中的三角函数结构形式,选择合适的方法来解决问题? 1.分析结构:认真分析已知式子和所求式子的整体结构之间的异同点,帮助我们找到变形的方向; 2.寻找规律:寻求函数名之间、角之间的差别和联系为我们选用正
13、确的方法做好前期准备; 3.巧用方法:熟练掌握解决三角求值、化简的常用方法:切化弦法、升降幂法、辅助元素法、“ 1”的代换 法等,熟悉角的拆拼、变换的技巧 三、归类巩固 *1 (1+tan22 0 )(1+tan23 0 ) = 答案: 2 *2 已知tan(a+b)= 2,tan(a-b)=3,则 sin2a cos2b = 答案: 7 5 解析:观察已知和所求式子的特点,利用 2a=(a+b)+(a-b),2b=(a+b)- (a-b),再利用弦化切, 求出 sin2a cos2b = tan(a+b)+tan(a-b) 1+tan(a+b)tan(a-b) = 5 7 . 类型四:三角恒
14、等变换 一、前测回顾 1已知 cos( 6) 1 3, (0, 2),则 cos ; sin( 3); ,cos(2 6) 答案: 1 6( 322) ; 1 3; 1 6( 2 2 3) 2已知 cos( 4 x) 3 5, 17 12 x7 4 ,则 sin2x2sin 2x 1tanx 答案: 28 75 二、方法联想 1三角变换基本想法 (1)角:观察角的联系,实现角的统一 (2)名:弦切互化,异名化同名 形:公式变形与逆用 幂:平方降幂,根式升幂 第 7 页 共 21 页 解题前先观察角的联系,分析角的变化,实现角的统一,从而决定解题方向,再结合三角函数名、公 式的变形、幂的升降,做
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