2014年上海市高考数学试卷(文科)(含解析版).pdf
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1、1 2014年上海市高考数学试卷(文科) 一、填空题(本大题共14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得4 分,否则一律得零分。 1 (4 分)函数 y=12cos 2(2x)的最小正周期是 2 (4 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则( z+) ? = 3(4分)设常数 aR, 函数 f (x) =|x1|+|x 2a| , 若 f (2) =1, 则 f (1) = 4 (4 分)若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线 的准线方程 5 (4 分)某校高一、高二、高三分别有学生1600 名,1200 名,8
2、00 名为了 解该校高中学生的牙齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20 名学生,则高一、高二共需 抽取的学生数为 6 (4 分)若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2+2y2 的最小值为 7 (4 分)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍,则其母线与轴所成角的大小为 (结果用反三角函数值表示) 8 (4 分)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割 掉的两个小长方体的体积之和等于 9 (4 分)设 f(x)=,若 f(0)是 f(x)的最小值,则a 的取值 范围为 10 (4 分)设无穷等比数列an 的公比为q,若 a1=(a3+a4+an) ,则 q=
3、2 11 (4 分)若 f(x)=,则满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 12 (4 分)方程 sinx+cosx=1在闭区间 0,2上的所有解的和等于 13 (4分)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择 3 天进行 紧急疏散演练,则选择的3 天恰好为连续 3 天的概率是(结果用最简 分数表示) 14 (4分)已知曲线 C:x=,直线 l:x=6,若对于点 A(m,0) ,存在 C 上的点 P 和 l 上的 Q 使得+= ,则 m 的取值范围为 二、选择题(共4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,选对得5 分, 否则一律得零分 15 (5 分)设 a,bR,则
4、“ a+b4”是“ a2 且 b2”的() A充分非必要条件B必要非充分条件 C充要条件D既非充分又非必要条件 16(5 分) 已知互异的复数a, b 满足 ab0, 集合a, b=a 2, b2, 则 a+b= ( ) A2B1C0D1 17 (5 分)如图,四个边长为1 的小正方形排成一个大正方形,AB 是大正方形 的一条边,Pi(i=1,2, ,7)是小正方形的其余顶点, 则?(i=1, 2, 7)的不同值的个数为() A7B5C3D1 18 (5分)已知 P1(a1,b1)与 P2(a2,b2)是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个 不同的点,则关于x 和 y 的方程组的解的情况是(
5、) A无论 k,P1,P2如何,总是无解 B无论 k,P1,P2如何,总有唯一解 C存在 k,P1,P2,使之恰有两解 3 D存在 k,P1,P2,使之有无穷多解 三、解答题(共5 小题,满分 74 分) 19 (12 分)底面边长为 2 的正三棱锥 PABC,其表面展开图是三角形P1P2P3, 如图,求 P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V 20 (14分)设常数 a0,函数 f(x)= (1)若 a=4,求函数 y=f(x)的反函数 y=f 1(x) ; (2)根据 a的不同取值,讨论函数y=f(x)的奇偶性,并说明理由 21 (14 分)如图,某公司要在A、B 两地连线上的定点C 处建
6、造广告牌 CD, 其中 D 为顶端, AC 长 35 米,CB 长 80 米,设点 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为和 (1)设计中 CD 是铅垂方向,若要求 2,问 CD 的长至多为多少(结果精 确到 0.01 米)? (2)施工完成后, CD 与铅垂方向有偏差, 现在实测得 =38.12,=18.45, 求 CD 的长(结果精确到0.01米) 4 22 (16 分)在平面直角坐标系xOy 中,对于直线 l:ax+by+c=0 和点 P1(x1, y1) ,P2(x2,y2) ,记 =(ax1+by1+c) (ax2+by2+c) ,若 0,则称点P1, P2被直
7、线 l 分隔,若曲线 C 与直线 l 没有公共点,且曲线C 上存在点 P1、P2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线 (1)求证:点 A(1,2) ,B(1,0)被直线 x+y1=0分隔; (2)若直线 y=kx 是曲线 x 24y2=1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; (3)动点 M 到点 Q(0,2)的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求 E 的方程,并证明 y 轴为曲线 E 的分隔线 23 (18分)已知数列 an满足anan+13an,nN *,a 1=1 (1)若 a2=2,a3=x,a4=9,求 x 的取值范围; (2)若an 是等
8、比数列,且 am=,求正整数 m 的最小值,以及 m 取最小值 时相应 an的公比; (3)若 a1,a2,a100成等差数列,求数列a1,a2,a100的公差的取值范围 5 2014 年上海市高考数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内 直接填写结果,每个空格填对得4 分,否则一律得零分。 1 (4 分)函数 y=12cos 2(2x)的最小正周期是 【考点】 GS:二倍角的三角函数; H1:三角函数的周期性 【专题】 56:三角函数的求值 【分析】 由二倍角的余弦公式化简,可得其周期 【解答】 解:y=12cos 2
9、(2x) =2cos 2(2x)1 =cos4x, 函数的最小正周期为T= 故答案为: 【点评】 本题考查二倍角的余弦公式,涉及三角函数的周期,属基础题 2 (4 分)若复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位,则( z+) ? =6 【考点】 A5:复数的运算 【专题】 5N:数系的扩充和复数 【分析】 把复数代入表达式,利用复数代数形式的混合运算化简求解即可 【解答】 解:复数 z=1+2i,其中 i 是虚数单位, 则(z+) ? = =(1+2i) (12i)+1 =14i 2+1 =2+4 =6 故答案为: 6 【点评】 本题考查复数代数形式的混合运算,基本知识的考查 6 3 (4 分
10、)设常数 aR,函数 f(x)=|x1|+|x 2a|,若 f(2)=1,则 f(1)= 3 【考点】 3T:函数的值 【专题】 51:函数的性质及应用 【分析】 利用 f(x)=|x1|+|x2a|,f(2)=1,求出 a,然后求解 f(1)即可 【解答】 解:常数 aR,函数 f(x)=|x1|+|x 2a|,若 f(2)=1, 1=|21|+|2 2a| ,a=4, 函数 f(x)=|x1|+|x 24|, f(1)=|11|+|1 24|=3, 故答案为: 3 【点评】 本题考查函数值的求法,基本知识的考查 4 (4 分)若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆 的右焦点重合,则该抛物线
11、 的准线方程x=2 【考点】 K7:抛物线的标准方程 【专题】 5D:圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】由题设中的条件 y2=2px(p0)的焦点与椭圆的右焦点重合, 故可以先求出椭圆的右焦点坐标,根据两曲线的关系求出p,再由抛物线的性 质求出它的准线方程 【解答】 解:由题意椭圆,故它的右焦点坐标是(2,0) , 又 y2=2px(p0)的焦点与椭圆右焦点重合, 故=2 得 p=4, 抛物线的准线方程为x=2 故答案为: x=2 【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征,解答此类题, 关键是熟练掌握圆锥曲线 的性质及几何特征,熟练运用这些性质与几何特征解答问题 7 5 (4 分)某校高一、高二、
12、高三分别有学生1600 名,1200 名,800 名为了 解该校高中学生的牙齿健康状况 ,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20 名学生,则高一、高二共需 抽取的学生数为70 【考点】 B3:分层抽样方法 【专题】 5I:概率与统计 【分析】 根据分层抽样的定义,建立比例关系,即可得到结论 【解答】 解:高一、高二、高三分别有学生1600 名,1200名,800 名, 若高三抽取 20 名学生,设共需抽取的学生数为x, 则,解得 x=90, 则高一、高二共需抽取的学生数为9020=70, 故答案为: 70 【点评】 本题主要考查分层抽样的应用,比较基础 6 (4 分)若实数 x,y 满足
13、 xy=1,则 x 2+2y2 的最小值为2 【考点】 7F:基本不等式及其应用 【专题】 59:不等式的解法及应用 【分析】 由已知可得 y=,代入要求的式子,由基本不等式可得 【解答】 解: xy=1, y= x2+2y2=x 2+ 2=2, 当且仅当 x2=,即 x=时取等号, 故答案为: 2 【点评】 本题考查基本不等式,属基础题 7 (4 分)若圆锥的侧面积是底面积的3 倍,则其母线与轴所成角的大小为 arcsin(结果用反三角函数值表示) 【考点】 L5:旋转体(圆柱、圆锥、圆台) 8 【专题】 5F:空间位置关系与距离 【分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3 倍,可得圆锥的母线
14、是圆锥底面半 径的 3 倍,在轴截面中,求出母线与轴所成角的正弦值,进而可得母线与轴 所成角 【解答】 解:设圆锥母线与轴所成角为, 圆锥的侧面积是底面积的3 倍, =3, 即圆锥的母线是圆锥底面半径的3 倍, 故圆锥的轴截面如下图所示: 则 sin=, =arcsin , 故答案为: arcsin 【点评】本题考查的知识点是旋转体, 其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面 半径的 3 倍,是解答的关键 8 (4 分)在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如图所示,则切割 掉的两个小长方体的体积之和等于24 【考点】 L!:由三视图求面积、体积 【专题】 5F:空间位置关系与距离 9 【分
15、析】由已知中的三视图, 分别判断切割前后几何体的形状,并分别计算出切 割前后几何体的体积,相减可得答案 【解答】 解:由已知中的三视图,可知: 大长方体的长,宽,高分别为:3,4,5, 故大长方体的体积为: 60, 切去两个小长方体后的几何体是一个以主视图为底面,高为3 的柱体, 其底面面积为 452222=12, 故切去两个小长方体后的几何体的体积为:123=36, 故切割掉的两个小长方体的体积之和为:6036=24, 故答案为: 24 【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积,其中根据已知中的三视图分析出 几何体的形状是解答的关键 9 (4 分)设 f(x)=,若 f(0)是 f(x)的最
16、小值,则a 的取值 范围为(, 2 【考点】 5B:分段函数的应用 【专题】 51:函数的性质及应用 【分析】 分别由 f(0)=a,x2,ax+综合得出 a 的取值范围 【解答】 解:当 x=0 时,f(0)=a, 由题意得: ax+, 又x+2=2, a2, 故答案为:(, 2 【点评】 本题考察了分段函数的应用,基本不等式的性质,是一道基础题 10 (4 分)设无穷等比数列 an的公比为q,若 a1=(a3+a4+an) ,则 q= 【考点】 6F:极限及其运算 【专题】 54:等差数列与等比数列 10 【分析】 由已知条件推导出 a1=,由此能求出 q 的值 【解答】 解:无穷等比数列
17、 an 的公比为 q, a1=(a3+a4+an) =(a1a1q) =, q 2+q1=0, 解得 q=或 q=(舍) 故答案为: 【点评】本题考查等比数列的公比的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 极限知识的合理运用 11 (4 分)若 f (x) =, 则满足 f (x) 0 的 x 的取值范围是(0, 1) 【考点】 7E:其他不等式的解法; 7J:指、对数不等式的解法 【专题】 59:不等式的解法及应用 【分析】 直接利用已知条件转化不等式求解即可 【解答】 解:f(x)=,若满足 f(x)0, 即, , y=是增函数, 的解集为: (0,1) 故答案为:(0,1) 【点评】本题
18、考查指数不等式的解法, 指数函数的单调性的应用, 考查计算能力 12 (4 分)方程 sinx+cosx=1在闭区间 0,2上的所有解的和等于 【考点】 GP:两角和与差的三角函数;H2:正弦函数的图象 11 【专题】 56:三角函数的求值 【分析】由三角函数公式可得sin (x+) =, 可知 x+=2k+, 或 x+=2k +,kZ,结合 x0,2,可得 x 值,求和即可 【解答】 解: sinx+cosx=1, sinx+cosx=, 即 sin(x+)=, 可知 x+=2k+,或 x+=2k+,kZ, 又x0,2, x=,或 x=, += 故答案为: 【点评】 本题考查两角和与差的三角
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