2016年竞赛与自主招生专题第八讲数列的通项与递推数列(教师版).pdf
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1、2016 年竞赛与自主招生专题第八讲数列的通项与递推数列 从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后,政策刚出时,很多人认为, 是不是要在高考出分后再考自主招生,是否高考考完了,自主招生并不是失去 其意义。自主招生考察了这么多年,使用的题目的难度其实已经很稳定,这个 题目只有出到高考以上,竞赛以下,才能在这么多省份间拉开差距. 所以,笔试难度基本稳定,维持原自主招生难度,原来自主招生的真题竞 赛真题等,具有参考价值。 在近年自主招生试题中,数列是自主招生必考的一个重要内容之一,数列 考得较多的知识点有 : 极限、数学归纳法、递推数列、等差等比数列、及数列的 应用等。 一、知识精讲 一等差
2、数列: 1.通项公式: * 11 (1)() n aanddnad nN; 2.前 n项和公式: 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad. 二等比数列: 1.通项公式: 1*1 1 () nn n a aa qqnN q ; 2.前 n项和公式: 1 1 (1) 1 1 1 n n aq q Sq na q , , 或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . 三数列的通项公式与前n项的和的关系: 1 1 ,1 ,2 n nn Sn a Ssn ( n S为数列 n a的 前 n项的和为 ). 四常见数列的前 n项和公式: (1) 123 2
3、 n n n 2 1 357(21)nn 24682(1)nn n 2222 (1)(21) 123 6 n nn n 33332(1) 123 2 n n n 【知识拓展】 一对于数列 n a,若存在正整数 k 及一个将 nk a与前面 k 项 12 , n kn kn aaa 联 系起来的方程 1 (,)0,1,2, n knkn f aaan,则称数列 n a是 k 阶递推数列,此方程为递推 方程。 由(*)得出 12 (,) nkn kn kn ag aaa,称为数列 n a的递推关系 。 一般说来,确定一个 k 阶递推数列需要知道 k 阶初始值: 12 , k a aa 。 二求通项
4、问题的主要类型: 1转化法: 某些数列虽然不是等差等比数列,但可以通过对递推公式变形,重 新构造新的数列, 而这些数列为等差数列或等比数列,进一步通过对新数列的通 项公式求出原数列的通项。 2. 累加法: 1 ( ) nn aaf n ?方法:利用叠加法, 1 213211 1 (1),(2),(1),( ) n nnn k aafaafaaf naaf k。 3. 累积法: 1 ( ) nn aa f n ? 方法:利用迭代法, 1 213211 1 (1),(2),(1),( ) n nnn k aa faa faaf naaf k。 4. 待定系数法: 1nn apaq (, p q为常
5、数且0,1p,0q) ? 方法:用待定系数法,构造一个公比为p 的等比数列,令 1 () nn ap a, 1 q p ,从而 1 n q a p 是一个公比为 p 的等比数列。 5. 1 ( ) nn apaf n ( p 为非零常数且1p) 方法:上式两边同时除以 1n p, 1 1 ( ) nn nnn aaf n ppp ,令 n n n a b p ,有 1 1 ( ) nn n f n bb p , 转化为第一种类型,用叠加法解决。 6. 特征根法: 11nnn apaqa(2n) (,p q为常数) ? 方法:可用下面的定理求解。令,为相应的二次方程 2 0xpxq的两根 (此方
6、程又称为特征方程) ; (1)当时,其通项公式为: nn n aAB; (2)时,其通项公式为: 1 () n n aABn, 其中,A B分别由初始条件 12 ,a a所得的方程组 1 22 2 ,ABa ABa 和 1 2 , (2 ) ABa ABa 唯一确定。 更一般地,对于常系数线性递推数列 1122nkn kn kkn ac ac ac a ,其特 征方程 12 121 kkk kk xc xc xcxc 的根(互不相同)有s个,分别为 12 , s x xx ,且 i x是 i t重根, 1 s i i tk,则 1 ( ) s n nii i afn x,其中 ( ) i f
7、n是关于n的1 i t次多项式, 其系数由初始值决定。 7. 不动点法:形如 1 n n n a ab a c ad (0c,0adbc且 12 aa ) , 2 1 2 n n n aab a aa c 的递推数列的通项问题常用不动点法解决. 类型 I : 1 n n n a ab a c ad (0c,0adbc且 12 aa ) ,令( ) axb f x cxd . (1)若( )fxx有两个不相等的实数根 12 xx、,则 111 122 nn nn axax A axax (其中 1 2 acx A acx ) ,即数列 1 2 n n ax ax 成等比数列,公比为A,则可求 n
8、 a . (2)若( )f xx有 两 个 相 等 的 实 数 根 0 x , 则 100 11 nn A axax ( 其 中 2c A ad ) ,即数列 0 1 n ax 成等差数列,公差为A,则 可求 n a . (拓展)类型II : 2 1 2 n n n a ab a a ac ,令 2 ( ) 2 axb f x axc . (1)若( )f xx有两个不相等的实数根 12 xx、,即 2 1 1 1 2 axb x axc 、 2 2 2 2 2 axb x axc , 从而有 2 11 0axcxb、 2 22 0axcxb,所以 22 1111 111 1 2 22 n n
9、 n axbax ax caxb axx axca ac 222 111 2() 22 nnn nn a aax aaxa ax a aca ac . 同理可得 2 2 12 () 2 n n n a ax ax a ac . 所以,两式相除,得 2 111 122 () nn nn axax axax ,令 1 2 n n n ax b ax ,则 2 1nn bb ,两边取对 数,不难得到 n b 的通项公式,从而可得 n a . (2)若( )f xx有两个相等的实数根 0 x ,则可得 0 2 c x a , 2 40cab. 由 2 1 22 n n n a abc a aa ac
10、,令 2 nn c ba a ,化简可得 1 2 nn bb ,因此 n b是等比数 列. 三周期数列: 对于数列 n a, 如果存在一个常数 T(*TN) , 使得对任意的正整数 0 nn, 恒有 nTn aa 成立,则称数列 n a是从第 0 n项起的周期为T 的周期数列。若 0 1n,则称数列 n a为纯周期数列,若 0 2n,则称数列 n a为混周期数列, T 的最小值称为最小正周期,简称周期。周期数列主要有以下性质: 周期数列是无穷数列,其值域是有限集; 周期数列必有最小正周期(这一点与周期函数不同); 如果 T 是数列 n a的周期,则对于任意的*kN, kT 也是数列 n a的周
11、期; 如果 T 是数列 n a的最小正周期, M 是数列 n a的任一周期,则必有|TM, 即MkT,*kN; 已知数列 n a满足 n tn aa (,*n tN,t 为常数) ,, nn ST分别为 n a的前n项 的和与积,若nqtr,0rt,,*q rN,则 ntr SqSS ,() q ntr TTT ; 设数列 n a是整数数列,m是某个取定大于1 的自然数,若 n b是 n a除以m后 的余数,即(mod) nn bam , 且0 , 1 ,2 ,1 n bm,则称数列 n b是 n a关于m的 模数列,记作 (mod) n am。 若模数列 (mod) n am是周期的,则称
12、n a是关于模m 的周期数列。 任意 k 阶齐次线性递归数列都是模m的周期数列。 四阶差数列: 对于一个给定的数列 n a,把它的连续两项 1n a与 n a的差 1nn aa 记为 n b, 得 到 一 个新 数 列 n b, 把 数 列 n b称 为 原 数列 n a的 一 阶 差 数 列; 如 果 1nnn cbb, 则称数列 n c是数列 n b的一阶差数列, n c是 n a的二阶差数列; 依此类推,可以得到数列 n a的 p 阶差数列,其中*pN。 如果某一数列的 p 阶差数列是一非零常数列,则称该数列为p 阶等差数列。 其实一阶等差数列就是我们通常说的等差数列;高阶等差数列是二阶
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- 2016 竞赛 自主 招生 专题 第八 数列 教师版
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