2019中考数学题型专项研究第6讲:二次函数的综合应用.pdf
《2019中考数学题型专项研究第6讲:二次函数的综合应用.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019中考数学题型专项研究第6讲:二次函数的综合应用.pdf(27页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2019 年中考数学题型专项研究 第 6 讲二次函数的综合应用 1与线段、周长相关的问题研究 2与面积相关的问题研究 3 与特殊三角形相关的问题研究 4与特殊四边形相关的问题研究 再解决相关问题时往往找不到解决问题的正确思路,或者出现知识点不能转化现象, 甚至个别的会遗漏出现的问题可能性 实数的运算先乘除后加减,有乘方时先乘方绝对值先判断正负,再去绝对值符 号记清几个特殊的锐角三角函数值 一、线段、周长最值问题有两种形式: 1平行于坐标轴的线段的最值问题,常常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数 关系式,然后运用二次函数性质求最值解决这类问题的关键是:(1)确定线段的函数 关系式,注意当线段
2、平行于y轴时,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标;当线段平 行 x 轴时,用右端点的横坐标减去左端点的横坐标;(2)确定函数最值,注意函数自变 量取值范围要确定正确; 2“将军饮马”型问题或其变形问题,这类问题一般是已知两个定点和一条定直线, 然后在定直线上确定一点,使得这个点到两定点距离和最小其变形问题有三角形周 长最小或四边形周长最小等;这类问题的解决方法是:作其中一个定点关于已知直线 的对称点,连接对称点与另一个定点,它们与已知直线的交点即为所求的点,然后通 过求直线解析式及直线交点坐标,计算最小值或点坐标 二、解决二次函数与三角形问题: 1.解决二次函数与三角形面积最值综合题,常见方法
3、有: (1)若三角形有一条边在坐标轴上或平行于坐标轴,首先计算这条边的两个顶点的坐 标;然后利用坐标的差表示这条边的长(若平行于x 轴,用右边的点的横坐标减去左边 点的横坐标可得边长;若平行于 y 轴,用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标可得边 长);再确定另一顶点到这条边的距离,一般是另一点的横(纵)坐标与已知边的点的横 (纵)坐标的差;然后运用三角形面积公式计算(2)若三角形的边都不与坐标轴平行, 解决问题的一般步骤为: 根据三角形两定点确定这条边所在直线的解析式; 过动点作坐标轴的平行线,与这条直线交于一点; 分别用抛物线及直线的解析式表示出这两个点的坐标,并表示它们之间的距离; 以所求距
4、离为底边,以两定点的坐标差的绝对值为高,列出三角形面积的函数关系 式; 根据二次函数的性质确定最值、对应的点坐标 2. 对于二次函数与四边形面积的综合题,常常会将其转化为三角形面积进行计算 三、与图形面积数量关系有关的问题 1如果是面积的倍数关系,一般需要用等积变形来解决,即过三角形的一个顶点作它 对边的平行线或是从图形中寻找出这样的直线,利用等底同高来进行等积变形,从而 实现三角形顶点的转移; 2如果过某个顶点的线段平分三角形的面积,则该线段一定过该顶点对边的中点 四、探究直角三角形的存在性 先假设结论成立,根据直角顶点的不确定性,分情况讨论; 找点:当所给定长未说明是直角三角形的斜边还是直
5、角边时,需分情况讨论,具体 方法如下: a当定长为直角三角形的直角边时,分别以定长的某一端点作定长的垂线,与坐标轴 或抛物线有交点时,此交点即为符合条件的点; b当定长为直角三角形的斜边时,以此定长为直径作圆,圆弧与坐标轴或抛物线有交 点时,此交点即为符合条件的点; 计算:把图形中的点坐标用含有自变量的代数式表示出来,从而表示出三角形的各 个边(表示线段时,注意代数式的符号)再利用相似三角形的性质得出比例式,或者利 用勾股定理进行计算,或者利用三角函数建立方程求点坐标 五、探究平行四边形的存在性具体方法如下: (1)假设结论成立; (2)找点:探究平行四边形的存在性问题,一般是已知两定点求未知
6、点坐标,此时可以 分两种情况,分别以这两点所构成的线段为边和对角线来讨论:以这两点所构成线 段为边时,可以利用平行四边形对边平行且相等,画出符合题意的图形;以这两点 所构成线段为对角线时,则该线段的中点为平行四边形对角线的交点,结合抛物线的 对称性,画出符合题意的图形 (3)建立关系式,并计算:根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,可以利用 平行四边形的性质进行计算,也可以利用抛物线的对称性、相似三角形或直角三角形 的性质进行计算,要具体情况具体分析,有时也可以利用直线的解析式联立方程组, 由方程组的解为交点坐标的方法求解 六、探究菱形的存在性具体方法如下: (1)假设结论成立; (2)
7、分情况讨论:已知两个定点去探究菱形时,以两个定点确定的线段作为要探究的菱 形的对角线或边长画出符合题意的菱形,结合题干要求找出满足条件的菱形; (3)建立关系式,并计算:根据以上分类方法画出所有的符合条件的图形后,利用菱形 的性质进行计算,也可利用全等三角形、相似三角形或直角三角形的性质进行计算, 要具体情况具体分析有时也可以利用直线的解析式联立方程组,根据方程组的解为 交点坐标的性质求解,在解答时要更好地利用菱形的对角线互相垂直平分,根据对称 性可使个别点的坐标求解更简单 【典例解析】 【例题 1】(2017 贵州安顺) 二次函数 y=ax 2+bx+c(0)的图象如图,给出下列四个 结论:
8、 4acb20;3b+2c0;4a+c2b;m(am+b)+ba(m1) ,其中结 论正确的个数是() A1 B2 C3 D4 【考点】 H4:二次函数图象与系数的关系 【分析】由抛物线与 x 轴有两个交点得到b24ac0,可判断;根据对称轴是x=1, 可得 x=2、0 时,y 的值相等,所以4a2b+c0,可判断;根据=1,得出 b=2a,再根据 a+b+c0,可得b+b+c0,所以 3b+2c0,可判断; x=1时该二次 函数取得最大值,据此可判断 【解答】 解:图象与 x 轴有两个交点, 方程 ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根, b24ac0, 4acb20, 正确; =1, b
9、=2a, a+b+c0, b+b+c0,3b+2c0, 是正确; 当 x=2 时,y0, 4a2b+c0, 4a+c2b, 错误; 由图象可知 x=1 时该二次函数取得最大值, ab+cam2+bm+c(m1) m(am+b)ab故错误 正确的有两个, 故选 B 【例题 2】(2017 湖北荆州)荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖已知每千克小龙虾 养殖成本为 6 元,在整个销售旺季的80 天里,销售单价p(元/千克)与时间第t(天) 之间的函数关系为: ,日销售量 y(千克)与时间第t(天)之间的函数 关系如图所示: (1)求日销售量 y 与时间 t 的函数关系式? (2)哪一天的日销售利润最大
10、?最大利润是多少? (3)该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400元? (4)在实际销售的前40 天中,该养殖户决定每销售1 千克小龙虾,就捐赠m(m7) 元给村里的特困户在这前40 天中,每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而 增大,求 m 的取值范围 【考点】 HE:二次函数的应用 【分析】 (1)根据函数图象,利用待定系数法求解可得; (2)设日销售利润为w,分 1t40 和 41t80 两种情况,根据 “ 总利润 =每千克利 润销售量 ” 列出函数解析式,由二次函数的性质分别求得最值即可判断; (3)求出 w=2400 时 x 的值,结合函数图象即可得出答案; (4)依据( 2
11、)中相等关系列出函数解析式,确定其对称轴,由1t40 且销售利润 随时间 t 的增大而增大,结合二次函数的性质可得答案 【解答】 解: (1)设解析式为 y=kt+b, 将(1,198) 、 (80,40)代入,得: , 解得:, y=2t+200(1x80,t 为整数) ; (2)设日销售利润为w,则 w=(p6)y, 当 1t40 时,w=(t+166) (2t+200)=(t30) 2+2450, 当 t=30 时,w 最大=2450; 当 41t80时,w=(t+466) (2t+200)=(t90)2100, 当 t=41 时,w最大=2301, 24502301, 第 30 天的日
12、销售利润最大,最大利润为2450 元 (3)由( 2)得:当 1t40 时, w=(t30)2+2450, 令 w=2400,即(t30)2+2450=2400, 解得: t1=20、t2=40, 由函数 w= (t30) 2+2450 图象可知,当 20t40 时,日销售利润不低于 2400 元, 而当 41t80时,w 最大=23012400, t 的取值范围是 20t40, 共有 21 天符合条件 (4)设日销售利润为w,根据题意,得: w=(t+166m) (2t+200)= t 2+(30+2m)t+2000200m, 其函数图象的对称轴为t=2m+30, w 随 t 的增大而增大,
13、且1t40, 由二次函数的图象及其性质可知2m+3040, 解得: m5, 又 m7, 5m7 【例题 3】(2017 山东聊城) 如图,已知抛物线y=ax 2+2x+c 与 y 轴交于点 A(0,6) , 与 x 轴交于点 B(6,0) ,点 P是线段 AB上方抛物线上的一个动点 (1)求这条抛物线的表达式及其顶点坐标; (2)当点 P移动到抛物线的什么位置时,使得PAB=75 ,求出此时点 P的坐标; (3)当点P从A点出发沿线段 AB上方的抛物线向终点B移动,在移动中,点P的横坐 标以每秒 1 个单位长度的速度变动, 与此同时点 M 以每秒 1 个单位长度的速度沿AO向 终点 O 移动,
14、点 P,M 移动到各自终点时停止, 当两个移点移动t 秒时,求四边形 PAMB 的面积 S关于 t 的函数表达式,并求t 为何值时, S有最大值,最大值是多少? 【考点】 HF:二次函数综合题 【分析】 (1)由 A、B 坐标,利用待定系数法可求得抛物线的表达式,化为顶点式可求 得顶点坐标; (2)过 P作 PC y 轴于点 C,由条件可求得 PAC=60 ,可设 AC=m ,在 RtPAC中,可 表示出 PC的长,从而可用 m 表示出 P点坐标,代入抛物线解析式可求得m 的值,即可 求得 P点坐标; (3)用 t 可表示出 P、M 的坐标,过 P作 PE x 轴于点 E,交 AB于点 F,则
15、可表示出 F 的坐标,从而可用 t 表示出 PF的长,从而可表示出 PAB的面积,利用 S四边形PAMB=SPAB +S AMB,可得到 S关于 t 的二次函数,利用二次函数的性质可求得其最大值 【解答】 解: (1) 根据题意,把 A (0, 6) , B (6, 0) 代入抛物线解析式可得, 解得, 抛物线的表达式为y=x2+2x+6, y=x2+2x+6=(x2) 2+8, 抛物线的顶点坐标为(2,8) ; (2)如图 1,过 P作 PC y 轴于点 C, OA=OB=6 , OAB=45 , 当 PAB=75 时, PAC=60 , tanPAC=,即= , 设 AC=m ,则 PC=
16、 m, P(m,6+m) , 把 P点坐标代入抛物线表达式可得6+m= (m) 2 +2 m+6, 解得 m=0或 m= , 经检验, P(0,6)与点 A 重合,不合题意,舍去, 所求的 P点坐标为( 4, +) ; (3)当两个支点移动t 秒时,则 P(t,t 2+2t+6) ,M(0,6t) , 如图 2,作 PE x 轴于点 E,交 AB于点 F,则 EF=EB=6 t, F(t,6t) , FP= t2+2t+6(6t)=t2+3t, 点 A 到 PE的距离竽 OE ,点 B到 PE的距离等于 BE , SPAB=FP?OE +FP?BE= FP? (OE+BE )=FP?OB= (
17、t 2+3t)6= t2+9t,且 SAMB=AM?OB= t6=3t, S=S四边形PAMB=S PAB +S AMB = t2+12t=(t4)2+24, 当 t=4 时,S有最大值,最大值为24 【例题 4】 (2017?乐山)如图 1,抛物线 C1:y=x 2+ax 与 C 2:y=x 2+bx 相交于点 O、C,C 1与 C2 分别交 x 轴于点 B、A,且 B为线段 AO的中点 (1)求 错误!未找到引用源。的值; (2)若 OC AC ,求 OAC的面积; (3)抛物线 C2的对称轴为 l,顶点为 M,在( 2)的条件下: 点 P为抛物线 C 2对称轴 l 上一动点,当 PAC的
18、周长最小时,求点 P的坐标; 如图 2,点 E在抛物线 C2上点 O与点 M 之间运动,四边形 OBCE 的面积是否存在最大 值?若存在,求出面积的最大值和点E的坐标;若不存在,请说明理由 【考点】 HF:二次函数综合题 【分析】 (1)由两抛物线解析式可分别用a 和 b 表示出 A、B两点的坐标,利用 B 为 OA 的中点可得到 a 和 b 之间的关系式; (2)由抛物线解析式可先求得C点坐标,过 C 作 CDx 轴于点 D,可证得 OCD CAD ,由相似三角形的性质可得到关于a 的方程,可求得OA和 CD的长,可求得 OAC 的面积; (3)连接 OC与 l 的交点即为满足条件的点P,可
19、求得 OC的解析式,则可求得P点 坐标; 设出 E点坐标,则可表示出 EOB的面积,过点 E作 x 轴的平行线交直线BC于点 N, 可先求得 BC的解析式,则可表示出EN的长,进一步可表示出 EBC的面积,则可表示 出四边形 OBCE的面积,利用二次函数的性质可求得其最大值,及E点的坐标 【解答】 解: (1)在 y=x 2+ax 中,当 y=0时,x2+ax=0,x 1=0,x2=a, B(a,0) , 在 y=x2+bx 中,当 y=0时, x2+bx=0,x1=0,x2=b, A(0,b) , B为 OA的中点, b=2a, 错误!未找到引用源。 ; (2)联立两抛物线解析式可得错误!未
20、找到引用源。 ,消去 y 整理可得 2x 2+3ax=0,解 得 x1=0,错误!未找到引用源。 , 当错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 过 C作 CD x 轴于点 D,如图 1, 错误!未找到引用源。 , OCA=90 , OCD CAD , 错误!未找到引用源。 , CD 2=AD?OD ,即错误!未找到引用源。 , a1=0(舍去) ,错误!未找到引用源。(舍去) ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ; (3)抛物线 错误!未找到引用源。 , 其对称轴 错误!未找到引用源。 , 点
21、 A 关于 l2的对称点为 O(0,0) ,错误!未找到引用源。 , 则 P为直线 OC与 l2的交点, 设 OC的解析式为 y=kx, 错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。, OC的解析式为 错误!未找到引用源。 , 当错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ; 设错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 , 而错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 设直线 BC的解析式为 y=kx+b, 由错误!未找到引用源。 ,解得 错误!未找到引用源。, 直线 BC的解析式为 错误!未找到引用源。 , 过点 E作 x 轴的平行线交直线BC于
22、点 N,如图 2, 则错误!未找到引用源。 ,即 x=错误!未找到引用源。 , EN= 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 S四边形OBCE=SOBE+SEBC=错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 , 当错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。 , 当错误!未找到引用源。 时,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 【点评】 本题为二次函数的综合应用,涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、轴 对称的性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识在(1)中分别表示 出 A、B 的坐标是解题的关键,在(2)
23、中求得 C点坐标,利用相似三角形的性质求得a 的值是解题的关键,在( 3)中确定出 P点的位置是解题的关键,在(3)中用 E点 坐标分别表示出 OBE和EBC的面积是解题的关键本题考查知识点较多,综合性较 强,计算量较大,难度较大 【专项训练】 一、选择题: 1. (2017 哈尔滨) 抛物线 y=(x+)23 的顶点坐标是() A (,3) B (,3)C (,3)D (,3) 【考点】 H3:二次函数的性质 【分析】 已知抛物线解析式为顶点式,可直接写出顶点坐标 【解答】 解:y=(x+) 23 是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点可知,顶点坐标为(,3) 故选 B 2. 已知二次函数
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 2019 中考 数学 题型 专项 研究 二次 函数 综合 应用
链接地址:https://www.31doc.com/p-4750387.html