2018年高考数学总复习函数的定义域与值域.pdf
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1、第二节函数的定义域与值域(最值) 考纲解读会求 些简单函数的定义域和值域 命题趋势探究考查重点是求解函数的定义域和值域 知识点精讲 一、函数的定义域 求解函数的定义域应注意: (1)分式的分母不为零; (2)偶次方根的被开方数大于或等于零: (3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1; (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零; (5)三角函数中的正切tanyx的定义域是,x xR 且, 2 xkxkZ ; (6)已知fx的定义域求解fg x的定义域,或已知fg x的定义域求fx的 定义域,遵循两点:定义域是指自变量的取值范围;在同一对应法则 下,括号内式子 的范围相同; (7)对于实际问题中函
2、数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的 定义域 . 二、函数的值域 求解函数值域主要有以下十种方法: (1)观察法;(2)配方法;(3)图像法;(4)基本不等式法, ( 5)换元法;(6)分离常数 法; (7)判别式法;(8)单调性法, (9)有界性法;(10)导数法 . 需要指出的是,定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式. 题型归纳及思路提示 题型 13 函数定义域的求解 思路提示 对求函数定义域问题的思路是: (1)先列出使式子 fx 有意义的不等式或不等式组; (2)解不等式组; (3)将解集写成集合或区间的形式. 二、给出函数解析式求解定义域 例 2.10 函
3、数 2 ln1 34 x y xx 的定义域为() A.(-4,-1) B.(-4,1) C.(-1,1) D.(-1,1 分析本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解 解析 2 10 , 340 x xx 得11x,故选 C 变式 1 函数ln 1yxx的定义域为() A.(0, 1) B0, 1)C.(0,1 D0 ,1 变式 2 求函数 2 21 log1 x fx x 的定义域 . 三、抽象函数定义域 已知fx的定义域求fg x的定义域,或已知fg x的定义域求fx的定义域, 或已知fg x的定义域求fh x的定义域 . 解题时注意: (1)定义域是指自变量的取值范围;(2)在同一
4、对应法则 的作用下括号内式 子的范围相同 . 例 2.11 (1)已知函数fx的定义域为( 0,1)求 2 fx的定义域 (2)已知函数 2 fx的定义域为( 2,4)求fx的定义域 (3)已知函数 2 fx的定义域为( 1,2)求21fx的定义域 . 分 析已 知 函 数fx的 定 义 域 为D , 求 函 数fg x的 定 又 域D, 只 需 Dx gxD;已知函数fg x的定义域D,求函数了fx的定义域,只需 ,Dt tg xtD,即求g x的值域 . 解析(1)fx的定义域为( 0,1) ,即 00 时可利用单调性法. (9)有界性法:充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域
5、.因为常出现反解 出 y 的表达式的过程,故又常称此为反解有界性法. (10) 导数法:先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定最大(小)值,从而求出函 数的值域 . 一观察法 例 2.14 求函数 1xy 的值域 . 分析由观察法直接得到函数的值域. 解析因为0x,所以函数的值域为),1 . 变式 1 函数)( 1 2 2 Rxy x x 的值域是. 变式 2 函数)( 1| | Rx x x y的值域是. 二配方法 例 2.15求函数 x xy 2 45的值域 . 分析对于根式中的二次函数,利用配方法求解. 解析由045 2 x x ,得5 ,1x. 2 2 (44)9290,3yxxx
6、. 变式 1 求函数 )1(1 1 )( xx xf的值域 . 变式 2 求xxxf53)(的值域 . 变式 3 设函数)0()( 2 acbxaxf x 的定义域为D, 若所有点),(),(,(Dtstfs 构成一个正方形区域,则a 的值为() . A -2 B -4 C -8 D 不能确定 三图像法(数形结合) 例 2.16 求函数 22 2222yxxxx的值域 . 分析由函数表达式易联想到两点间距离公式,可将其转化为动点与两定点的距离之和. 解析如图 2-4 所示, 1 ) 1( 1 ) 1( 2 2 2 2 xx y,所示动点P( x,1)到两定点 A(-1,0)和 B(1,0)的距
7、离之和,作点B( 1,0)关于直线y=1 的对称点 , (1 ,2)B,连接 B1A 交 y=1 于点 P1 (0,1),此时 AB1的长即为PA 与 PB 的长之和的最小值,点P1 (0,1)到 A,B 两点的距离之和为2 2,故函数的值域为2 2,+ . 评注本题中也可看着动点P(x,0)与两定点A1(-1,1),B1(1,1)的距离之和,同理利用数形结 合思想, |PA1 |+|PB1| | 2 2A B,则 |PA1 |+|PB1|的最小值为2 2. 变式 1 求函数 y=|x+1|+|x-2| 的值域 . 变式 2 函数 sin1 ( )(02 ) 32cos2sin x f xx
8、xx 的值域是(). B O P(x,1) A B A B A 图 2-4 P A 2 ,0 2 B 1,0C 2,0D 3,0 变式 3 函数 2 12 ( ) 23 fx x x 的值域是(). A 621 621 , 55 B 621 321 , 55 C 621 ,2 5 D 621 2, 5 四基本不等式法 例 2.17 已知 x2,求函数 2 45 ( ) 24 xx f x x 的值域 . 解析令24(0,)tx,则 4 2 t x, 2 2 44 45 4122 44 tt tt y ttt 1 21 4 t t (当且仅当 1 4 t t ,即t=2,x=3 时取等号) .故
9、函数fx的值域为1,). 变式 1 求函数 1 1 yx x 的值域 . 五、换元法(代数换元与三角换元) 【例 2.18】求函数2, 1, 3243)(xxf xx 的值域 . 解 析令2, 1,2xt x , 则4, 2 1 t, 得4, 2 1 ,33 2 ttty. 因 为 函 数 33 2 tty的对称轴 6 1 t,所以函数在区间 4, 2 1 上单调递增,所以值域为47, 4 13 . 故函数)(xf的值域为47, 4 13 . 变式 1: 求函数xxy2的值域 . 变式 2: 求函数 2 2xxy的值域 . 六、分离常数法 【例 2.19】求 2 12 x x e e y的值域
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