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1、2011 年2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编 13不等式选讲 一、解答题 【 2018,23】 已知11fxxax. (I)当1a时,求不等式1fx的解集; (II)若0,1x时不等式fxx成立,求a 的取值范围 . 【2017,23】已知函数 2 4fxxax,11g xxx (1)当1a时,求不等式fxg x的解集; (2)若不等式 fxg x 的解集包含 1,1 ,求 a 的取值范围 【2016,23】已知函数321)(xxxf ()在答题卡第(24)题图中画出)(xfy的图像; ()求不等式1)(xf的解集 x y O 1 1 【2015,24】已知函数12,0fxxxa a.
2、 (I)当1a时求不等式1fx的解集; (II)若fx的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围 . 【2014,24) 】若0,0ab,且 11 ab ab . () 求 33 ab的最小值;()是否存在,a b,使得236ab?并说明理由. 【2013,24】 已知函数 f(x)|2x 1| |2xa|,g(x)x 3. (1)当 a 2时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)设 a 1,且当 x 1 , 2 2 a 时, f(x) g(x),求 a 的取值范围 【2012,24】 已知函数( )|2|f xxax。 (1)当3a时,求不等式3)(xf的解集; (2)若|
3、4|)(xxf的解集包含 1,2,求a的取值范围。 【2011,24】设函数( )3f xxax,其中0a。 ()当1a时,求不等式( )32f xx的解集; ()若不等式( )0f x的解集为|1x x,求 a 的值。 2011 年2018 年新课标全国卷理科数学分类汇编 13不等式选讲(解析版) 一、解答题 ( 2018 新课标 I 卷, 23) 已知11fxxax. (I)当1a时,求不等式1fx的解集; (II)若0,1x时不等式fxx成立,求a 的取值范围 . 解析: (I)依题意,111xx, 该不等式等价于 1, 11 1, x xx 11, 111, x xx 或 1, 111
4、, x xx 解得 1 2 x,即等式1fx的解集为 1 2 x x ; ( II )依题意,11xaxx;当0,1x时,该式化为11xaxx,即11ax,即 111ax,即02ax,故 0, 2, ax ax 在0,1上恒成立,故02a,即 a 的取值范围为 0,2 . 【2017,23】 已知函数 2 4fxxax,11g xxx (1)当1a时,求不等式fxg x的解集; (2)若不等式 fxg x 的解集包含 1,1 ,求 a 的取值范围 【解析】( 1)当1a时, 2 4fxxx,是开口向下,对称轴 1 2 x的二次函数 21 11211 21 xx g xxx xx , , x ,
5、 ,当(1,)x时,令 2 42xxx,解得 171 2 x,g x在 1,上单调递增, fx 在 1, 上单调递减,此时 fxg x 解集为 171 1 2 , 当1 1x,时,2g x,12fxf 当1x,时,g x单调递减,fx单调递增,且112gf 综上所述, fxg x 解集 171 1 2 , (2)依题意得: 2 42xax在 1 1,恒成立即 2 20xax在 1 1,恒成立 则只须 2 2 1120 1120 a a ,解出:11a故 a取值范围是 11, 【2016,23】已知函数321)(xxxf ()在答题卡第(24)题图中画出)(xfy的图像; ()求不等式1)(xf
6、的解集 【解析】:如图所示: 41 3 321 2 3 4 2 xx fxxx xx , , , , 1fx , 1x,41x,解得5x或3x , 1x 3 1 2 x,321x,解得1x或 1 3 x , 1 1 3 x或 3 1 2 x 3 2 x , 4 1x,解得5x或3x , 3 3 2 x或5x 综上, 1 3 x 或 1 3x或5x 1fx,解集为 1 135 3 UU, 【2015,24】已知函数12,0fxxxa a. x y O 1 1 (I)当1a时求不等式1fx的解集; (II)若fx的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求 a 的取值范围 . 解析: ( I)(方法一
7、)当1a时, 不等式( )1f x可化为1211xx, 等价于 1 1221 x xx 或 11 1221 x xx 或 1 1221 x xx ,解得 2 2 3 x. (方法二)当1a时,不等式( )1f x可化为1211xx,结合绝对值的几何意义,不等式 的含义为:数轴上一点x 到点1的距离与它到1 的距离的2 倍之差大于1. 设点x 到1的距离为 1 d,到1的距离为 2 d,结合 数 轴 可 知 : 若x在 1,1内 , 则 有 12 12 2 21 dd dd 解得 2 1 3 d ;故 2 (,1 3 x . 若 x 在(1,)内,则有 12 12 2 21 dd dd 解得 2
8、 1d;故(1,2)x. 综上可得 2 2 3 x. ()由题设可得, 12 ,1 ( )312 ,1 12 , xa x f xxaxa xa xa , 所以函数( )f x的图像与x轴围成的三角形的 三个顶点分别为 21 (,0) 3 a A ,(21,0)Ba,( , +1)C a a,所以 ABC 的面积为 22 (1) 3 a.由题设得 22 (1) 3 a6,解得2a.所以a的取值范围为(2,+). 【2014,24) 】若0,0ab,且 11 ab ab . () 求 33 ab的最小值;()是否存在,a b,使得236ab?并说明理由. 【解析】:() 由 112 ab aba
9、b ,得2ab,且当2ab时等号成立, -1 1 x -1 1 x 故 3333 34 2aba b,且当2ab时等号成立, 33 ab的最小值为4 2. 5 分 ()由6232 6abab,得 3 2 ab ,又由 ()知2ab,二者矛盾, 所以不存在,a b,使得236ab成立 . 10 分 【2013,24】 已知函数 f(x)|2x 1| |2xa|,g(x)x 3. (1)当 a 2时,求不等式f(x)g(x)的解集; (2)设 a 1,且当 x 1 , 2 2 a 时, f(x) g(x),求 a 的取值范围 解: (1)当 a 2 时,不等式f(x)g(x)化为 |2x1|2x2
10、|x30. 设函数 y|2x1|2x2|x3, 则 y 1 5 , 2 1 2,1, 2 36,1. x x xx xx 其图像如图所示从图像可知,当且仅当x (0,2)时, y0. 所以原不等式的解集是x|0x2 (2)当 x 1 , 2 2 a 时, f(x)1a. 不等式 f(x) g(x)化为 1a x3. 所以 x a2 对 x 1 , 2 2 a 都成立 故 2 a a2,即 4 3 a. 从而 a的取值范围是 4 1, 3 . 【2012,24】 已知函数( )|2 |f xxax。 (1)当3a时,求不等式3)(xf的解集; (2)若|4|)(xxf的解集包含 1,2,求a的取
11、值范围。 【解析】(1) 当3a时, 52 (2) ( )|3|2|1(23) 25(3) x x f xxxx xx 。 所以 不等式3)(xf可化为 2 523 x x ,或 23 13 x ,或 3 253 x x 。 解得1x,或4x。 因此 不等式3)(xf的解集为|1x x或4x。 (2)由已知|4|)(xxf即为|2 | |4 |xaxx, 也即| |4|2 |xaxx。 若|4|)(xxf的解集包含 1,2,则1,2x,| |4 |2 |xaxx, 也就是1,2x,| 2xa, 所以1,2x, 2 2 xa xa ,从而 12 22 a a , 解得30a。因此 a的取值范围为 3,0a 。 【2011,24】设函数( )3f xxax,其中0a。 ()当1a时,求不等式( )32f xx的解集; ()若不等式( )0f x的解集为|1x x,求 a 的值。 解: ( I)当1a时,32fxx可化为12x 由此可得3x或1x,故不等式32fxx的解集为3x x或1x. (II)由 0fx 得 30xax 此不等式化为不等式组 30 xa xax 或 30 xa axx 即 4 xa a x 或 2 xa a x . 由于0a,所以不等式组的解集为 2 a x x. 由题设可得1 2 a ,故2a.
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