2019中考数学题型专项研究第11讲:相似三角形的判定与性质.pdf
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1、2019 年中考数学题型专项研究 第 11 讲相似三角形的判定与性质 1有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等 ) 2用相似三角形解决实际问题 3 证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明 1对应关系判断错误 2忽视分类讨论而出错 3错记相似三角形的面积比而出错 1求证两三角形相似 ,方法有: (1)对应的两个角相等 (经常用到);(2)三组对应边成比 例;(3)两组对应边成比例 ,并且相应的夹角相等;(4)平行于三角形一边的直线和其他 两边 (或两边的延长线)相交 ,所构成的三角形与原三角形相似;(5)对应角相等 ,对应 边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义) 2相似三角形的对
2、应角相等,对应边成比例 ,相似比边长比周长比对应高的比 对应中线的比对应角平分线的比;面积比相似比的平方 3做题时灵活运用相关知识 1有关相似三角形的计算问题:熟悉并掌握相似三角形的性质,在求解过程中能够找 出边或角的对应关系 ,适当的运用方程、转化、分类等数学思想 2用相似三角形解决实际问题:首先将实际问题转化为相似三角形的模型,再判断说 明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解 3证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明:熟悉并掌握相似三角形的判定方 法,注意总结归纳相似三角形的一些基本模型 【典例解析】 【例题 1】(2017 山东泰安)如图,正方形ABCD中,M 为 BC上一点, M
3、EAM,ME 交 AD的延长线于点 E若 AB=12,BM=5,则 DE的长为() A18 B C D 【考点】 S9:相似三角形的判定与性质;KQ :勾股定理; LE :正方形的性质 【分析】先根据题意得出ABMMCG,故可得出 CG的长,再求出 DG 的长,根据 MCG EDG即可得出结论 【解答】解:四边形ABCD是正方形, AB=12 ,BM=5, MC=125=7 MEAM, AME=90 , AMB+CMG=90 AMB+BAM=90 , BAM=CMG,B=C=90 , ABMMCG, =,即=,解得 CG=, DG=12 = AE BC , E=CMG ,EDG= C, MCG
4、 EDG , =,即=,解得 DE= 故选 B 【例题 2】(2017 毕节)如图,在 ?ABCD中 过点 A 作 AE DC,垂足为 E,连接 BE ,F 为 BE上一点,且 AFE= D (1)求证: ABF BEC ; (2)若AD=5,AB=8,sinD=,求AF的长 【考点】 S9:相似三角形的判定与性质;L5:平行四边形的性质; T7:解直角三角形 【分析】 (1)由平行四边形的性质得出ABCD,ADBC ,AD=BC ,得出 D+C=180 , ABF= BEC ,证出 C=AFB ,即可得出结论; (2)由勾股定理求出BE ,由三角函数求出AE,再由相似三角形的性质求出AF的长
5、 【解答】 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形, ABCD,ADBC ,AD=BC , D+C=180 ,ABF= BEC , AFB +AFE=180 , C= AFB, ABF BEC ; (2)解: AEDC,ABDC , AED= BAE=90 , 在 RtABE中,根据勾股定理得: BE=4, 在 RtADE中,AE=AD?sinD=5 =4, BC=AD=5 , 由(1)得: ABF BEC , ,即, 解得: AF=2 ADF DEC , 【例题 3】(2017 湖北江汉)在 RtABC中, ACB=90 ,点 D 与点 B 在 AC同侧, DAC BAC ,且 DA=DC
6、,过点 B作 BE DA交 DC于点 E,M 为 AB的中点,连接 MD, ME (1)如图 1,当 ADC=90 时,线段 MD 与 ME 的数量关系是MD=ME; (2)如图 2,当 ADC=60 时,试探究线段 MD 与 ME 的数量关系,并证明你的结论; (3)如图3,当ADC= 时,求的值 【考点】 SO :相似形综合题 【分析】 (1)先判断出 AMFBME,得出 AF=BE ,MF=ME,进而判断出 EBC= BED ECB=45 =ECB ,得出 CE=BE ,即可得出结论; (2)同( 1)的方法即可; (3)同( 1)的方法判断出 AF=BE ,MF=ME,再判断出 ECB
7、= EBC ,得出 CE=BE 即可 得出 MDE=,即可得出结论 【解答】解:(1)如图 1,延长 EM 交 AD于 F, BE DA, FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME, AMFBME, AF=BE ,MF=ME, DA=DC ,ADC=90 , BED= ADC=90 ,ACD=45 , ACB=90 , ECB=45 , EBC= BED ECB=45 =ECB , CE=BE, AF=CE , DA=DC , DF=DE , DMEF ,DM 平分ADC , MDE=45 , MD=ME, 故答案为 MD=ME; (2)MD=ME,理由: 如图 2,延长 EM 交 AD于
8、 F, BE DA, FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME, AMFBME, AF=BE ,MF=ME, DA=DC ,ADC=60 , BED= ADC=60 ,ACD=60 , ACB=90 , ECB=30 , EBC= BED ECB=30 =ECB , CE=BE , AF=CE , DA=DC , DF=DE , DMEF ,DM 平分ADC , MDE=30 , 在 RtMDE中,tanMDE=, MD=ME (3)如图 3,延长 EM 交 AD于 F, BE DA, FAM=EBM, AM=BM,AMF=BME, AMFBME, AF=BE ,MF=ME, 延长 BE交
9、 AC于点 N, BNC= DAC , DA=DC , DCA= DAC , BNC= DCA , ACB=90 , ECB= EBC , CE=BE , AF=CE , DF=DE , DMEF ,DM 平分ADC , ADC= , MDE=, 在 RtMDE中,=tanMDE=tan 【例题 4】(1)阅读理解:如图,在四边形ABCD中,ABDC ,E是 BC的中点,若 AE是BAD的平分线,试判断AB,AD,DC之间的等量关系 解决此问题可以用如下方法:延长AE交 DC的延长线于点 F,易证 AEB FEC ,得到 AB=FC ,从而把 AB,AD,DC转化在一个三角形中即可判断 AB、
10、AD、DC之间的等量关系为AD=AB +DC; (2)问题探究:如图,在四边形ABCD中,ABDC ,AF与 DC的延长线交于点 F,E 是 BC的中点,若 AE是BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,并证明 你的结论 (3)问题解决:如图, ABCF ,AE与 BC交于点 E,BE:EC=2 :3,点 D 在线段 AE 上,且 EDF= BAE ,试判断 AB、DF、CF之间的数量关系,并证明你的结论 【考点】 SO :相似形综合题 【分析】 (1)延长 AE交 DC的延长线于点 F,证明 AEB FEC ,根据全等三角形的性 质得到 AB=FC ,根据等腰三角形的判定得到D
11、F=AD ,证明结论; (2)延长 AE交 DF的延长线于点 G,利用同( 1)相同的方法证明; (3)延长 AE交 CF的延长线于点 G,根据相似三角形的判定定理得到AEB GEC , 根据相似三角形的性质得到AB= CG ,计算即可 【解答】解:(1)如图,延长 AE交 DC的延长线于点 F, ABDC, BAF= F, E是 BC的中点, CE=BE , 在AEB和FEC中, , AEB FEC , AB=FC , AE是BAD的平分线, DAF= BAF , DAF= F, DF=AD , AD=DC +CF=DC +AB, 故答案为: AD=AB +DC; (2)AB=AF +CF
12、, 证明:如图,延长AE交 DF的延长线于点 G, E是 BC的中点, CE=BE , ABDC, BAE= G, 在AEB和GEC中, , AEB GEC , AB=GC , AE是BAF的平分线, BAG= FAG , ABCD, BAG= G, FAG= G, FA=FG , AB=CG=AF +CF ; (3)AB= (CF +DF) , 证明:如图,延长AE交 CF的延长线于点 G, ABCF , AEB GEC , = ,即 AB= CG , ABCF , A=G, EDF= BAE , FDG= G, FD=FG , AB= CG= (CF +DF) 【专项训练】 一、选择题:
13、1. 如图,把 ABC沿着 BC的方向平移到 DEF的位置,它们重叠部分的面积是ABC 面积的一半,若 BC=,则 ABC移动的距离是( ) ABCD 【分析】移动的距离可以视为BE或 CF的长度,根据题意可知 ABC与阴影部分为相似 三角形,且面积比为2:1,所以 EC :BC=1 :,推出 EC的长,利用线段的差求BE的 长 【解答】解: ABC沿 BC边平移到 DEF的位置, ABDE, ABC HEC , =( ) 2= , EC :BC=1 :, BC=, EC=, BE=BC EC= 故选: D 【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平移的性质,关键在于证ABC与阴 影部分为
14、相似三角形 2. (2017 哈尔滨) 如图,在 ABC中,D、E 分别为 AB、AC边上的点, DE BC ,点 F 为BC边上一点,连接 AF交DE于点G,则下列结论中一定正确的是( ) A=B=C=D= 【考点】 S9:相似三角形的判定与性质 【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案 【解答】解:(A)DEBC , ADE ABC , ,故 A 错误; (B)DE BC , ,故 B错误; (C )DE BC , ,故 C正确; (D) )DE BC , AGE AFC , =,故 D 错误; 故选( C) 3. (2017 山东临沂) 已知 ABCD ,AD 与 BC相交于点 O
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- 2019 中考 数学 题型 专项 研究 11 相似 三角形 判定 性质
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