2018年高考数学总复习指数与指数函数.pdf
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1、第五节指数与指数函数 考纲解读 1. 了解指数函数模型的实际背景. 2. 理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算及性质. 3. 理解指数函数的概念和单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4. 认识到指数函数是一类重要的函数模型. 命题趋势探究 指数函数是中学数学中基本初等函数之一,这部分内容在高考中处于重要的地位.高考中往 往以基础知识为主,主要考查指数函数的性质及应用,一般以选择题和填空题的形式出现, 例如数值的计算、函数值的求法、数值大小的比较等,但有时也与函数的基本性质、二次函 数、方程、不等式、导数等内容结合起来编制综合题.近几年高考中有加强考查的趋势. 知识点精
2、讲 一、指数的运算性质 当 a0,b0 时,有 (1)a man =a m+n(m,n R); (2) m m n n a a a ( m,nR) (3)(a m)n=amn(m,n R); (4)(ab) m=ambm(m R); (5) p p a a 1 (p Q) (6) m mn n aa(m,n N +) 二、指数函数 (1)一般地,形如y=a x(a0 且 a 1)的函数叫做指数函数; (2)指数函数y=a x(a0 且 a 1)的图像和性质如表 2-6 所示 . y=a x a1 00 y=1x=0 y1x1x0 题型归纳及思路提示 题型 23 指数运算及指数方程、指数不等式
3、思路提示 利用指数的运算性质解题.对于形如 ( )f x ab, ( )fx ab, ( )fx ab的形式常用 “ 化同底 ” 转化, 再利用指数函数单调性解决;或用 “ 取对数 ” 的方法求解 .形如 a2x+B a x+C=0 或 a2x+Bax+C 0( 0) 的形式,可借助换元法转化二次方程或二次不等式求解. 一、指数运算 例 2.48 化简并求值 . (1)若 a=2,b=4, ()()aa bbab abb 2233 333 11 的值; (2)若xx 11 22 3, xx xx 33 22 22 3 2 的值; (3)设 nn a 11 20142014 2 (nN +),求
4、 () n aa 2 1 的值 . 分析:利用指数运算性质解题. 解析: ()() ()() aa bbababa bab abbb ab bab 22223333 3333 23 33 111 ()()() ()() abaabbabab b ab bab 2233 333333 3 2333 1 ()() ()() ababa bb babbabb 22 33333 33 222333 33 11 . 当 a=2,b=4,原式 33 33 221 2 162 2 . (2)先对所给条件作等价变形: ()xxxx 11 122 22 2327, ()()xxxxxx 3311 1 2222
5、13 618, x 2+x-2=(x+x-1)2-2=72 -2=47. 故 xx xx 33 22 22 31831 24723 . (3)因为 nn a 11 20142014 2 ,所以() nn a 11 2220142014 1 2 , 所以 nnnn n aa 1111 1 22 2014201420142014 12014 22 . 所以() n aa 21 12014. 变式 1 设 2a=5 b=m,且 ab 11 2,则 m=( ). A. 10B. 10 C. 20 D. 100 二、指数方程 例 2.49 解下列方程 (1)9 x-4 3x+3=0;(2) ( )( )
6、 xx 2964 3827 ; 分析: 对于 (1)方程,将其化简为统一的底数,9 x=(3x)2;对于 ( )( ) xx 29 38 ,对其底进行化简运 算. 解析: (1)9 x-4 3x+3=0 (3 x)2 -4 3 x+3=0,令 t=3x(t0),则原方程变形为 t 2-4t+3=0 , 得 t1=1,t2=3,即 x1 31 或 x2 33 ,故 x1=0,x2=1.故原方程的解为 x1=0,x2=1. (2)由( )( ) xx 2964 3827 ,可得() x 3 3 294 38 3 即( )() x 3 34 43 ,所以( )( ) x 3 33 44 ,得 x=-
7、3. 故原方程的解为x=-3. 变式 1 方程 9x-6 3x-7=0 的解是 _. 变式 2 关于 x 的方程( ) xa a 323 25 有负实数根,则a 的取值范围是_. 三、指数不等式 例 2.50 若对 x1,2,不等式 xm 22 恒成立,求实数m 的取值范围 . 分析: 利用指数函数的单调性转化不等式. 解析: 因为函数y=2x是 R 上的增函数, 又因为 x1,2, 不等式 xm 22 恒成立,即对x 1,2 , 不等式 x+m1 恒成立函数 y=x+m 在1,2 上的最小值大于1, 而 y=x+m 在1,2上是增函数, 其最小值是1+m,所以 1+m1,即 m0. 所以实数
8、 m 的取值范围是 m|m0. 变式 1 已知对任意x R,不等式( ) xmxm xx 2 2 24 11 2 2 恒成立,求m 的取值范围 . 变式 2 函数( ) x f x x 2 1 的定义域为集合A,关于 x 的不等式 axax2 22(x R)的解集为B, 求使 A B=A 的实数 a 的取值范围 . 题型 24 指数函数的图像及性质 思路提示 解决指数函数有关问题,思路是从它们的图像与性质考虑,按照数形结合的思路分析,从图 像与性质找到解题的突破口,但要注意底数对问题的影响. 一、指数函数的图像 例 2.51 函数( ) x b f xa的图象如图2-14 所示,其中a,b 为
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- 2018 年高 数学 复习 指数 指数函数
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