2018年高考数学总复习极坐标与参数方程.pdf
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1、第二节极坐标与参数方程 ( 选修 4-4) 考纲解读 1. 理解坐标系的作用. 2. 了解在直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 3. 能在极坐标中用极坐标表示点的位置. 理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点 的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化. 4. 能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程 . 通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时 选择适当坐标系的意义. 5. 了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中的点的位置的方法,并与空间直角坐标系中 表示点的位置方法相比较,了解它们的区别. 6. 了解参数方程,了解
2、参数的意义. 7. 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 8. 掌握参数方程化普通方程的方法. 命题趋势探究 本章是新课标新增内容,属选考内容,在高考中可能有所体现. 参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用 和进一步深化,是研究曲线的工具之一,值得特别关注. 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O,由点O出发的一条射线Ox、一个长度单位及计算角度 的正方向 (通常取逆时针方向),合称为一个极坐标系. 点O称为极点,Ox称为极轴 .平面 上任一点M 的位置可以由线段OM的长度和从Ox到OM的角度(弧度制 )来刻画 (如图 16-31 和图 1
3、6-32 所示 ). 这两个实数组成的有序实数对( ,)称为点 M 的极坐标 .称为极径,称为极 角 . 二、极坐标与直角坐标的互化 设M为平面上的一点,其直角坐标为( ,)x y,极坐标为( , ),由图16-31 和图 16-32 可知,下面的关系式成立: cos sin x y 或 222 tan(0) xy y x x (对0也成立) . x O (, )M 图 16-31 y x O ( , )Mx y 图 16-32 三、极坐标的几何意义 r表示以O为圆心,r为半径的圆; 0表示过原点 ( 极点 ) 倾斜角为 0的直线,0( 0)为射线; 2 cosa表示以( ,0)a为圆心过O点
4、的圆 . (可化直角坐标 : 2 2cosa 22 2xyax 222 ()xaya.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来,设直线的点斜式方程为 00 ()yyk xx,其中tan(k为直线的倾斜角),代人点斜式方程: 00 sin ()() cos2 yyxx, 即 00 cossin xxyy . 记上式的比值为t, 整理后得 0 0 cos tsin xxt yy , 2 也成立,故直线的参数方 程为 0 0 cos t sin xxt yy (t为参数,为倾斜角, 直线上定点 000 (,)Mxy,动点( , )M x y, t为 0 M M的数量,向上向右为
5、正(如图 16-33 所示 ). 五、圆的参数方程 若圆心为点 00 (,)M xy, 半径为r, 则圆的参数方程为 0 0 cos (02 ) sin xxr yyr . 六、椭圆的参数方程 椭圆 22 22 C:1 xy ab 的参数方程为 cos sin xa yb (为参数,(02 )). 七、双曲线的参数方程 000 (,)Mxy O ( , )Mx y t y x 图 16-33 双曲线 22 22 C :1 xy ab 的参数方程为 sec tan xa yb (,) 2 kkZ. 八、抛物线的参数方程 抛物线 2 2ypx的参数方程为 2 2 2 xpt ypt (t为参数,参
6、数t的几何意义是抛物线 上的点与顶点连线的斜率的倒数). 题型归纳即思路提示 题型 196 极坐标方程化直角坐标方程 思路提示 对于极坐标方程给出的问题解答一般都是通过化为直角坐标方程,利用直角坐标 方程求解 . 这里需注意的是极坐标系与直角坐标系建立的对应关系及其坐标间的关系 cos sin x y . 例16. 7 在 极 坐 标 系 中 , 圆4sin的 圆 心 到 直 线 6 (R) 的 距 离 是 . 分析将极坐标方程转化为平面直角坐标系中的一般方程求解. 解析极坐标系中的圆4sin转化为平面直角坐标系中的一般方程为 22 4xyy,即 22 (2)4xy,其圆心为(0,2),直线
7、6 转化为平面直角坐 标系中的方程为: 3 3 yx,即30xy. 圆心(0, 2)到直线30xy的距离为 22 | 02 3 | 3 1( 3) . 变式 1已知曲线 12 ,C C的极坐标方程分别为cos3,4cos, (0,0) 2 ,则曲线 1 C与 2 C交点的极坐标为 . 变式 2 1 O和 2 O的极坐标方程分别为4cos,4sin. (1)把 1 O和 2 O的极坐标方程分别化为直角坐方程; (2)求经过 1 O和 2 O交点的直线的直角坐标方程. 变式 3已知一个圆的极坐标方程是5 3cos5sin,求此圆的圆心和半径. 例 16. 8极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是
8、() A. 两个圆 B.两条直线 C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线 分析将极坐标方程化为直角坐标方程. 解析因为(1)()0(0),所以1或(0). 22 11xy,得 22 1xy,表示圆心在原点的单位圆;(0)表示 x轴的负半轴,是一条射线. 故选 C. 变式1 极坐标方程cos和参数方程 1 23 xt yt (t参数 ) 所表示的图形分别是 ( ) A.圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D. 直线、直线 变式 2在极坐标系中,点(2,) 6 P到直线:sin()1 6 l的距离是 . 变式 3 (2012 陕西理 15)直线2cos1与圆2cos相交的弦长为 . 题型 1
9、97 直角坐标方程化为极坐标方程 思路提示 如果题目中已知的曲线为直角坐标方程,而解答的问题是极坐标系下的有关问题,这 里要利用直角坐标与极坐标关系式 cos sin x y ,将直角坐标方程化为极坐标方程. 例16. 9 (2012 辽宁理23)在直角坐标系xOy中,圆 1 C: 22 4xy,圆 2 C: 22 (2)4xy. (1)在以O为极点,x轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 1 C, 2 C的极坐标方程,并 求出圆 1 C, 2 C的交点坐标(用极坐标表示); (2)求出 1 C与 2 C的公共弦的参数方程. 解析(1)圆 1 C的极坐标方程为2,圆 2 C的极坐标方程为4cos.
10、 2 4cos 解得2, 3 ,故圆 1 C与圆 2 C的交点的坐标为 (2,),(2,) 33 . 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)解法一: 由 cos sin x y ,得圆 1 C与圆 2 C的交点的坐标分别为 (1 ,3),(1,3). 故圆 1 C与 2 C的公共弦的参数方程为 1( 33) x t yt . 解法二:将1x代入 cos sin x y 得cos1,从而 1 cos . 于是圆 1 C与 2 C的公 共弦的参数方程为 1 () tan33 x y . 变式 1 (2012 江西理 15) 曲线C的直角坐标方程为 22 20xyx, 以原点为极点,x轴 的正半轴为
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