2018年高考数学总复习抛物线及其性质.pdf
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1、第三节抛物线及其性质 考纲解读 掌握抛物线的定义、标准方程、几何图形和及其简单几何性质. 命题趋势探究 抛物线是圆锥曲线的重要内容,高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线及其几何性质, 题形上, 选择、填空、解答题都有可能出现,以考查学生的运算、数形结合和分析能力为主. 预测 2019 年高考主要考查抛物线标准方程和性质的应用,焦点弦是重点考查的内容. 知识点精讲 一、抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线)(lFl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点 F叫抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线. 注 若在定义中有lF,则动点的轨迹为l的垂线,垂足为点F. 二、抛物线的方程、图形及性质 抛
2、物线的标准方程有4 种形式: )0(2,2,2,2 2222 ppyxpyxpxypxy, 其中一次项与对称轴一致,一次项系数的符号决定开口方向(如表10-3 所示) 表 10-3 标准 方程 )0(2 2 ppxy)0(2 2 ppxy)0(2 2 ppyx)0(2 2 ppyx 图形 对称 轴 x轴 y轴 顶点 原点)0 ,0( 焦点 坐标 )0, 2 ( p )0, 2 ( p ) 2 ,0( p ) 2 ,0( p 准线 方程2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 三、抛物线中常用的结论 1. 点),( 00 yxP与抛物线)0(2 2 ppxy的关系 (1)P在抛物线内(含焦
3、点) 0 2 0 2pxy. (2)P在抛物线上 0 2 0 2pxy. (3)P在抛物线外 0 2 0 2pxy. y x O F l y x O F l y x O F l F y x O l 2. 焦半径 抛物线上的点),( 00 yxP与焦点F的距离称为焦半径,若)0(2 2 ppxy,则焦半径 2 0 p xPF , 2 max p PF . 3. )0( pp的几何意义 p为焦点F到准线l的距离,即焦准距,p越大,抛物线开口越大. 4. 焦点弦 若AB为抛物线 )0(2 2 ppxy的焦点弦,),( 11 yxA,),( 22 yxB,则有以下结论: (1) 4 2 21 p xx
4、. (2) 2 21 pyy. (3)焦点弦长公式1:pxxAB 21 ,pxxxx 2121 2,当 21 xx时, 焦点弦取最小值p2,即所有焦点弦中通径最短,其长度为p2. 焦点弦长公式2: 2 sin 2p AB(为直线AB与对称轴的夹角). (4)AOB的面积公式: sin2 2 p S AOB (为直线 AB与对称轴的夹角) . 5.抛物线的弦 若 AB 为抛物线 2 2(p0)ypx的任意一条弦, 1122 (x ,y ),B(x ,y )A,弦的中点为 000 (x ,y )(y0)M,则 (1)弦长公式: 2 12122 1 11(kk0) AB ABkxxyy k (2)
5、0 AB p k y (3)直线 AB 的方程为 00 0 (xx ) p yy y (4)线段 AB 的垂直平分线方程为 0 00 (xx ) y yy p 6求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法( 4 A 法) (1) 2 (A0),yAx焦点为(,0) 4 A ,准线为 4 A x (2) 2 (A0),xAy焦点为(0,) 4 A ,准线为 4 A y 如 2 4yx,即 2 4 y x,焦点为 1 (0,) 16 ,准线方程为 1 16 y 7参数方程 2 2( p0 )yp x的参数方程为 2 2 2 xpt ypt (参数tR) 8切线方程和切点弦方程 抛物线 2 2(p0)y
6、px的切线方程为 0000 (xx ),(x ,y )y yp为切点 切点弦方程为 00 (xx ),y yp点 00 (x ,y )在抛物线外 与中点弦平行的直线为 00 (xx ),y yp此直线与抛物线相离,点 00 (x ,y )(含焦点) 是弦 AB 的中点,中点弦AB 的斜率与这条直线的斜率相等,用点差法也可以得到同样的结 果。 题型归纳及思路提示 题型 143;抛物线的定义与方程 思路提示 求抛物线的标准方程的步骤为: (1) 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置: (2) 根据题目条件列出P的方程 (3) 解方程求出P,即得标准方程 10 23例已知抛物线 2
7、 2(p0)ypx的准线与圆 22 670xyx相切 ,求的值为 () A 1 2 B1C 2 D4 解析;抛物线的准线为 2 p x,圆 22 670xyx的标准方程为 22 (x3)16y, 由 2 p x与圆相切,知3()4 2 p ,解得2p,故选 C 评注准线是抛物线的重要性质,要熟记准线方程。 变式 1设抛物线的顶点在原点,准线方程为2x,则抛物线的方程是() A 2 8yxB 2 8yxC 2 4yxD 2 4yx 变式 2 设 00 (x ,y )M为抛物线 2 :8C xy上一点,F为抛物线C的焦点, 以F为圆心, FM为半径的圆和抛物线C的准线相交,则 0 y的取值范围是(
8、) A0,2B0,2C2,D2, 例10.24若点p到直线1x的距离比它到点2,0的距离小1,则点p的轨迹为 () A圆B椭圆C双曲线D抛物线 解析解法一:(直接法)设(x, y)P 依题意有 22 1(x2)1xy, 当1x时, 22 11(x2)xy,整理得 2 8yx 当1x时, 2 4(x 1)y,显然不成立,故点p的轨迹方程为 2 8 (x0)yx 解法二: (定义法) 由题意可知, 点p只能在1x的右侧, 点p到直线2x的距 离等于它到点2,0的距离,根据抛物线的定义知,点p的轨迹是抛物线,故选D 变式 1设圆C与圆 22 (y3)1x外切,与直线0y相切,则C的圆心轨迹为 ()
9、A抛物线B双曲线C椭圆D圆 变式 2 动点M到点(2,1)F的距离和到直线:34100lxy的距离相等,则动点M的 轨迹为() A抛物线B直线C线段D射线 10.25例设抛物线 2 8yx上一点P到y轴的距离是4,则点P抛物线焦点的距离是 () A4 B6 C8 D12 解析由焦半径公式426 2 p p PFx知点P到焦点的距离为6,故选 B 变式 1(2012 四川理 8)已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过 点 0 (2,y )M,若点M到该抛物线焦点的距离为3,则OM() A2 2B2 3C4 D2 5 变式 2 已知F是抛物线 2 yx的焦点,,A B是该抛物线上的
10、两点,3AFBF则线 段AB的中点到y轴的距离为() A 3 4 B1C 5 4 D 7 4 变 式3 设F为 抛 物 线 2 4yx的 焦 点 ,,A B C为 该 抛 物 线 上 三 点 , 若 0FAFBFC,则FAFBFC () A9 B6 C4 D3 10.26例过抛物线 2 2(p0)ypx的焦点F作倾斜角为60 的直线与抛物线分别交于 ,A B两点(点A在x轴上方),则 AF BF 解析如图 10-10 所示,由题意得准线: 2 p lx,作ACl于点C,BDl于点D, BHAC于点H,则,AFACBFBD,AHACBDAFBF,因 为 在 三 角 形AHB中 ,60HAB, 所
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- 2018 年高 数学 复习 抛物线 及其 性质
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