2018年高二数学椭圆提升练习及答案详解.pdf
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1、第 1 页 共 9 页 2018 年高二数学双曲线提升练习 A 级 保分题目巧做快做 1在平面直角坐标系xOy 中, P 是椭圆 y 2 4 x 2 3 1 上的一个动点,点A(1,1),B(0, 1),则 |PA| |PB|的最大值为 () A 2B3 C 4 D5 解析: 选 D椭圆方程为 y 2 4 x 2 3 1, 焦点坐标为B(0, 1)和 B(0,1), 连接 PB,AB,根据椭圆的定义, 得|PB|PB|2a4, 可得 |PB|4|PB |, 因此 |PA|PB|PA|(4|PB|) 4(|PA|PB|) |PA|PB |AB|, |PA|PB| 4|AB| 415. 当且仅当点
2、P 在 AB延长线上时,等号成立 综上所述,可得|PA|PB|的最大值为5. 2已知椭圆C: x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆 C 上的点 A 满足 AF2 F1F2,若点 P 是椭圆 C 上的动点,则 F1P F 2A 的最大值为 () A. 3 2 B.3 3 2 C. 9 4 D.15 4 解析: 选 B由椭圆方程知c1, 所以 F1(1,0),F2(1,0) 因为椭圆C 上的点 A 满足 AF2F1F2,则可设A(1,y0), 代入椭圆方程可得y2 0 9 4,所以 y0 3 2. 设 P(x1,y1),则 F1P (x 11,y1), F2A (0,y0
3、), 所以 F1P F 2A y 1y0. 因为点 P 是椭圆 C 上的动点,所以3y13, 第 2 页 共 9 页 故 F1P F2A 的最大值为3 3 2 . 3 已知椭圆E: x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的右焦点为 F(3,0), 过点 F 的直线交E 于 A, B 两点若 AB 的中点坐标为(1, 1),则椭圆E 的方程为 () A. x 2 45 y 2 361 B. x 2 36 y 2 271 C. x 2 27 y 2 181 D. x 2 18 y 2 9 1 解析: 选 D因为直线AB 过点 F(3,0)和点 (1, 1),所以直线AB 的方程为y 1 2(x
4、 3),代入椭圆方程 x 2 a 2 y 2 b 2 1 消去 y,得 a 2 4 b2 x 23 2a 2x9 4a 2a2b20,所以 AB 的中点的 横坐标为 3 2a 2 2 a 2 4 b2 1,即 a22b 2,又 a2b2c2,所以 b29,a218,即椭圆 E 的方程 为 x 2 18 y 2 9 1. 4 如果椭圆 x 2 36 y 2 9 1 的弦 AB 被点 M (x0, y0)平分,设直线 AB 的斜率为 k1, 直线 OM(O 为坐标原点 )的斜率为k2,则 k1k2的值为 () A 4 B.1 4 C 1 D 1 4 解析: 选 D设直线 AB 的方程为yk1xb,
5、A(x1, y1),B(x2,y2)代入椭圆方程并 整理得, (14k2 1)x 28k 1bx4b 2 360, x 1x2 8k1b 1 4k 2 1,又中点 M(x0,y0)在直线 AB 上,所以 y1y2 2 k1 x1 x2 2 b b 14k 2 1,从而得弦中点 M 的坐标为 4k1b 14k 2 1, b 14k 2 1 , k2 b 14k 2 1 4k1b 14k 2 1 1 4k1, k1k2 1 4. 5已知两定点A(2,0)和 B(2,0),动点 P(x,y)在直线 l:yx3 上移动, 椭圆 C 以 A, B 为焦点且经过点P,则椭圆C 的离心率的最大值为() A.
6、 26 13 B.2 26 13 C. 2 13 13 D.4 13 13 解析 :选 B设点 A 关于直线l 的对称点为A1(x1,y1), 第 3 页 共 9 页 则有 y1 x12 1, y1 2 x 12 2 3, 解得 x1 3, y1 1,则 A1( 3,1), 易知 |PA|PB|的最小值等于|A1B| 26, 因此椭圆C 的离心率 e |AB| |PA|PB| 4 |PA|PB| 的最大值为 2 26 13 . 6(2018 广东五校协作体第一次诊断考试)已知椭圆C:x 2 2 y 21 的两焦点为 F1,F2, 点 P(x0,y0)满足 0 x 2 0 2 y 2 01,则
7、|PF1|PF2|的取值范围是_ 解析: 由点 P(x0,y0)满足 0x 2 0 2 y2 01,可知 P(x0,y0)一定在椭圆内(不包括原点 ),因 为 a2,b1,所以由椭圆的定义可知|PF1|PF2|2a 2 2,当 P(x0,y0)与 F1或 F2 重合时, |PF1|PF2|2,又 |PF1|PF2|F1F2|2,故 |PF1|PF 2|的取值范围是2,22) 答案: 2,22) 7 已知 M(x0, y0)是椭圆 E: x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)上一点,A, B 是其左、右顶点,若 2AM BM x2 0a 2,则离心率 e_. 解析: 由题意知A(a,0),B
8、(a,0), AM (x 0a,y0),BM (x0a,y0),2AM BM x 2 0a 2, 2(x2 0a 2y2 0)x 2 0a 2, x2 0a 22y2 0. 又 x 2 0 a 2 y 2 0 b 21, a 22y2 0 a 2 y 2 0 b 21, 2 a 2 1 b 20, a 22b2, c 2 a 2 a 2b2 a 21 b 2 a 211 2 1 2, e 2 2 . 答案: 2 2 8(2018 湖南东部六校联考)设 P, Q 分别是圆x 2(y1)23 和椭圆x 2 4 y 21 上的点, 则 P, Q 两点间的最大距离是_ 解析: 依据圆的性质可知,P,Q
9、 两点间的最大距离可以转化为圆心到椭圆上点的距离 的最大值加上圆的半径3, 设 Q(x, y),则圆心 (0,1)到椭圆上点的距离为 dx 2 y12 3y 2 2y5 第 4 页 共 9 页 3 y 1 3 216 3 , 1 y 1,当 y 1 3时, d 取最大值 4 3 3 , 所以 P,Q 两点间的最大距离为 4 3 3 3 73 3 . 答案: 7 3 3 9已知椭圆G:x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)在 y 轴上的一个顶点为 M,两个焦点分别是F1,F2, F1MF2120, MF 1F2的面积为 3. (1)求椭圆 G 的方程; (2)过椭圆 G 长轴上的点P(t,0
10、)的直线 l 与圆 O:x 2 y2 1 相切于点 Q(Q 与 P 不重合 ), 交椭圆 G 于 A,B 两点若 |AQ|BP|,求实数t 的值 解: (1)由椭圆性质,知|MF2|a, 于是 casin 60 3 2 a,bacos 60 1 2a. 所以 MF1F2的面积 S 1 2 (2c) b 1 2 ( 3a) 1 2a 3,解得 a2,b1. 所以椭圆G 的方程为 x 2 4 y21. (2)显然,直线l 与 y 轴不平行,可设其方程为yk(xt) 由于直线l 与圆 O 相切, 则圆心 O 到 l 的距离 d |kt| k 211, 即 k2t2k21, 联立 x 2 4y24,
11、yk xt , 化简得 (14k2)x28tk2x4(t2k2 1) 0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 8tk 2 14k 2. 设 Q(x0,y0),有 y0 k x0t , y0 x0 1 k, 解得 x0 tk 2 1k 2. 由已知可得,线段AB,PQ 中点重合,即有x1x2t x0. 因此 8tk 2 1 4k 2t tk 2 1k 2,化简得k 21 2, 将其代入式,可得t 3. 第 5 页 共 9 页 10(2018 成都一诊 )已知椭圆 x 2 5 y 2 4 1 的右焦点为F,设直线l:x5 与 x 轴的交点 为 E,过点 F 且斜率为k 的直线
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