2018年高中数学-解三角形.pdf
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1、1 2018 年高中数学 - 解三角形 一公式与结论 1角与角关系:A+B+C = ; 2边与边关系: (1)大角对大边,大边对大角 (2)两边之和大于第三边,两边只差小于第三边 解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合 “三角形中大边对大角定理及几何作图来帮 助理解 3正弦定理: 正弦定理:R C c B b A a 2 sinsinsin (其中 R 是三角形外接圆的半径) 变形:角化边CRcBRbARasin2sin2sin2 边化角 R c C R b B R a A 2 sin 2 sin 2 sin CBAcbasin:sin:sin: 已知两角和一边;解三角形 已知
2、两边和其中一边的对角 如: ABC 中,BbAacoscos,则 ABC 是等腰三角形或直角三角形 BaAbcoscos ,则 ABC 是等腰三角形。 4. 余弦定理: 222 2cosabcbcA 222 cos 2 bca A bc 222 2cosbacacB 222 cos 2 acb B ac 222 2coscababC 222 cos 2 abc C ab 注意整体代入,如: 2 1 cos 222 Bacbca (1)若 C= 90 ,则 cosC,这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例 (2)余弦定理及其推论的基本作用为: 已知三角形
3、的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边; 已知三角形的三条边就可以求出其它角五.三角形面积 5面积公式 1.BacAbcCabS ABC sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2. rcbaS ABC )( 2 1 ,其中r是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 2 6 相关的结论: 1角的变换 在 ABC 中, A+B+C= ,所以 sin(A+B)=sinC ;cos(A+B)= cosC;tan(A+B)= tanC。 2 sin 2 cos, 2 cos 2 sin CBACBA ; . 2. 三角形的形状 若 222 cba时,角C是锐角若 222 cba时
4、,角C是直角若 222 cba时 ,角C是钝角 (3)在 ABC 中, A, B, C 成等差数列的充分必要条件是B=60; (4)三角学中的射影定理:在ABC 中,AcCabcoscos, (5) 两内角与其正弦值:在ABC 中,BABAsinsin, 二.应用题 1.步骤:由已知条件作出图形,在图上标出已知量和要求的量; 将实际问题转化为数学问题;答 2.注意方位角;俯角;仰角;张角;张角等 如:方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。 三、思维总结 1解斜三角形的常规思维方法是: (1)已知两角和一边(如A、B、C) ,由 A+B+C = 求 C,由正弦定理求a、b; (2)已知两边和
5、夹角(如a、b、c) ,应用余弦定理求c 边;再应用正弦定理先求较短边所对的角, 然后利用 A+B+C = ,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A) ,应用正弦定理求B,由 A+B+C = 求 C,再由正弦 定理或余弦定理求c 边,要注意解可能有多种情况; (4)已知三边a、b、c,应余弦定理求A、B,再由 A+B+C = ,求角 C。 2三角形内切圆的半径: 2S r abc ,特别地, 2 abc r 斜 直 ; 3三角学中的射影定理:在ABC 中,AcCabcoscos, 方位角 北 俯角 仰角 张角 3 4两内角与其正弦值:在ABC 中,BABAsinsin, 5解
6、三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何 作图来帮助理解” 。 解三角形基础训练1 1. 在 ABC中,a=1,b=3,A=30 , 则 B等于 ( ) A.60 B.60或 120 C.30或 150D.120 2. 在 ABC中,A=60,C=45,b=2, 则此三角形的最小边长为( ) A.2 B.23-2 C.3-1 D.2(2-1) 3. 在C中,:1: 2:3A B C,则:a b c等于() A.1: 2 :3B.3: 2 :1C.1:3:2D.2:3:1 4已知在C中, sin A sin Bsin C 357,那么这个三角形的最大角是
7、() A135B90C120D150 5. 在C中,30 ,3Aa,则C的外接圆半径为( ) A. 3 2 B. 3 C.3 3D. 6 6. 在C中, 222 abcbc,则A等于 ( ) A.60B.45C.120D.30 7. 在 ABC中, 若 a Asin = b Bcos , 则 B的值为 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 8. ABC中,若Abasin23,则 B 为() A. 3 B. 6 C. 3 或 3 2 D. 6 或 6 5 9. ABC的三边满足abcbacba3)(,则C等于() A. 15B. 30C. 45D. 60 10. ABC中, “BAsi
8、nsin”是“ A=B ”的()条件 A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 11. ABC中,CCBBA 222 sinsinsinsinsin,则 A 等于() A. 30B. 60C. 120D. 150 12. ABC中,30B,350b,150c,则这个三角形是() A. 等边三角形B. Rt三角形 C. 等腰三角形D. 等腰或直角三角形 13. 在ABC中,k C c B b A a sinsinsin ,则k=() A. 2R B. R C. 4R D. 2 1 R 14、在 ABC 中,若 B=30 0, 32AB,AC=2 ,则 ABC 的面积为 _
9、。 4 解三角形基础训练2 1己知三角形三边之比为578,则最大角与最小角的和为() A90B120C135D150 2在 ABC 中,下列等式正确的是() Aa b A BBa bsin Asin B Ca bsin Bsin ADasin Absin B 3若三角形的三个内角之比为123,则它们所对的边长之比为() A1 23 B13 2 C1 49 D1 2 3 4在 ABC 中,若BAsinsin,则A与B的大小关系为() A. BA B. BA C. AB D.大小关系不定 5. 在ABC 中,2,3,60abC,则 ABC S(). A. 2 3 B. 3 2 C. 3D. 3 2
10、 6在 ABC 中,若 a 2b2c20,则 ABC 是( ) A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D形状不能确定 7在 ABC 中,若 b3 ,c 3, B30 ,则 a() A3B23C3 或 23D2 8 已知 ABC 中, AB6, A30, B120,则 ABC 的面积为 A9 B18C93D183 9 某人朝正东方向走了x km 后,向左转 150 , 然后朝此方向走了3 km, 结果他离出发点恰好3 km, 那么 x 的值是 () A3B23C3 或 23D3 10有一电视塔,在其东南方A 处看塔顶时仰角为45 ,在其西南方B 处看塔顶时仰角为60 ,若 AB 120 米,则电视
11、塔的高度为() A603 米B60 米C603 米或 60 米D30 米 5 解三角形基础训练3 1. 在ABC中,一定成立的等式是() A. BbAasinsinB. BbAacoscos C. AbBasinsinD. AbBacoscos 2在 ABC 中,下列式子不正确的是 A 222 2cosabcbcAB:sin:sin:sina b cABCC 1 sin 2 ABC SAB BCA D2sinbRB 3. 在ABC中,若 a b B A cos cos ,则ABC是() A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形 4已知ABC中,a4,b43,A30
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