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1、川越教育1 2018 年高中数学解三角形 【高考会这样考】 1考查正、余弦定理的推导过程 2考查利用正、余弦定理判断三角形的形状 3考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法 4. 考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题 知识点总结 1正弦定理: a sin A b sin B c sin C 2R,其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变 形为: (1)abcsin Asin Bsin C; (2)a2Rsin_A,b2Rsin_B,c 2Rsin_C; (3)sin A a 2R ,sin B b 2R ,sin C c 2R 等形式,以解决不同的三角形问题 2
2、余弦定理:a 2 b 2 c 22bccos_ A,b 2 a 2 c 2 2accos_ B,c 2a2 b 22abcos_C 余弦定 理可以变形为:cos A b 2 c 2 a 2 2bc ,cos Ba 2 c 2 b 2 2ac , cos C a 2 b 2 c 2 2ab . 3面积公式:S ABC 1 2ab sin C1 2bcsin A1 2acsin B abc 4R 1 2( abc) r(R是三角形外接 圆半径,r是三角形内切圆的半径) ,并可由此计算R,r. 4已知两边和其中一边的对角,解三角形时,注意解的情况如已知a,b,A,则 A为锐角A为钝角或直角 图形 关
3、系 式 absin Aabsin Absin Aabababab 解的 个数 无解一解两解一解一解无解 5用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 川越教育2 6实际问题中的常用角 (1) 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图 (1) (2) 方位角 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为 ( 如图 (2) (3) 方向角:相对于某正方向的水平角,如南偏东30,北偏西45,西偏东60等 (4) 坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数 考向探究 题型一正
4、弦余弦定理运用 【例题 1】在 ABC中,已知a=3,b=2,B=45 , 求 A、C和 c. 【例题 2】 在 ABC中, a、b、c 分别是角A,B,C的对边,且 C B cos cos =- ca b 2 . (1)求角 B的大小; (2)若 b=13,a+c=4,求 ABC的面积 . 川越教育3 【例题 3】(14 分) ABC中,角 A,B,C的对边分别为a,b, c,且 b 2+c2-a2+bc=0. (1)求角 A的大小; (2)若 a=3,求 bc 的最大值; (3)求 cb Ca)30sin( 的值 . 【变式】 1. ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、 b、c,若 c
5、=2, b=6, B=120 , 则 a= . 2. ( 1) ABC中, a=8,B=60,C=75, 求 b; (2) ABC中, B=30,b=4,c=8,求 C 、A、a. 3. 在 ABC中, A=60, AB=5 ,BC=7 ,则 ABC的面积为 . 4. 已知 ABC中,三个内角A,B, C的对边分别为a,b,c,若 ABC的面积为S,且 2S=(a+b) 2 -c 2,求 tanC 的值 . 5.在 ABC中,角 A、B、 C所对的边分别为a、b、c. 若(3b-c )cosA=acosC,则 cosA= . 6. 在 ABC中, 角 A 、B、C的对边分别为a、b、c,若(
6、a 2+c2 -b 2)tanB= 3ac,则角 B的值 为 . 7.在 ABC中,内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c. 已知 c=2,C= 3 . (1)若 ABC的面积等于3,求 a、b 的值; (2)若 sinC+sin(B-A)=2sin2A,求 ABC的面积 . 川越教育4 题型二判断三角形形状 【例题】 在 ABC中, a、b、 c 分别表示三个内角A、 B、C的对边,如果(a 2+b2 )sin ( A-B) =(a 2-b2)sin (A+B),判断三角形的形状 . 【变式】已知 ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a、b、c 成等差数列,且 2cos2
7、B-8cosB+5=0, 求角 B的大小并判断ABC的形状 . 题型三测量距离问题 【例题】 如图所示, 为了测量河对岸A,B两点间的距离,在这岸定一基线CD,现已测出CDa和ACD60, BCD30,BDC105,ADC60,试求AB的长 【变式】如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B、D为两岛上的两座灯塔 的塔顶,测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75, 30,于水面C处测得B点 和D点的仰角均为60,AC0.1 km. 试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等,然 后求B,D的距离 川越教育5 题型四测量高度问题 【例题】 如图,山脚下有一小塔AB,在塔底B测
8、得山顶C的仰角为60,在山顶C测得塔顶 A的俯角为45,已知塔高AB 20 m,求山高CD. 【变式】 如图所示,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C 与D,现测得BCD,BDC,CDs,并在点C测得塔顶A的仰角为 ,求塔高AB. 题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】 如图所示,在梯形ABCD中,ADBC,AB5,AC9,BCA30,ADB45, 求BD的长 【变式】如图,在ABC中,已知B45,D是BC边上的一点,AD 10,AC14,DC 6,求AB的长 川越教育6 课堂训练 1.在ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则ABC 一定是三角
9、形 . 2.在ABC 中,A=120 ,AB=5,BC=7,则 C B sin sin 的值为. 3.已知 ABC 的三边长分别为a,b,c, 且面积 SABC= 4 1 (b2+c2-a2),则 A= . 4.在ABC 中,BC=2,B= 3 ,若 ABC 的面积为 2 3 ,则 tanC 为. 5.在ABC 中,a 2 -c 2+b2=ab,则 C= . 6.ABC 中,若 a 4+b4+c4=2c2(a2+b2),则 C= . 7.在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b=7,c=3,则 B= . 8.某人向正东方向走了x 千米,他右转 150 ,然后朝新
10、方向走了3 千米,结果他离 出发点恰好 3千米,那么 x 的值是 . 9.下列判断中不正确的结论的序号是. ABC 中,a=7,b=14,A=30 ,有两解 ABC 中,a=30,b=25,A=150 ,有一解 ABC 中,a=6,b=9,A=45 ,有两解 ABC 中,b=9,c=10,B=60 ,无解 10. 在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,并且 a 2=b(b+c). (1)求证: A=2B; (2)若 a=3b,判断 ABC 的形状 . 11. 在ABC 中,cosB=- 13 5 ,cosC= 5 4 . (1)求 sinA 的值; (2)ABC 的面积 S
11、ABC= 2 33 ,求 BC 的长. 川越教育7 12.已知 a、b、c 是ABC 的三边长,关于x 的方程 ax 2-2 22 bcx-b=0 (acb) 的两根之差的平方等于4,ABC 的面积 S=103,c=7. (1)求角 C; (2)求 a,b 的值. 13. 在ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 a+b=5,c=7,且 4sin 2 2 BA -cos2C= 2 7 . (1)求角 C 的大小; (2)求 ABC 的面积 . 14 ( 人教 A版教材习题改编) 如图,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸 边选定一点C,测出AC的距离为50 m
12、,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B 两点的距离为 ( ) A 502 m B503 m C252 m D. 252 2 m 15从A处望B处的仰角为 ,从B处望A处的俯角为 ,则 , 的关系为 ( ) A B C90 D180 16若点A在点C的北偏东 30,点B在点C的南偏东 60,且ACBC,则点A在点B的 ( ) A 北偏东15 B北偏西 15 C北偏东10 D北偏西10 川越教育8 17一船向正北航行,看见正西方向相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航 行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60,另一灯塔在船的南偏西75,则这艘船的速度 是每小时 ( ) A 5
13、 海里 B53海里 C10 海里 D103海里 18海上有A,B,C三个小岛,测得A,B两岛相距 10 海里,BAC60,ABC75,则 B,C间的距离是 _海里 19. 如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行当甲 船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处,此时两船相距20 海里,当甲船航 行 20 分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处,此时两船相距102海 里问:乙船每小时航行多少海里? 川越教育9 参考答案 例题答案 题型一正弦、余弦定理 【例题 1】解 B=45 90 且 asinBba, ABC 有两解 . 由正弦
14、定理得sinA= b Ba sin = 2 45sin3 = 2 3 , 则 A 为 60 或 120 . 当 A=60 时, C=180 -(A+B)=75, c= B Cb sin sin = 45sin 75sin2 = 45sin )3045sin(2 = 2 26 . 当 A=120 时, C=180 -(A+B)=15, c= B Cb sin sin = 45sin 15sin2 = 45sin )3045sin(2 = 2 26 . 故在 ABC 中, A=60 ,C=75 ,c= 2 26 或 A=120 ,C=15 ,c= 2 26 . 【例题 2】解(1)由余弦定理知:c
15、osB= ac bca 2 222 , cosC= ab cba 2 222 . 将上式代入 C B cos cos =- ca b 2 得: ac bca 2 222 222 2 cba ab =- ca b 2 整理得 :a2+c2-b 2=-ac cosB= ac bca 2 222 = ac ac 2 =- 2 1 B 为三角形的内角,B= 3 2 . (2)将 b=13,a+c=4,B= 3 2 代入 b 2=a2+c2-2accosB,得 b2=(a+c)2-2ac-2accosB b 2=16-2ac 2 1 1, ac=3. SABC= 2 1 acsinB= 4 33 . 【
16、例题 3】解( 1) cosA= bc acb 2 222 = bc bc 2 =- 2 1 , 又 A( 0 ,180 ), A=120 . (2)由 a=3,得 b2+c 2=3-bc, 又 b 2+c22 bc(当且仅当 c=b 时取等号), 3-bc2 bc(当且仅当c=b 时取等号) . 即当且仅当c=b=1 时, bc 取得最大值为1. (3)由正弦定理得: C c B b A a sinsinsin 2R, 川越教育10 CRBR CAR cb Ca sin2sin2 )30sin(sin2)30sin( = CB CA sinsin )30sin(sin = CC CC sin
17、)60sin( )sin 2 3 cos 2 1 ( 2 3 CC CC sin 2 3 cos 2 3 )sin 4 3 cos 4 3 = 2 1 【变式】 1.2 2. 解(1)由正弦定理得 B b A a sinsin . B=60 ,C=75 ,A=45 , b= 45sin 60sin8 sin sin A Ba =46. (2) 由正弦定理得sinC= 4 30sin8sin b Bc =1. 又 30 C150 ,C=90 . A=180 -(B+C)=60 ,a= 22 bc=43. 3. 103 4. 解依题意得absinC=a 2+b2-c2+2ab, 由余弦定理知,a2
18、+b2-c2=2abcosC. 所以 ,absinC=2ab(1+cosC), 即 sinC=2+2cosC, 所以 2sin 2 C cos 2 C =4cos 2 2 C 化简得: tan 2 C =2. 从而 tanC= 2 tan1 2 tan2 2C C =- 3 4 . 5. 3 3 6. 3 或 3 2 7. 解 (1)由余弦定理及已知条件,得a 2+b2-ab=4. 又因为 ABC 的面积等于3, 所以 2 1 absinC=3,所以 ab=4. 联立方程组 , 4 ,4 22 ab abba 解得 2 2 b a . (2)由题意得sin(B+A)+sin(B-A)=4sin
19、AcosA, 即 sinBcosA=2sinAcosA, 当 cosA=0 时, A= 2 ,B= 6 ,a= 3 34 ,b= 3 32 . 当 cosA0 时,得 sinB=2sinA, 由正弦定理得b=2a, 川越教育11 联立方程组 ,2 , 4 22 ab abba 解得 . 3 34 3 32 b , a 所以 ABC 的面积 S= 2 1 absinC= 3 32 . 题型二判断三角形形状 【例题】解方法一已知等式可化为 a 2sin( A-B) -sin(A+B ) =b2-sin( A+B )-sin(A-B) 2a 2cosAsinB=2b2cosBsinA 由正弦定理可知
20、上式可化为: sin 2AcosAsinB=sin2BcosBsinA sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 sin2A=sin2B, 由 02A,2B 2 得 2A=2B 或 2A=-2B, 即 A=B 或 A= 2 -B, ABC 为等腰或直角三角形. 方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b 2sinAcosB 由正、余弦定理,可得 a 2b bc acb 2 222 = b 2a ac bca 2 222 a2(b2+c2-a2)=b 2(a2+c2-b2) 即(a2-b2)(a 2+b2-c2)=0 a=b 或 a2+b2=c2 ABC 为等腰或直角三角形
21、. 【变式】解方法一2cos2B-8cosB+5=0, 2(2cos2B-1)-8cosB+5=0. 4cos 2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 2 1 或 cosB= 2 3 (舍去) .cosB= 2 1 . 0B,B= 3 . a,b,c 成等差数列,a+c=2b. cosB= ac bca 2 222 = ac ca ca 2 ) 2 ( 222 = 2 1 , 化简得 a2+c2-2ac=0,解得 a=c. 又 B= 3 , ABC 是等边三角形. 方法二2cos2B-8cosB+5=0 , 2(2cos2B-1 )-8cos
22、B+5=0. 4cos 2B-8cosB+3=0 , 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0. 解得 cosB= 2 1 或 cosB= 2 3 (舍去) . cosB= 2 1 ,0B,B= 3 , a,b,c 成等差数列,a+c=2b. 川越教育12 由正弦定理得sinA+sinC=2sinB=2sin 3 =3. sinA+sin A 3 2 =3, sinA+sinAcos 3 2 -cosAsin 3 2 =3. 化简得 2 3 sinA+ 2 3 cosA=3, sin 6 A=1. A+ 6 = 2 ,A= 3 , C= 3 , ABC 为等边三角形. 题型三测量距离问题 【
23、例题】 解在ACD中,已知CDa,ACD60,ADC60,所以ACa. BCD 30,BDC105CBD45 在BCD中,由正弦定理可得BC asin 105 sin 45 31 2 a. 在ABC中,已经求得AC和BC,又因为ACB30,所以利用余弦定理可以求得A,B两点 之间的距离为ABAC 2 BC 22AC BCcos 30 2 2 a. 【变式】 解在ACD中,DAC30,ADC 60DAC30,所以CDAC0.1 km. 又BCD 180 60 60 60,故CB是CAD底边AD的中垂线,所以BDBA. 又ABC 15 在ABC中, AB sin BCA AC sin ABC ,
24、所以ABAC sin 60 sin 15 326 20 (km) , 同理,BD3 26 20 (km) 故B、D的距离为 326 20 km. 题型四测量高度问题 【例题】 解如图,设CDx m, 则AEx20 m, 川越教育13 tan 60 CD BD , BD CD tan 60 x 3 3 3 x (m) 在AEC中,x 20 3 3 x, 解得x 10(33) m 故山高CD为 10(3 3) m. 【变式】 解在BCD中,CBD , 由正弦定理得 BC sin BDC CD sin CBD , 所以BCCD sin BDC sin CBD ssin sin 在 RtABC中,AB
25、BCtan ACB stan sin sin . 题型五正、余弦定理在平面几何中的综合应用 【例题】 解在ABC中,AB5,AC9,BCA30. 由正弦定理,得 AB sin ACB AC sin ABC , sin ABCAC sin BCA AB 9sin 30 5 9 10. ADBC,BAD180ABC, 于是 sin BAD sin ABC 9 10. 同理,在ABD中,AB 5,sin BAD 9 10, ADB45,由正弦定理: AB sin BDA BD sin BAD , 解得BD9 2 2 . 故BD的长为 92 2 . 川越教育14 【变式】 解在ADC中,AD10, A
26、C 14,DC6, 由余弦定理得cosADC AD 2 DC 2 AC 2 2ADDC 10036196 210 6 1 2 ,ADC 120,ADB60. 在ABD中,AD10,B45,ADB60, 由正弦定理得 AB sin ADB AD sin B , AB ADsin ADB sin B 10sin 60 sin 45 10 3 2 2 2 56 课堂训练 1. 等腰; 2. 5 3 ; 3. 45 ;4. 3 3 ;5. 60 ;6. 45 或 135 ; 7. 6 5 ; 8. 3或 23;9. 10.(1)证明因为 a 2=b(b+c),即 a2=b2+bc, 所以在 ABC 中
27、,由余弦定理可得, cosB= ac bca 2 222 = ac bcc 2 2 = a cb 2 = ab a 2 2 = b a 2 = B A sin2 sin , 所以 sinA=sin2B, 故 A=2B. (2)解因为 a=3b,所以 b a =3, 由 a2=b(b+c)可得 c=2b, cosB= ac bca 2 222 = 2 222 34 43 b bbb = 2 3 , 所以 B=30 ,A=2B=60,C=90 . 所以 ABC 为直角三角形. 11. 解(1) 由 cosB=- 13 5 ,得 sinB= 13 12 , 由 cosC= 5 4 ,得 sinC=
28、5 3 . 所以 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC= 65 33 . (2)由 SABC= 2 33 ,得 2 1 ABACsinA= 2 33 . 由(1) 知 sinA= 65 33 ,故 ABAC=65. 川越教育15 又 AC= C BAB sin sin = 13 20 AB, 故 13 20 AB 2=65,AB= 2 13 . 所以 BC= C AAB sin sin = 2 11 . 12. 解 ( 1)设 x1、 x2为方程 ax 2-222 bcx-b=0 的两根, 则 x1+x2= a bc 22 2 ,x1 x2=- a b . (x1-x
29、2)2=(x1+x2)2-4x1x2= 2 22 )(4 a bc + a b4 =4. a2+b2-c2=ab. 又 cosC= ab cba 2 222 = ab ab 2 = 2 1 , 又 C(0 ,180 ),C=60 . (2)S= 2 1 absinC=103, ab=40 由余弦定理c 2=a2+b2-2abcosC, 即 c2=(a+b) 2-2ab(1+cos60 ). 72=(a+b) 2-2 40 2 1 1. a+b=13. 又 ab 由,得a=8,b=5. 13. 解 (1) A+B+C=180, 由 4sin 2 2 BA -cos2C= 2 7 , 得 4cos
30、2 2 C -cos2C= 2 7 , 4 2 cos1C -(2cos 2C-1)= 2 7 , 整理 ,得 4cos2C-4cosC+1=0, 解得 cosC= 2 1 , 0 C180 ,C=60 . (2)由余弦定理得c 2=a2+b2-2abcosC, 即 7=a2+b2-ab,7=(a+b) 2-3ab, 由条件 a+b=5,得 7=25-3ab,ab=6, SABC= 2 1 absinC= 2 1 6 2 3 = 2 33 . 14. 解析由正弦定理得 AB sin ACB AC sin B ,又B30 AB ACsin ACB sin B 50 2 2 1 2 502(m)
31、答案A 15. 解析根据仰角与俯角的定义易知 . 川越教育16 答案B 16. 解析如图 答案B 17. 解析如图所示,依题意有BAC60,BAD75,所以CADCDA15,从而 CDCA10( 海里 ) , 在 RtABC中,得AB5( 海里 ) , 于是这艘船的速度是 5 0.5 10(海里 / 时) 答案C 18. 解析由正弦定理,知 BC sin 60 AB sin180 60 75 . 解得BC56( 海里 ) 答案56 19. 如图,连接A1B2由已知A2B2 102, A1A2302 20 6010 2,A1A2A2B2. 又A1A2B2180 120 60, A1A2B2是等边三角形, A1B2A1A2102. 由已知,A1B120, B1A1B2105 60 45, (8 分) 川越教育17 在A1B2B1中,由余弦定理得 B1B 2 2A1B 2 1A1B 2 22A1B1A1B2cos 45 20 2(10 2) 222010 2 2 2 200, B1B2102. 因此,乙船的速度为 102 20 60302( 海里 / 时) (12 分)
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