2018年高考数学总复习二项式定理.pdf
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1、第四节二项式定理 考纲解读 1. 能用计数原理证明二项式定理. 2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题. 命题趋势探究 1. 高考对本节内容的考查常以选择题或填空题的形式出现,并且高于中等偏易试题. 2. 主要考查内容是:利用通项求解展开式中的某指定项;利用二项式特别是 n x1的 展开式求解系数或求某些类似于二项展开式的式子的值;二项式系数的有关问题. 知识点精讲 一、二项式定理 nn n rrnr n n n n n n baCbaCbaCbaCba 01100* Nn. 展开式具有以下特点: (1)项数:共1n项 . (2)二项式系数:依次为组合数 n nnnn CCCC,
2、, 210 . (3)每一项的次数是一样的,都为n次,展开式依a的降幂、b的升幂排列展开.特别地, nn nnn n xCxCxCx 221 11. 二、二项式展开式的通项(第1r项) 二项式展开的通项为 rrnr nr baCT 1 ., 3 ,2, 1 , 0nr. 其中 r n C的二项式系数. 令变量 (常用x)取 1,可得 1r T的系数 . 注通项公式主要用于求二项式展开式的指数、满足条件的项数或系数、展开式的某一项或 系数 . 在应用通项公式时要注意以下几点: 分清 rrnr n baC 是第1r项,而不是第r项; 在通项公式 rrnr nr baCT 1 中,含nrbaCT r
3、 nr , 1 这 6 个参数, 只有nrba,是独立的, 在未知nr,的情况下利用通项公式解题,一般都需要先将通项公式转化为方程组求n和r. 三、二项式展开式中的系数 ( 1)二项式系数与项的系数 二项式系数仅指 n nnnn CCCC,, 210 而言,不包括字母ba,所表示的式子中的系数. 例如: n x2的展开式中,含有 r x的项应该是 nrnr nr xCT2 1 ,其中 r n C叫做该项的二项 式系数,而 r x的系数应该是 rnr n C 2(即含 r x项的系数) . (2)二项式系数的性质 在 二项 式展 开式中, 与首 末 两端 “等 距离 ” 的两 项 的二 项式 系
4、数 相 等, 即 22110 , n nn n nn n nn CCCCCC, rn n r n CC. 二项展开式中间项的二项式系数最大. 如果二项式的幂指数n是偶数,中间项是第1 2 n 项,其二项式系数 n n C 2 最大;如果二 项式的幂指数n是奇数,中间项有两项,即为第 2 1n 项和第1 2 1n 项,它们的二项式系 数 2 1n n C和 2 1n n C相等并且最大. (3)二项式系数和与系数和 二项式系数和 01 1+12 nnn nnn CCC() . 奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和, 0241351 2 n nnnnnn CCCCCC即. 系数和 求所有项系数
5、和,令 1x ;求变号系数和,令 1x ;求常数项,令 0x 。 题型归纳及思路提示 题型 172二项式定理展开式的应用 思路提示对二项展开式的认识不仅要关注展开式中对各项的特点,更重要的是要理解等 式两边的关系,右边是左边 n个因式ab积的结果,而左边是右边各项和的结果,这就为 此类问题的解决提供了思考的方向和解决的思路。 例 12.30用计数原理证明: 011222 n nnnn r nn r nn r n nn abc ac abcbcbcaba ,0,1,2,nNrn. 解析 : n n abababab 个 ,其展开式的通项为 n rr r A ab ,是由n个 ab中的nr个ab中
6、每一个取a,r个ab中每一个取b相乘取得的,这样 的取法(只需从r个ab中取b,自然剩余nr个ab中取a)共有 r n C种,即 r rn AC0,1,2,rn. 故 011222 n nnnnr nn r nn r n nn abc ac abcbcbcaba 变式 1 在12345xxxxx的展开式中,x的系数为() A. 15B. 85C. 120D. 274 变式 2 在 5 2 42xx的展开式中,x的系数为 _(用数字作答). 变式 3 5 1 2 2 x x 的展开式中整理后的常数项为_(用数字作答). 题型 173 二项展开式通项的应用 思路提示 二项展开式的通项从微观角度反映
7、了二项展开式的全貌,是展开式的缩影,它可以用于求二 项展开式的任意指定项及其系数等。 例 12.31(1) (2012 安徽理 7) 5 2 2 1 21x x 的展开式的常数项是() A. 3B. 2C. 2D. 3 (2) 35 3 121xx展开式中x的系数为() A. 4B. 2C. 2D. 4 解析: (1)利用计数原理求解,当左边因式取2,所得常数项为 5 5 5 212C,当左边因 式取 2 x, 所得常数项为 4 5 15C,故展开式中常数项为253,故选D. 3 21216128xxxx x( ) 5 3232333 11510105xxxxxxxx.故 35 3 121xx
8、展 开式 中含x的项1101 122xxx.故选C. 变式 1 10 2 11xx展开式中 5 x的系数为 _。 变式 2 10 6 3 4 1 11x x 展开式中的常数项为_。 变式3 已知 2 3 1 1 n xxx x 的展开式中没有常数项,nN ,且28n, n=_. 例 12.32(1)求证:222,3 n nnN n. (2)求证: 1 2132, n nnN n . 解析 (1)因为 01 211 n nn nnnCCC,又3n,nN,所以11 n 展开式 至少有 4 项,即 01-101-1 +222 nnnn nn n nnnnnn CCCCCCCnC.证毕 . (2)首先
9、2n,显然有 12 223 112 1111111! 111 1+ 2!3! n n nnnnn n nn nn n CCC nnnnnnnn 1111111 1 1233 2!3!1 22 31nnnn ;同时 111111 1112 n n nnnn ccC nnnn (至少有3项) ,故有 1 2132, n nnN n . 变式 1 ,a bR,0,abnN .求证: 22 n nn abab . 变式 2 求证: 21221 nnn nnnnN. 变式 3 对于nN ,求证: 1 11 11 1 nn nn . 例 12.33 (1) 9 2 ax x 展开式中 3 x 的系数为 9
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