2018年高考数学总复习三角函数.pdf
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1、第 1 页 共 21 页 第四章三角函数 本章知识结构图 第一节三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式 考纲解读 1. 了解任意角弧度制的概念,能正确进行弧度与角度的互化. 2. 理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)定义. 3. 能利用单位圆中的三角函数线推导出, 2 的正弦、余弦、正切的诱导 公式 ,会用三角函数线解决相关问题. 4. 熟练运用同角三角函数函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值 和简单恒等式的证明 . 命题趋势探究 角的概念 任意角的三角函数的定义 三角函数 弧度制弧长公式、扇形面积公式 三角函数线 同角三角函数的关系 诱导公式 和角、差角公式 二倍角公式 公式
2、的变形、逆用、 “1”的替换 化简、求值、证明(恒等变形) 三角函数 的 图 象 定义域 奇偶性 单调性 周期性 最值 对称轴(正切函数除外) 经过函数图象的最高(或 低)点且垂直x 轴的直线, 对称中心是正余弦函数图 象的零点,正切函数的对 称中心为 (k 2 ,0)(kZ). 正弦函数 ysin x = 余弦函数 ycos x 正切函数 ytan x yAsin( x )b 图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到, 但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同; 图象也可以用五点作图法;用整体代换求单调区间(注意的符号); 最小正周期T 2 | | ;对称轴x(2k1) 2 2 ,对称中心为 (k
3、,b)(kZ). 值域图象 对称性 解三角形 余弦定理 面积 正弦定理 仰角、俯角、方位角 实际应用 S 1 2ah 1 2absinC p(pa)(pb)(pc)(其中 pabc 2 ) 解的个数的讨论 三角形形状的判定 第 2 页 共 21 页 1.一般以选择题或填空题的形式进行考查. 2.角的概念考查多结合函数的基础知识. 3.利用同角三角函数关系式和诱导公式进行三角函数式的化简、求值是重要考点 . 知识点精讲 一、基本概念 (1)任意角 - - - 正角逆时针旋转而成的角; 负角顺时针旋转而成的角; 零角射线没旋转而成的角. 角(弧度)(,). (2)角的始边与x轴的非负半轴重合,终边
4、落在第几象限,就叫做第几象 限角,终边在坐标轴上的角不是象限角,称之坐标角(或象限界角、轴线角等) (3)弧度制度:半径为r的圆心角所对弧长为 l,则 l r (弧度或 rad). (4)与角(弧度)终边相同的角的集合为2,kkZ,其意义在于 的终边逆时针旋转整数圈,终边位置不变. 注:弧度或 rad可省略 (5)两制互化:一周角 = 0 360 2 2 r r (弧度) ,即 0 180. 1(弧度) 0 00 180 57.357 18 故在进行两制互化时,只需记忆 0 180, 0 1 180 两个换算单位即可:如: 0055 180150 66 ; 0 3636 1805 . (6)弧
5、长公式:lr (0,2), 扇形面积公式: 211 22 Slrr. 注:关于扇形面积公式的记忆,可以采用类似三角形面积公式的方法,把扇形的 弧长类比成三角形的底,半径类比成三角形的高,则有 11 = 22 Slr底 高,如图 4-1 所示. 二、任意角的三角函数 1.定义 已 知角终 边上 的任 一点( , )P x y( 非 原点O) ,则P 到原 点 O 的距 离 l rr 图 4-1 第 3 页 共 21 页 22 0rOPxy.sin,cos,tan yxy rrx . 此定义是解直三角形内锐角三角函数的推广.类比,对y,邻x,斜r, 如图 4-2 所示. 2.单位圆中的三角函数线
6、以为第二象限角为例 .角的终边交单位圆于P,PM 垂直x轴于 M,的终 边或其反向延长线交单位圆切线AT 于 T,如图 4-3 所示,由于取为第二象限 角,sin=MP0, cos=OM0 2 , 减 O 减 O 增 O 增 O y x O + + 0 1 0 -1 (a) O 减 O 减 O 增 O 增 O y x O + + 1 0 -1 0 (b) O 增 O 增 O 增 O 增 O y x O + + 0 0 (c) O图 4-4 第 5 页 共 21 页 即sin+=cos 2 , (2) sin+,因为 3 + 2 ,所以 sin+0 ,即 sin+=-cos, 简而言之即 “ 奇
7、变偶不变,符号看象限”. 题型归纳及思路提示 题型 53 终边相同的角的集合的表示与区别 思路提示 (1) 终边相同的角的集合的表示与识别可用列举归纳法和双向等差数列的方 法解决 . (2) 注意正角、 第一象限角和锐角的联系与区别,正角可以是任一象限角, 也 可以是坐标轴角; 锐角是正角, 也是第一象限角, 第一象限角不包含坐标 轴角. 例 4.1 终边落在坐标轴上的角的集合为() A. ,kkZ B. , 2 k kZ C. , 2 kkZ D. , 2 k kN 分析 表示终边相同的角的集合,必有 kZ,而不是kN. 解析 解法 一:排除法. 终边在坐标轴上的角有4 种可能,x轴正、负半
8、轴,y轴正、负半轴,取 1,2,3,4,k可知只有选项 B 占有 4 条半轴,故选 B. 解法二 ;推演法 . 终边在坐标轴上的角的集合为 3113 “, 2,0,2 ,“, 2222 可以 看作双向等差数列,公差为 2 ,取初始角 0,故0() 2 k kZ, 故0() 2 k kZ , 2 k kZ 故选 B. 评注 终边在x轴的角的集合,公差为,取初始角 0 ,kkZ; 终边在y轴的角的集合,公差为,取初始角 2 , 2 kkZ. 第 6 页 共 21 页 例 4.2 请表示终边落在图4-5 中阴影部分的角的集合 . 分析 本题是关于区域角的表示问题, 需要借助终边相同角的集合表示知识求
9、解, 只需要把握区域角初始角的范围和终边相同角的集合的公差的大小即可顺利求 解. 解析 (1)如图 4-5(a)所示阴影部分的角的集合表示为 22, 63 kkkN; ( 2 ) 如 图4-5 ( b ) 所 示 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 表 示 为 2 22, 63 kkkN; ( 3 ) 如 图4-5 ( c ) 所 示 阴 影 部 分 的 角 的 集 合 表 示 为 211 22, 36 kkkN ; (4) 如图 4-5 (d) 所示阴影部分的角的集合表示为, 63 kkkN. 评注 任一角与其终边相同的角,都可以表示成与整数个周角的和,正确理 解终边相同的角的集合中元素组成
10、等差数列,公差为 2 ,即集合的周期概念, 是解决本题的关键 . 变式 1 设集合 M x x k 2 180 45 ,kZ , N x xk 4 180 45 ,kZ , 那么() AM? NB N? M CMNDM N? 例 4.3 下列命题中正确的是() A. 第一象限角是锐角 B. 第二象限角是钝角 C.0,,是第一、二象限角 4 3 7 6 3 6 O y x (a) 2 3 6 O y x (b) 2 3 6 O y x (c) 3 6 O y x (d) 图 4-5 第 7 页 共 21 页 D.,0 2 ,是第四象限角,也叫负锐角 解析 第一象限角的集合为022, 2 kkkZ
11、,锐角的集合是是其 真子集(即当0k时)故选项 A 错;同理选项 B 错;选项 C 中(0,) 2 ,但 2 不是象限角,选项C 也错,故选 D. 题型 54 等分角的象限问题 思路提示 先从的范围出发,利用不等式性质,具体有: (1)双向等差数列法;(2) n 的象限分布图示 . 例 4.4 是第二象限角, 2 是第象限角 解析 解法一:与终边相同的角的集合公差为 2 ,该集合中每个月的一半组成 的集合公差为,取第二象限的一个初始集合, 2 ,得 2 的初始集合, 4 2 , 对比集合以公差旋转得 2 的分布,如图 4-6 所示,得 2 是第一、三象限角 . 解法二:如图 4-7 所示,是第
12、二象限角, 2 是第一、三象限角,又若是第四 象限角, 2 是第二、四象限角 . 解法三 :取= 0 120, 0000 12036060 ,240 2 ,即 2 是第一、三象限角 . 评注对于 2 是第几象限角的问题,做选填题以记住图示最为便捷,解法三是 一种只要答案的特值方法;解法一能准确找出 2 的分布 . 对于 3 是第几象限角可使用象限分布图示的规律,如图4-8 所示,那么对于 “ n 是第几象限角 ” 的象限分布图示规律是什么?只需要把第一个象限平均分成n部 3 2 2 4 O y x 5 4 图 4-6 2 3 1 4 x 4 1 3 2 y 图 4-7 O 第 8 页 共 21
13、 页 分,并从x轴正向起,逆时针依次标注1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4, 则数字(终边所在象限)所在象限即为 n 终边所在象限 . 例如: 3 的象限分布图示如图4-8 所示,若为第一象限角,则 3 为第一、二、 三象限角 . 变式 1 若是第二象限角,则 3 是第象限角;若是第二象限角, 则 3 的取值范围是 题型 55 弧长与扇形面积公式的计算 思路提示 (1) 熟记弧长公式:l| |r, 扇形面积公式:S扇形 1 2lr 1 2| |r 2 (弧度制(0,2) (2) 掌握简单三角形,特别是直角三角形的解法 例 4.5 有一周长为 4 的扇形,求该扇形面积的最大值和相应圆
14、心角的大小. 解析:设扇形的半径为r,弧长为 l,圆心角为 (弧度) ,扇形面积 S. 依题意 0 0 24 r l rl , 1 2 Slr,则 1 2 Slr 11 (42 )(42 )2 24 r rrr 2 1 422 ()1 42 rr , (当且仅当422rr时,即1r时取“=”,此时2l)故 扇形的面积最大值为1,此时 l r =2(弧度) . 评注本题亦可解作 2 1112 21 2442 lr Slrlr , 当且仅当22lr, 即2l, 1r时“=”成立,此时 l r =2.本题可改为扇形面积为1,求周长的最小值, 22 2Clrlr ,且 1 1 2 lr得2lr,故4C
15、(当且仅当22lr时“=”成立) , 扇形周长的最小值为4. 第 9 页 共 21 页 变式 1 扇形 OAB 的圆心角OAB=1(弧度) ,则 AB =() A. 1 sin 2 B. 6 C. 1 1 sin 2 D. 2 1 sin 2 变式 2 扇形 OAB,其圆心角OAB= 0 120,其面积与其内切圆面积之比为 题型 56 三角函数定义题 思路提示 (1) 任意角的正弦、余弦、正切的定义; (2) 诱导公式; (3) 理解并掌握同角三角函数基本关系. 例 4.6 角终边上一点(2sin5,2cos5)P,(0,2),则=( ) A. 5 2 B. 35C. 5 D.5+ 2 解析解
16、法一: 排队法 . 00 5557.3286.5,是第四象限角,2sin 50x, 2cos50y, 22 2rxy,是第三象限角 . 选项 C 中,5 是第四象限角,选项D 中,5+ 2 是第一象限角,故排除C、D;选 项 B 中, coscos 35cos5,与cossin5 x r 矛盾,排除 B,故选 A. 解法二: 推演法 .由解法一, 3 5, 2 ,,(0,) 2 (这样设的 原因是cossin5) ,c o sc o s ()=cos, 3 sin5sin()cos 2 coscoscoscos,,(0,) 2 3 5 2 , 3 55 22 故选 A. 变式 1 已知角终边上
17、一点(2sin 2, 2cos 2)P,(0,2),则=( ) A.2 B.-2 C.2 2 D. 2 2 变式 2 已知角终边上一点 22 ( 2sin,2cos) 77 P,则= 变式 3 已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边在直线 2yx上,则cos2=( ) 第 10 页 共 21 页 A. 4 5 B. 3 5 C. 3 5 D. 4 5 题型 57 三角函数线及其应用 思路提示 正确作出单位圆中正弦、余弦、正切的三角函数线 一,利用三角函数线证明三角公式 例 4.7 证明 (1) sin-=sin , (2)sin-=cos 2 (3) 31 tan=- 2tan
18、 解 析( 1 ) 如 图4-9所 示 , 角-与的 终 边 关 于 y 轴 对 称 , M PM Ps i n-= s i n. (2)如图 4-10所示,角- 2 与的终边关于直线yx对称. OMM Psin-=cos 2 (3) 如图 4-11 所示, . 2 311 tan=k=- 2tantan OT 评注 用单位圆中的三角函数线证明诱导公式是新课标的要求,必须掌握,重点 在, 2 . 在(1)证明中易得 cos-=-cos , ,相除得 tan-=-tan , ,在(2)证明 中 第 11 页 共 21 页 易得cos-=sin 2 , 相除得 1 tan= 2tan .角与-的终
19、边关于终边(即 y轴)对称,角- 2 与的终边关于终边所在的直线yx轴对称 .一般地,角 ,的终边关于终边所在直线 2 轴对称 二.利用三角函数线比较大小 例 4.8 , 42 ,比较sin,cos,tan的大小 . 解析 如图 4-12 所示,, 42 , 在单位圆中作出的正弦线 MP, 余弦线 OM 和正切线 AT,显然有 OMMPAT,故cos sintan . 评注 由本例可看出,三角函数线可直观、形象地处理三角函数中的大小比较问 题 变式 1 求证: (1)当角的终边靠近y轴时, cossin及 tan1; (2)当角的终边靠近x轴时, cossin及 tan1; 变式 2 (1)为
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