2019届中考数学总复习:几何综合问题.pdf
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1、第 1 页 共 21 页 2019 届中考数学总复习:几何综合问题 【中考展望】 几何综合题是中考试卷中常见的题型,大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题,它主要 考查学生综合运用几何知识的能力. 这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量,不仅有选 择题、填空题、几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题, 还有更注重考查学生分析问题和解决问 题能力的探究性的问题、方案设计的问题等等. 主要特点是图形较复杂,覆盖面广、涉及的知识点较多, 题设和结论之间的关系较隐蔽,常常需要添加辅助线来解答. 几何综合题的呈现形式多样,如折叠类型、探究型、开放型、运动型、情景型等,背景鲜活,具有 实
2、用性和创造性,考查方式偏重于考查考生分析问题、探究问题、综合应用数学知识解决实际问题的能 力. 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题: 1、证明线段、角的数量关系(包括相等、和、差、倍、分及比例关系等); 2、证明图形的位置关系(如点与线、线与线、线与圆、圆与圆的位置关系等); 3、几何计算问题; 4、动态几何问题等. 【方法点拨】 一、几何计算型综合问题,常常涉及到以下各部分的知识: 1、与三角形有关的知识; 2、等腰三角形,等腰梯形的性质; 3、直角三角形的性质与三角函数; 4、平行四边形的性质; 5、全等三角形,相似三角形的性质; 6、垂径定理,切线的性质,与正
3、多边形有关的计算; 7、弧长公式与扇形面积公式. 二、几何论证型综合题的解答过程,要注意以下几个方面: 1、注意图形的直观提示,注意观察、分析图形,把复杂的图形分解成几个基本图形,通过 添加辅助线补全或构造基本图形; 2、注意分析挖掘题目的隐含条件、发展条件,为解题创造条件打好基础,要由已知联想经 验,由未知联想需要,不断转化条件和结论来探求思路,找到解决问题的突破点; 3、要运用转化的思想解决几何证明问题,运用方程的思想解决几何计算问题,还要灵活运用 数学思想方法如数形结合、分类讨论、转化、方程等思想来解决问题. 【典型例题】 类型一、动态几何型问题 1如图, 在矩形 ABCD中,AB=12
4、cm ,BC=6cm ,点 P沿 AB边从点 A开始向点B以 2cm/s 的速度移动; 点 Q沿 DA边从点 D 开始向点A 以 1cm/s 的速度移动 . 如果 P、 Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0 t 6) ,那么: 当 t 为何值时,QAP为等腰直角三角形? 求四边形QAPC 的面积;提出一个与计算结果有关的结论; 当 t 为何值时,以点Q 、A、P为顶点的三角形与ABC相似? D A B C Q P 第 2 页 共 21 页 【思路点拨】中应由 QAP为等腰直角三角形这一结论,需补充条件AQ=AP ,由 AQ=6 t , AP=2t,可 求出 t 的值; 中四边形QAPC 是
5、一个不规则图形,其面积可由矩形面积减去DQC 与 PBC的面积求出; 中由于题目中未给出三角形的相似对应方式,因此需分类讨论. 【答案与解析】 解: (1)对于任何时刻t ,AP=2t,DQ=t,QA=6-t 当 QA=AP 时, QAP为等腰直角三角形,即6-t=2t ,解得: t=2 (s) , 所以,当t=2s 时, QAP为等腰直角三角形 (2)在 QAC 中, QA=6-t,QA边上的高DC=12 , SQAC= 1 2 QA ?DC=1 2 (6-t ) ?12=36-6t 在 APC中, AP=2t,BC=6 , SAPC= 1 2 AP ?BC=1 2 ?2t ?6=6t S四
6、边形 QAPC=SQAC+S APC=(36-6t )+6t=36 (cm 2) 由计算结果发现:在P、Q两点移动的过程中,四边形QAPC 的面积始终保持不变 (也可提出:P、 Q两点到对角线AC的距离之和保持不变) (3)根据题意,可分为两种情况,在矩形ABCD 中: 当 QAAP ABBC 时, QAP ABC ,则有: 62 126 tt ,解得 t=1.2 (s) , 即当 t=1.2s时, QAP ABC ; 当 QAAP BCAB 时, PAQ ABC ,则有: 62 612 tt ,解得 t=3 (s) , 即当 t=3s 时, PAQ ABC ; 所以,当t=1.2s或 3s
7、时,以点 Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似 【总结升华】 本题是动态几何题,同时也是一道探究题要求学生具有一定的发现、归纳和表达能力, 这就要求我们通过计算分析,抓住其本质,揭示出变中不变的规律四边形QAPC 的面积也可由QAC 与 CAP的面积求出,;中考查了分类讨论的数学思想,结论具有一定的开放性. 2 (永春县校级月考)如图,在梯形ABCD 中,AD BC,AD=3 ,CD=5,BC=10 ,梯形的高为4, 动点 M 从点 B 出发沿线段BC 以每秒 2 个单位长度向终点C 运动;动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点D 运动设运动的时间为t 秒 (1
8、)直接写出梯形ABCD 的中位线长; (2)当 MN AB 时,求 t 的值; (3)试探究: t 为何值时,使得MC=MN 第 3 页 共 21 页 【思路点拨】 (1)直接利用梯形中位线的定理求出即可; (2)平移梯形的一腰,根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解; (3)利用 MC=MN 时,结合路程 =速度 时间求得其中的有关的边,运用等腰三角形的性质和解直角三 角形的知识求解 【答案与解析】 解: (1) AD=3 ,BC=10, 梯形 ABCD 的中位线长为: (3+10) 2=6.5; (2)如图 1,过 D 作 DGAB 交 BC 于 G 点,则四边形ADGB 是平行四边形
9、 MN AB , MN DG, BG=AD=3 GC=103=7 由题意知,当M、 N 运动到 t 秒时, CN=t ,CM=10 2t DGMN , MNC GDC =, 即= 解得, t=; (3)当 MC=MN时,如图2,过 M 作 MF CN 于 F 点, FC=NC=t C=C, MFC= DHC=90 , MFC DHC , =, 即=, 解得: t= 综上所述, t=时, MC=MN 【总结升华】 解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系 求解,但是对于大多数题目来说,都有一个由动转静的拐点. 3. (2016 秋?泗阳县期末) (1)已知:
10、如图1, ABC为等边三角形,点D为 BC边上的一动点(点 第 4 页 共 21 页 D 不与 B、C重合),以 AD为边作等边 ADE ,连接 CE 求证: BD=CE , AC=CE+CD;聪明的小明做完 上题后进行了进一步变式探究 (2)如图 2,在 ABC中, BAC=90 , AC=AB ,点 D为 BC上的一动点(点D 不与 B、C 重合) ,以 AD 为边作等腰Rt ADE ,DAE=90 (顶点A、D、 E 按逆时针方向排列) ,连接CE ,类比题( 1) ,请你猜 想线段 BD 、CD 、DE之间会有怎样的关系,请直接写出,不需论证; (3)如图 3,在( 2)的条件下,若D
11、点在 BC的延长线上运动,以AD为边作等腰RtADE ,DAE=90 (顶点 A、 D、E按逆时针方向排列) ,连接 CE 题( 2)的结论还成立吗?请说明理由; 连结 BE ,若 BE=10,BC=6 ,求 AE的长 【思路点拨】( 1)根据等边三角形的性质就可以得出BAC= DAE=60 , AB=BC=AC ,AD=DE=AE,进而 就可以得出ABD ACE ,即可得出结论;由ABD ACE ,以及等边三角形的性质,就可以得出 AC=DC+CE; (2)先判定 ABD ACE (SAS ) ,得出 B=ACE=45 , BD=CE ,在RtDCE中,根据勾股定理得出 CE 2+CD2=D
12、E2,即可得到 BD 2+CD2=DE2; (3)运用( 2)中的方法得出BD 2+CD2=DE2;根据 RtBCE中,BE=10,BC=6 ,求得 CE= 22 106=8, 进而得出CD=8 6=2,在 RtDCE中,求得DE= 22 28=,最后根据ADE是等腰直角三角形,即 可得出 AE的长 【答案与解析】 解: (1)如图 1, ABC和 ADE是等边三角形, BAC= DAE=60 , AB=BC=AC ,AD=DE=AE, BAC DAC= DAE DAC , BAD= EAC 在 ABD和 ACE中, , ABD ACE (SAS ) , BD=CE ; BD=CE ,AC=B
13、C , 又 BC=BD+CD, AC=CE+CD; (2)BD 2+CD2=DE2 证明:如图2, BAC= DAE=90 , BAC DAC= DAE DAC , 第 5 页 共 21 页 即 BAD= CAE , 在 ABD与 ACE中, , ABD ACE ( SAS ) , B=ACE=45 , BD=CE , B+ACB= ACE+ ACB=90 , BCE=90 , Rt DCE中, CE 2+CD2=DE2, BD 2+CD2=DE2; (3)( 2)中的结论还成立 理由:如图3, BAC= DAE=90 , BAC+ DAC= DAE+ DAC , 即 BAD= CAE , 在
14、 ABD与 ACE中, , ABD ACE (SAS ) , ABC= ACE=45 , BD=CE , ABC+ ACB= ACE+ ACB=90 , BCE=90 = ECD , RtDCE中, CE 2+CD2=DE2, BD 2+CD2=DE2; RtBCE中, BE=10 ,BC=6 , CE= 22 106=8, BD=CE=8 , CD=8 6=2, RtDCE中, DE= 22 28=68, ADE是等腰直角三角形, AE= 68 34 22 DE 【总结升华】 本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,等腰 直角三角形的性质以及勾股定理的综合应
15、用. 举一反三: 【变式 】 ABC是等边三角形,P为平面内的一个动点,BP=BA ,若 0 PBC 180,且 PBC平分线 上的一点D满足 DB=DA , (1)当 BP与 BA重合时(如图1) , BPD= ; (2)当 BP在 ABC的内部时(如图2) ,求 BPD的度数; (3)当 BP在 ABC的外部时,请你直接写出BPD的度数,并画出相应的图形 第 6 页 共 21 页 【答案】(1) BPD= 30; (2)如图 3,连结 CD 点 D在 PBC的平分线上, 1=2 ABC是等边三角形, BA=BC=AC , ACB= 60 BP=BA, BP=BC BD= BD, PBD C
16、BD BPD= 3 DB=DA , BC=AC , CD=CD , BCD ACD 1 3430 2 ACB BPD =30 (3) BPD= 30或 150 . 类型二、几何计算型问题 【高清课堂:几何综合问题例 1 】 4. 如图,直角三角形纸片ABC中, ACB=90 , AC=8 ,BC=6 折叠该纸片使点B与点 C重合,折痕 与 AB 、BC的交点分别为D、E. (1) DE 的长为; (2) 将折叠后的图形沿直线AE剪开,原纸片被剪成三块,其中最小一块的面积等于 第 7 页 共 21 页 【思路点拨】( 1)由题意可得:DE是线段 BC的垂直平分线,易证DE AC ,即 DE是 A
17、BC的中位线,即 可求得 DE的长; (2)由 DE AC ,DE=1 2 AC ,易证 AOC EOD ,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得OA :OE=2 , 然后求得 ACE的面积,利用等高三角形的面积比等于对应底的比,即可求得答案 【答案与解析】 (1)根据题意得:DE BC , CE=BE , ACB=90 , 即 AC BC , DE AC, AD=BD , DE=1 2 AC=1 2 8=4; (2) DE AC ,DE=1 2 AC , AOC EOD , OA :OE=AC :DE=2 , CE=1 2 BC=1 2 6=3, ACB=90 , AC=8 , SACE=
18、1 2 CE ?AC=1 2 38=12, SOCE= 1 3 SACE=4, SADE+SODE=SABC-4-12=8 , 其中最小一块的面积等于4 【总结升华】 考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性 质此题难度适中,注意数形结合思想的应用,注意掌握折叠前后图形的对应关系, 是一道典型的几何 综合题 举一反三 【变式 】在边长为2 的菱形 ABCD中, B=45, AE为 BC边上的高,将ABE沿 AE所在直线翻折得 AB E ,那么 AB E与四边形AECD 重叠部分的面积是 . 【答案】 在 RtABE中, B=45, AB=2 , AE=BE
19、=2, SABE=1 第 8 页 共 21 页 由翻折的性质可知:AB E ABE , EB =EB=2 BC=BB BC=2 22, 四边形ABCD 是菱形, CFBA BFC=BAB=90 , B CF=B=45 CF= 2 =2- 2 2 B C , S B FC = 2 2 1 CF=322 S阴=S B E A S B FC =2 22 5如图,在等腰梯形ABCD中,AB DC ,A=45 ,AB=10 cm,CD=4 cm ,等腰直角 PMN的斜边 MN=10 cm, A 点与 N点重合, MN和 AB在一条直线上,设等腰梯形ABCD 不动,等腰直角PMN 沿 AB所 在直线以1
20、cms 的速度向右移动,直到点N与点 B重合为止 . (1) 等腰直角 PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重叠部分的形状由_形变化为 _形; (2) 设当等腰直角PMN 移动 x (s) 时,等腰直角PMN 与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y(cm 2) ,求 y 与 x 之间的函数关系式; (3) 当 x=4 (s)时,求等腰直角PMN 与等腰梯形ABCD 重叠部分的面积. 【思路点拨】( 1)根据已知求出PNM= DAB=45 ,求出 AEN ,根据等腰直角三角形的判定判断即可; 推出 DAB= PNM=45 ,根据等腰梯形的判定判断即可; (2)可分为以下两种情况: 当 0x
21、6 时,重叠部分的形状为等腰直角EAN ,AN=x ( cm) ,过点 E作 EH AB于点 H,则 EH平分 AN ,求出 EH ,根据三角形的面积公式求出即可;当6x 10 时,重叠部分的形状是等腰梯形ANED , 求出 AN=x (cm) ,CE=BN=10-x ,DE=x-6,过点 D 作 DFAB于 F,过点 C 作 CG AB于 G ,求出 DF ,代入 梯形面积公式求出即可. 【答案与解析】 (1) 等腰直角三角形;等腰梯形. (2) 等腰直角 PMN 在整个移动过程中与等腰梯形ABCD 重合部分图形的形状可分为以下两种情况: 第 9 页 共 21 页 当 0x6 时,重叠部分的
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- 2019 中考 数学 复习 几何 综合 问题
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