2019届中考数学总复习:阅读理解型问题.pdf
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1、第 1 页 共 24 页 2019 届高考数学总复习:阅读理解型问题 【中考展望】 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”,应该特别引起我们的重视. 它由两部分 组成:一是阅读材料;二是考查内容它要求学生根据阅读获取的信息回答问题提供的阅读材料主要 包括:一个新的数学概念的形成和应用过程,或一个新的数学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料 等考查内容既有考查基础的,又有考查自学能力和探索能力等综合素质的这类问题一般文字叙述较 长,信息量较大,内容丰富,超越常规,源于课本,又高于课本,各种关系错综复杂,不仅能考查同学 们阅读题中文字获取信息的能力,还能考查同学们获取信息后的抽象概括能
2、力、建模能力、决策判断能 力等 .同时,更能够综合考查同学们的数学意识和数学综合应用能力. 【方法点拨】 题型特点:先给出一段材料,让学生理解,再设立新的数学概念,新概念的解答可以借鉴前面材料 的结论或思想方法 解题策略:从给的材料入手,通过理解分析本材料的内容,捕捉已知材料的信息,灵活应用这些信 息解决新材料的问题 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、 结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后依题意进行分析、比较、综合、抽象 和概括,或用归纳、演绎、类比等进行计算或推理论证,并能准确地运用数学语言阐述自己的思想、方 法、观点
3、展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题. 阅读理解题一般可分为如下几种类型: (1)方法模拟型通过阅读理解,模拟提供材料中所述的过程方法,去解决类似的相关问题; (2)判断推理型通过阅读理解,对提供的材料进行归纳概括;按照对材料本质的理解进行推理, 作出解答; (3)迁移发展型从提供的材料中,通过阅读,理解其采用的思想方法,将其概括抽象成数学模 型去解决类同或更高层次的另一个相关命题 【典型例题】 类型一、阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题 1阅读材料: 例:说明代数式 22 1(3)4xx的几何意义,并求它的最小值 解: 22 1(3)4xx=
4、222 (0)1(3)2xx, 如图,建立平面直角坐标系,点P (x,0)是 x 轴上一点, 第 2 页 共 24 页 则 2 (0)1x 可以看成点P与点 A(0,1)的距离, 22 (3)2x 可以看成点P与点 B(3,2)的距 离,所以原代数式的值可以看成线段PA与 PB长度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值 设点 A 关于 x 轴的对称点为A,则 PA= PA ,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA +PB 的最小值, 而点 A、B间的直线段距离最短,所以 PA +PB的最小值为线段AB 的长度 为此,构造直角 ACB , 因为 AC=3 , CB=3 ,所以 AB=32,即原式
5、的最小值为32 根据以上阅读材料,解答下列问题: (1)代数式 22 (1)1(2)9xx的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点 A(1,1) 、 点 B 的距离之和 (填写点B的坐标) (2)代数式 22 491237xxx的最小值为 【思路点拨】 (1)先把原式化为 222 (1)1(2)3xx的形式,再根据题中所给的例子即可得出结论; (2)先把原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式,故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐 标系中点P(x,0)与点A(0,7) 、点 B(6,1)的距离之和,然后在坐标系内描出各点,利用勾股定 理得出结论即可 【答案与解析】 解: (1)原式
6、化为 222 (1)1(2)3xx的形式, 代数式 222 (1)1(2)3xx的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点 A(1,1) 、点 B(2,3)的距离之和, 故答案为( 2,3) ; (2)原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式, 所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P(x,0)与点 A(0,7) 、点 B(6,1)的距离之和, 如图所示:设点A关于 x 轴的对称点为A,则 PA=PA , PA+PB的最小值,只需求PA +PB的最小值,而点A、 B间的直线段距离最短, PA +PB 的最小值为线段AB 的长度, A( 0,7) ,B(6, 1) A( 0,-7 )
7、,AC=6 , BC=8, AB= 2222 68A CBC=10, 第 3 页 共 24 页 故答案为: 10 【总结升华】 本题考查的是轴对称最短路线问题,解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形,再利 用数形结合求解 类型二、阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法 2阅读材料: (1)对于任意两个数a、b 的大小比较,有下面的方法: 当 a-b 0 时,一定有ab; 当 a-b=0 时,一定有a=b; 当 a-b 0 时,一定有ab 反过来也成立因此,我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法” (2)对于比较两个正数a、b 的大小时,我们还可以用它们的平方进行比较: a 2-b2=
8、( a+b) (a-b ) ,a+b0, ( a 2-b2)与( a-b )的符号相同 . 当 a 2-b20 时, a-b 0,得 ab; 当 a 2-b2=0 时, a-b=0 ,得 a=b; 当 a 2-b20 时, a-b 0,得 ab. 解决下列实际问题: (1)课堂上,老师让同学们制作几种几何体,张丽同学用了3 张 A4纸, 7 张 B5纸;李明同学用了2 张 A4 纸,8 张 B5 纸设每张A4纸的面积为x,每张 B5 纸的面积为y,且 x y,张丽同学的用纸总面积为 W1,李明同学的用纸总面积为W2回答下列问题: W1= (用 x、y 的式子表示) ; W2= (用 x、y 的
9、式子表示) ; 请你分析谁用的纸面积更大 (2)如图 1 所示,要在燃气管道l 上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,已知A、B 到 l 的距离分 别是 3km 、 4km (即 AC=3km , BE=4km ) ,AB=xkm ,现设计两种方案: 方案一:如图2 所示, AP l 于点 P,泵站修建在点P处,该方案中管道长度a1=AB+AP 方案二:如图3 所示,点A与点A关于 l 对称, AB 与 l 相交于点P,泵站修建在点P处,该方案中 管道长度a2=AP+BP 在方案一中,a1= km(用含 x 的式子表示) ; 在方案二中,a2= km(用含 x 的式子表示) ; 请你分析要使铺
10、设的输气管道较短,应选择方案一还是方案二 【思路点拨】 第 4 页 共 24 页 (1)根据题意得出3x+7y 和 2x+8y,即得出答案;求出W1-W2=x-y ,根据 x 和 y 的大小比较即可; (2)把 AB和 AP的值代入即可;过B作 BM AC于 M ,求出 AM ,根据勾股定理求出BM 再根据勾股 定理求出BA ,即可得出答案; 求出 a1 2-a 2 2=6x-39 ,分别求出 6x-39 0,6x-39=0 ,6x-39 0,即可得出答案 【答案与解析】 (1)解:W 1=3x+7y,W2=2x+8y, 故答案为: 3x+7y,2x+8y 解: W1-W2=(3x+7y)-
11、(2x+8y)=x-y , x y, x -y 0, W1-W2 0, 得 W1W2, 所以张丽同学用纸的总面积更大 (2)解: a1=AB+AP=x+3 , 故答案为: x+3 解:过B作 BM AC于 M , 则 AM=4-3=1 , 在ABM中,由勾股定理得:BM 2=AB2-12=x2-1 , 在AMB中,由勾股定理得: AP+BP=A B= 222 48A MBMx, 故答案为: 2 48x 解: a1 2-a 2 2=(x+3)2- ( 2 48x) 2=x2+6x+9- (x2+48) =6x-39 , 当 a1 2-a 2 20(即 a 1-a20,a1a2)时, 6x-39
12、0,解得 x6.5 , 当 a1 2-a 2 2=0(即 a 1-a2=0, a1=a2)时, 6x-39=0 ,解得 x=6.5 , 当 a1 2-a 2 20(即 a 1-a20,a1a2)时, 6x-39 0,解得 x6.5 , 综上所述, 当 x6.5 时,选择方案二,输气管道较短, 当 x=6.5 时,两种方案一样, 当 0x6.5 时,选择方案一,输气管道较短 【总结升华】 第 5 页 共 24 页 本题考查了勾股定理,轴对称最短路线问题,整式的运算等知识点的应用,通过做此题培养了 学生的计算能力和阅读能力,题目具有一定的代表性,是一道比较好的题目 举一反三: 【变式 】如图所示,
13、 正方形 ABCD 和正方形EFGH 的边长分别为2 2和2,对角线 BD 、FH都在直线l上, O1、O2分别是正方形的中心,线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距当中心O在直线l上平移时,正 方形 EFGH也随之平移,在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变 (1)计算: O1D=_,O2F=_; (2)当中心O2在直线l上平移到两个正方形只有一个公共点时,中心距O1 O2 =_. (3)随着中心 O2在直线l上的平移,两个正方形的公共点的个数还有哪些变化?并求出相对应的中心 距的值或取值范围 (不必写出计算过程) 【答案】 (1)O1D=2,O2F=1; (2)O1 O2 =3 ;
14、(3)当 O1 O23 或 0O1 O21 时,两个正方形无公共点; 当 O1 O2=1 时,两个正方形有无数个公共点; 当 1O1 O23 时,两个正方形有2 个公共点 类型三、阅读相关信息,通过归纳探索,发现规律,得出结论 3 (2016?无锡一模) 已知: 如图正方形ABCD 中,点 E、F 分别是边AB和 BC上的点, 且满足 BE=CF (1)不用圆规, 请只用不带刻度的直尺作图:在边 CD和 DA上分别作出点G和点 H,使 DG=AH=BE=CF(保 留作图痕迹,不要求写作法) (2)在( 1)的条件下,当点E在 AB边上的何处时,能使S四边形 EFGH:S 四边形 ABCD=5:
15、8,并说明理由 (3)如图:正六边形ABCDEF中,点A、B、C、D、E、F分别是边AB 、 BC 、CD 、DE 、EF、 FA上的点,且AA =BB =CC =DD =EE =FF 设 AA :AB=1 : 3,则 S六边形 ABC D EF :S六边形 ABCDEF= ; 第 6 页 共 24 页 设 AA :AB=k,求S六边形 ABC D EF :S六边形 ABCDEF 的值(用含k 的代数式表示) 【思路点拨】 (1)根据正方形是中心对称图形作图即可; (2)设 BE=CF=x ,根据勾股定理表示出EF ,根据相似多边形的性质列出比例式,计算即可; (3)作 BH AB交 AB的延
16、长线于H,设 AA =a,根据题意表示出AB,利用三角函数的定义表示 出 BH 和 BH ,根据勾股定理求出AB,根据相似多边形的性质计算即可; 设 AA =k,利用的思路进行解答即可 【答案与解析】 解: (1)如图 1 所示: DG=AH=BE=CF; (2)设 BE=CF=x , BC=y ,则 BF=yx, 由勾股定理得,EF 2=BE2+BF2=x2+(yx)2=2x22xy+y2, S四边形 EFGH:S 四边形 ABCD=5:8, ( 2x 22xy+y2) : (y2)=5:8, 则 2() 22 +=0, 解得,=,=, 当 BE=AB或 BE= AB时, S四边形 EFGH
17、:S 四边形 ABCD=5:8; (3)如图3,作 BH AB交 AB的延长线于H, 设 AA =a,则 AB=3a , AB=4a ,BB=a , 六边形ABCDEF 为正六边形, ABC=120 , BBH=60 , BH= a,BH=a, AB=a, 第 7 页 共 24 页 =, S六边形 ABC D EF :S六边形 ABCDEF=13:16, 故答案为: 13:16; AA :AB=k, 设 AA =k,则 AB=1 , 则 BH= k,BH=k, AB=,AB=1+k , S六边形 ABC D EF :S六边形 ABCDEF=( ) 2= 【总结升华】 本题考查的是正方形和正六边
18、形的性质以及全等三角形的判定和性质,掌握正方形是中心对称图形、正 确求出正六边形的内角的度数、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键 举一反三: 【变式 】 (2015 秋?邹城市期中)阅读材料 大数学家高新在上学时,曾经研究过这样一个问题:1+2+3+4+5+ +100= ?经过研究,这个问题的一般 性结论是: 1+2+3+4+5+ +n=n(n+1) ,其中 n 是正整数现在我们来研究一个类似的问题: 1 2+2 3+3 4+4 5 +n(n+1)=? 观察下面三个特殊的等式: 1 2= 2 3 如果将这三个等式的两边相加,你会有怎样的发现呢? 解决问题 要求:直接在横线上写出结果(式子或数值
19、),不必写过程 (1)将材料中的三个特殊的等式两边相加,可以得到: 1 2+2 3+3 4=; (2)探究并计算: 1 2+2 3+3 4+4 5+ +20 21= ; 1 2+2 3+3 4+4 5+ +n(n+1)=. 【答案】 解: (1)三式相加得:1 2+2 3+3 4=(1 2 30 1 2+2 3 41 2 3+3 4 52 3 4)= 3 4 5; (2)归纳总结得:原式= 20 21 22;原式 =n(n+1) (n+2) 第 8 页 共 24 页 故答案为:( 1) 3 4 5; (2) 20 21 22;n(n+1) (n+2) 类型四、阅读试题信息,借助已有数学思想方法
20、解决新问题 4已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD BC ,B=90 , AD=2 ,BC=6 , AB=3 E为 BC边上一点, 以 BE为边作正方形BEFG ,使正方形BEFG和梯形 ABCD 在 BC的同侧 (1)当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时,求BE的长; (2)将( 1)问中的正方形BEFG沿 BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形BEFG ,当点E与 点 C重合时停止平移 设平移的距离为t ,正方形 BEFG的边 EF与 AC交于点 M ,连接 BD,BM ,DM , 是否存在这样的t ,使 BDM是直角三角形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由; (3
21、)在( 2)问的平移过程中,设正方形BEFG与ADC重叠部分的面积为S ,请直接写出S与 t 之间 的函数关系式以及自变量t 的取值范围 【思路点拨】 (1)首先设正方形BEFG的边长为x,易得 AGF ABC ,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得 BE的长; (2)首先利用 MEC ABC 与勾股定理,求得BM ,DM与 BD 的平方,然后分别从若DB M=90 , 则 DM 2=BM2+BD2,若DB M=90 , 则 DM2=BM2+BD2,若BDM=90 , 则 BM2=BD2+DM2 去分析, 即可得到方程,解方程即可求得答案; (3)分别从当0t 4 3 时,当 4 3 t 2
22、 时,当 2t 10 3 时,当 10 3 t 4 时去分析求解即可求得答 案 【答案与解析】 解: (1)如图, 设正方形BEFG的边长为x, 则 BE=FG=BG=x, 第 9 页 共 24 页 AB=3 , BC=6 , AG=AB -BG=3-x, GF BE , AGF ABC , AGGF ABBC , 即 3 36 xx , 解得: x=2, 即 BE=2. (2)存在满足条件的t , 理由:如图,过点D作 DH BC于 H, 则 BH=AD=2 ,DH=AB=3 , 由题意得: BB =HE=t,HB =|t-2| ,EC=4-t , EF AB , MEC ABC , MEE
23、C ABBC ,即 4 36 MEt , ME=2 - 1 2 t , 在 RtBME中,B M 2=ME2+BE2=22+(2-1 2 t ) 2=1 4 t 2 -2t+8 , 在 RtDHB 中, BD 2=DH2+BH2=32+(t-2 )2=t2-4t+13 , 过点 M作 MN DH于 N, 则 MN=HE=t ,NH=ME=2- 1 2 t , DN=DH -NH=3-(2- 1 2 t )= 1 2 t+1 , 在 RtDMN 中, DM 2=DN2+MN2=5 4 t 2+t+1 , ()若 DB M=90 ,则DM 2=BM2+BD2, 即 5 4 t 2+t+1= (1
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- 2019 中考 数学 复习 阅读 理解 问题
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