2018年高考数学总复习幂函数.pdf
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1、第七节幂函数 考纲解读 1.了解幂函数的概念及性质. 2.结合函数 1 2 2 1 ,yx yxyyx x 的图像,了解它们的变化情况. 命题趋势探究 有关幂函数的内容在高考中以考查基础知识为主,主要考察幂函数的图像与性质,一般以选 择退或填空题形式出现,属于容易题,有时也与函数的基本性质、二次函数、方程、不等式 等内容结合起来编制综合题. 复习本节不能追求难、新,而应重视基础知识,掌握教材中五种常见的幂函数即可. 知识点精讲 一、幂函数的定义 一般地,函数()yxR 叫做幂函数,其中x是自变量,是常数 . 注:判断一个函数是否为幂函数,关键是看其系数是否为1,底数是否为变量x. 二、幂函数的
2、图像 幂函数的图像一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四项县内,至于是否出现在第二、 三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图像如果与坐标轴相交,则交点一定是原点. 当 1 1,2,3, 1 2 时,在同一坐标系内的函数图像如图2-18 所示 . 三、幂函数的性质 当0时,幂函数yx 在(0,)上是增函数,当1时,函数图像是向下凸的;当 01时,图像是向上凸的,恒过点(0,0)(1,1)和; 当0时,幂函数yx 在(0,)上是减函数 .幂函数yx的图像恒过点(1,1). 提醒归纳及思路提示 题型 29 幂函数的定义及其图像 思路提示 确定幂函数yx 的定义域,当为分数时,可转化为根式考虑,是
3、否为偶次根式,或为 则被开方式非负.当0时,底数是非零的. 例 2.68 函数 2 223 ( )(1) aa f xaax为幂函数 (a为常数),且在(0,)上是减函数, 则 a _. 分析 根据幂函数的定义及单调性求解 a. 解析 依题意,得 2 2 11 230 aa aa ,解得2a. 变式 1 函数 3 220 4 (42)(1)ymxxmxmx的定义域为R, 求实数m的取值范 围. 变式 2幂函数( )yf x的图像经过点 1 ( 2,) 8 ,则满足( )27f x的x的值是 _ 变式3 设 1 1,1,3 2 a,则使函数yx为奇函数且定义域为R的所有的值为 () .1,3A.
4、1,1B. 1,3C. 1,1,3D 题型 30 幂函数性质的综合应用 思路提示 紧扣幂函数yx 的定义、图像、性质,特别注意它的单调性在不等式中的作用,这里注 意为奇数时,x为奇函数,为偶数时,x为偶函数 . 例 2.69 已知幂函数 2 23 ( )() mm f xxmZ为偶函数,且在区间(0,)上是减函数 . (1)求函数( )f x的解析式; (2)求满足 33 (1)(32 ) mm aa 的a的取值范围 . 分析 利用函数( )f x在区间(0,)上是减函数且为偶函数求m,从而得到( )f x的解析式 . 解析 (1)因为幂函数在区间(0,)上是减函数,所以 2 230mm得 1
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