2018年高考数学总复习不等式的综合.pdf
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1、第 1 页 共 13 页 2018 年高考数学总复习 不等式的综合 命题趋势探究 1.从内容上看,不等式经常作为一种工具与函数和方程结合在一起,去研究函数和方程 的有关题目;或利用函数和方程的理论研究不等式. 如根的分布、恒成立、解析几何中参数 的取值范围问题等都是高考命题的热点内容,在高考试题中往往以综合题出现. 另外,高考 试题中还常以应用题的形式考查函数、方程和不等式的综合问题. 2. 从考查形式上看,选择题主要考查实数的大小比较及简单的综合问题;填空题主要考 查含参数问题中参数的取值范围及函数的最值等;解答题主要是考查不等式与函数、数列、 解析几何等知识的综合题目. 知识点精讲 不等式
2、经常作为一种研究函数和方程有关命题的工具,反之,利用函数和方程的理论也 可研究不等式,如恒成立和根的分布问题等. 这些都是高考命题中的重点内容,往往以综合 题形式出现 . 题型归纳及思路提示 题型不等式恒成立问题中秋参数的取值范围 思路提示 解答不等式恒成立问题的基本思想是借助函数思想,通过不同的角度构造函数,借助 函数图像来解决,其方法大致有: (1)借助函数图像或利用一元二次方程判别式来求解. 将原不等式通过移项后转化为 某个函数值恒正(或非负)、恒负(或非正)的问题,再借助图像或判别式来求解. (2)分离自变量和参变量,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题. (3)变更主元,利用函
3、数与方程的思想求解. (4)借助两个函数图像比较两函数值的大小. 构造两个函数,并画出它们的图像,通 过图像来比较两个函数值的大小,即用数形结合思想来解决恒成立问题. 一、利用一元二次方程根的判别式 有关含有参数的一元二次不等式问题,若能把不等式转化为二次函数或二次方程,通 过根的判别式或数形结合思想,可使问题得到很好解决. 例对于xR,不等式 2 230xxm,求实数m的取值范围 . 解析不妨设 2 ( )23f xxxm,其函数图像是开口向上的抛物线,为了使( )0f x 第 2 页 共 13 页 (xR) , 只需0, 即 2 ( 2 )4 ( 3) 0 m, 解得2m, 故实数m的取值
4、范围(,2. 变式 1 若对于xR,不等式 2 230mxmx,求实数m的取值范围 . 例已知函数 2 ( )22f xxkx在1x时恒有( )f xk,求实数k的取值范围 . 解析令 2 ( )( )22F xf xkxkxk,则( )0F x对一切1x恒成立,( )F x的 图像是开口向上的抛物线,对称轴为xk. 当对称轴1xk时,( )F x在( 1,)上单调递增,故只需( 1)F122k 0k,得31k; 当对称轴1xk时,( )F x在( 1,)上的最小值为( )F k,故只需( )F k 22 220kkk,得11k. 由知k的取值范围是 3,1. 评注为了使( )f xk在 1,
5、)上恒成立,构造一个新函数( )( )F xf xk是解题的关 键,再利用二次函数的图像和性质进行分类讨论,使问题得到圆满解决. 变式 1 已知函数 2 ( )lg(1)f xxxx ,若不等式(3 )(392)0 xxx f mf对任 意xR恒成立,求实数m的取值范围 . 二、分离自变量和参变量,利用等价转化思想将其转化为求函数的最值问题 通过等价变形,将变量与参变量从整体式中分离出来,转化为( )(f x或,)a 恒成立问题: (1)若( )f x在定义域内存在最大值m,则( )( )f xa f xa恒成立am(或 am) ; 第 3 页 共 13 页 (2)若( )f x在定义域内存在
6、最小值m,则( )( )f xa f xa恒成立am(或 am) ; (3)若( )f x在定义域内不存在最值,只需找到( )f x在定义域上的最小上界(或最大 下界)m,即( )f x在定义域上增大(或减少)时无限接近但永远取不到的那个值,来代替 上述两种情况下的m,只是等号均可取到. 例当(1,2)x时,不等式 2 40xmx恒成立,则m的取值范围是 . 解析解法一:构造函数 2 ( )4f xxmx(1,2x) . 由于当(1,2)x时,不等式 2 40xmx恒成立,则(1)0f,(2)0f,即140m且4240m,解得 5m. 解法二:分离参数法.(1,2)x时,不等式 2 40xmx
7、 2 (4)mxx 2 1x m x ,令 2 14 ( )() x f xx xx ,因为 2 22 44 ( )10 x fx xx 在区间 (1,2)上恒成立,故函数( )f x在区间(1,2)上单调递增,故5( )4f x,所以5m, 因此m的取值范围是(, 5. 评注若本题中的条件改为1,2x,则m的取值范围是(, 5),希望同学们认真、仔细 地体会其中的不同. 变式 1 设函数 2 ( )1f xx对任意的 3 ,) 2 x, 2 ()4( )(1) x fm f xf x m 4()f m恒成立,则实数m的取值范围是 . 变式 2 不等式 2 |3|1|3xxaa对任意实数x恒成
8、立,则实数a的取值范围为 () A.(,14,) B. (25,) C.1,2 D. (, 12,) 变式 3 若不等式 lg(2) 1 lg() ax ax 在1,2x时恒成立,试求a的取值范围 . 第 4 页 共 13 页 变式 4 已知不等式 11112 log (1) 122123 a a nnn 对于一切大于1 的自然数都 成立,试求实数a的取值范围 . 三、变更主元 例若不等式 2 21(1)xm x,对满足22m的所有m都成立,求x的范围 . 分析欲求x的范围,将x视为参数,将m视为主元,那么关于x的二次不等式转化为关于 m的一次不等式的形式进行求解,非常简捷. 解析原不等式可化
9、为 2 (1)(21)0m xx. 令 2 ()(1)(21)f mm xx( 22)m,它是关于m的一次函数 . 由题意知 2 2 ( 2)2(1)(21)0 (2)2(1)(21)0 fxx fxx ,解得 1713 22 x,所以x的取值 范围是 17 13 (,) 22 . 评注利用函数思想,确定主元,根据一次函数的性质求解. 变式1 对于满足04p的所有实数p,使不等式 2 43xpxxp都成立的x的取 值范围是() A.(,1)(3,) B. (13,) C.( 1,3) D. 1,3 例 7.37 已知( )f x是定义在 1,1上的奇函数,且(1)1f. 若, 1,1a b,0
10、ab, 有 ( )( ) 0 f af b ab . (1)判断函数( )f x在 1,1上是增函数还是减函数; 第 5 页 共 13 页 (2)解不等式 11 ()(2) 22 f xfx; (3) 若 2 ( )21f xmam对所有 1,1x, 1,1a恒成立, 求实数m的取值范围 . 分析本题亮点在于利用主元变更和等价转化的思想逐步消去参数,从而求得实数m的取 值范围 . 解析(1)设 12 11xx,则 1212 ()()()()f xf xf xf x 12 12 12 ()() ()0 f xfx xx xx , 可知 12 ()()f xf x,所以( )f x在 1,1上是增
11、函数 . (2)由( )fx在 1,1上是增函数知 1 11 2 1 121 2 11 2 22 x x xx ,解得 11 42 x,故不等式的解集为 1 1 , 4 2 . (3)因为( )f x在 1,1上是增函数,所以( )(1)1fxf,则函数( )fx在 1,1上的最 大值为1,依题意有 2 211mam对 1,1a恒成立,即 2 20mam恒成立,令 2 ( )2g amam, 1,1a, 函数( )g a是关于a的一次函数, 若 1,1a时,( )0g a 恒成立,则 2 2 ( 1)20 (1)20 gmm gmm ,解得(, 202,)m. 评注对于( 1) ,抽象函数单调
12、性的证明往往借助定义,利用所给条件,判断差的符号;对 于(2) ,后一步解不等式往往是上一步单调性的继续,通过单调性,将函数值的大小转换到 自变量的大小上来;对于(3) ,确认主元,把 2 2mam看为关于a的一次函数,即 2 ( )2g amam在 1,1a上大于对于0,利用( )g a是一条直线这一图像特征,数形 结合得关于m的不等式组,从而得m的范围 . 变式 1已知 2 2 ( ) 2 xa f x x (xR)在区间 1,1上是增函数 . 第 6 页 共 13 页 (1)求实数a的值所组成的集合A; (2)设关于x的方程 1 ( )f x x 的两根为 1 x, 2 x,试问:是否存
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- 2018 年高 数学 复习 不等式 综合
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