2019全国1卷高考数学理科含部分答案word版.pdf
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1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 1已知集合42Mxx, 2 60Nx xx,则MN A 43xx B 42xx C22xxD23xx 2设复数z 满足1zi, z在复平面内对应的点为, x y ,则 A 2 2 11xyB 2 2 11xy C 2 2 11xyD 2 2 11xy 3已知 2 log 0.2a, 0.2 2b , 0.3 0.2c ,则 AabcBacbCcabDbca 4古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 5
2、1 2 ( 51 0.618 2 ,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体 的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 51 2 。 若某人满足上述两个黄金分割比 例,且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A165cm B175cm C185cm D190cm 5函数 2 sin cos xx fx xx 在,的图象大致为 6我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化。每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“ ”和阴爻“” ,右图就是一重卦,在所有重卦 中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 3
3、2 C 21 32 D 11 16 7已知非零向量a,b满足2ab,且abb,则a与b的夹角为() A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 8右图是求 1 1 2 1 2 2 的程序框图,图中空白框中应填入 A 1 2 A A B 1 2A A C 1 12 A A D 1 1 2 A A 9记 n S为等差数列 n a的前n项和,已知 4=0 S, 5 5a,则 A25 n anB310 n anC 2 28 n SnnD 21 2 2 n Snn 10已知椭圆C的焦点为 11,0F , 21,0F ,过 2 F的直线与C交于A,B两点,若 222AFF B, 1 ABBF,则C的方程为 A
4、 2 2 1 2 x yB 22 1 32 xy C 22 1 43 xy D 22 1 54 xy 11关于函数sinsinfxxx有下述四个结论: fx是偶函数fx在区间, 2 单调递增 fx在,有 4 个零点fx的最大值为2 ABCD 12已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上,PAPBPC,ABC 是边长为2 的正三 角形, E,F分别是PA,PB的中点,90CEF ,则球O的体积为 A86B4 6C26D6 二、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共 20 分。 13曲线 2 3 x yxx e在点0,0处的切线方程为_ 14记 n S为等比数列 n a的前n项和,若 1 1
5、3 a, 2 46 aa ,则 5= S_ 15甲乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据 前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”,设甲队主场取胜的概率为0.6,客 场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1 获胜的概率是 _ 16已知双曲线C: 22 22 1 xy ab (0,0ab)的左右焦点分别为 1 F, 2 F,过 1 F的直线与C的两 条渐近线分别交于A,B两点,若 1 F AAB, 12 0F B F B,则C的离心率为 _ 三、解答题:共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721
6、题为必考题,每个试 题考生都必须作答。第22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60 分。 17 (12 分) ABC 的内角 ABC,的对边分别为abc, , ,设 2 2 sinsinsinsinsinBCABC . (1)求A; (2)若22abc,求sinC. 18 (12 分) 如图,直四棱柱 1111 ABCDA B C D的底面是菱形, 1 4AA, 2AB,60BAD,E,M,N分别是BC, 1 BB, 1 A D 的中点 (1)证明:MN平面 1 C DE ; (2)求二面角 1 AMAN的正弦值 19 (12 分) 已知抛物线C: 2 3yx的焦点F,
7、斜率为 3 2 的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P (1)若4AFBF,求l的方程; (2)若3APPB,求AB 20 (12 分) 已知函数sinln 1fxxx ,fx为fx的导数证明: (1)fx在区间1, 2 存在唯一极大值点; (2) f x 有且仅有2个零点 21 (12 分) 为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物实验,试验 方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验,对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只 施以乙药 . 一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验. 当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白 鼠多 4 只时,就停止试
8、验,并认为治愈只数多的药更有效. 为了方便描述问题,约定:对于每轮试验, 若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 -1 分;若施以乙药的白鼠治愈 且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分,甲药得 -1 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分 .甲、乙 两种药的治愈率分别记为和,一轮试验中甲药的得分记为 X. (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药试验开始时都赋予4 分, i p(0,1,8i)表示“甲药的累计得分为i时 , 最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则 0 0p, 8 1p, 11iiii papbpcp(1,2,7i) 其中1aP X,0bP X,1cP X.
9、 假设0.5,0.8. ()证明: 1ii pp(0,1,7i)为等比数列; ()求 4 p,并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性. (二) 选考题: 共 10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做, 则按所做的第一题计分。 22选修 4 4:坐标系与参数方程(10 分) 在直角坐标系xOy 中,曲线 C的参数方程为 2 2 2 1 , 1 4 1 t x t t y t (t为参数)以坐标原点为极点,x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos3sin110 (1)求 C 和l的直角坐标方程; (2)若 C 上的点到l距离的最小值 23选修 4 5:不
10、等式选讲( 10 分) 已知a,b,c为正数,且满足1abc,证明: (1) 222 111 abc abc ; (2) 333 24abbcca 2019 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、选择题:本题共12 小题,每小题5 分,共 60 分 1. 已知集合24|xxM,06| 2 xxxN,则NM() A.34|xx B. 24|xx C. 22|xx D. 32|xx 答案: C 解答: 由题意可知,32|xxN, 又因为24|xxM, 则22|xxNM,故选 C. 2. 设复数z满足1zi,z在复平面内对应的点为( ,)x y,则() A. 22 (1)1xy
11、B. 22 (1)1xy C. 22 (1)1xy D. 22 (1)1xy 答案: C 解答: 复数z在复平面内对应的点为 ( , )x y , zxyi 1xyii 22 (1)1xy 3. 已知 2 log 0.2a, 0.2 2b, 0.3 0.2c,则() A.abc B.a cb C.cab D.b ca 答案: B 解答: 由对数函数的图像可知: 2 log 0.20a; 再有指数函数的图像可知: 0.2 21b , 0.3 00.21c , 于是可得到: acb. 4. 古 希 腊 时 期 , 人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至
12、足 底 的 长 度 之 比 是 2 15 (618.0 2 15 称为黄金分割比例) ,著名的“断臂维纳斯”便是如此. 此外,最美人体的头顶至咽 喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 2 15 . 若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为cm105, 头顶至脖子下端的长度为cm26,则其身高可能是() A. cm165 B.cm175 C.cm185 D. cm190 答案: B 解答: 方法一: 设头顶处为点A,咽喉处为点B,脖子下端处为点C,肚脐处为点D,腿根处为点E,足底处为F, tBD, 2 15 , 根据题意可知 BD AB , 故tAB;又 tBDABAD)1( , DF AD ,故
13、tDF 1 ; 所以身高tDFADh 2 )1( ,将 618.0 2 15 代入可得th24. 4. 根据腿长为cm105,头顶至脖子下端的长度为cm26可得ACAB, EFDF ; 即26t,105 1 t,将618.0 2 15 代入可得4240t 所以08.1786 .169h,故选 B. 方法二: 由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近,故头顶至脖子下端的长度cm26可估值为 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 ; 根 据 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 是 2 15 ( 618.0 2 15 称为黄金分割比例)可计算出
14、咽喉至肚脐的长度约为cm42;将人体的头顶至咽喉 的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm68,头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是 2 15 可计算出肚脐至足底的长度约为110;将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相 加即可得到身高约为cm178,与答案cm175更为接近,故选B. 5.函数 2 sin ( ) cos xx f x xx 在 ,的图像大致为( ) A. B. C. D. 答案: D 解答: 2 sin () cos xx fx xx 2 sin cos xx xx ( )f x, ( )f x 为奇函数,排除A, 又22 sin 42 22 ()0 2
15、cos 22 f ,排除 C, 22 sin ( )0 1 cos f ,排除 B,故选 D. 6. 我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化. 每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成,爻分 为阳爻“”和阴爻“” ,下图就是一重卦. 在所有重卦中随机取一重卦,则 该重卦恰有3个阳爻的概率是() A. 5 16 B. 11 32 C. 21 32 D. 11 16 答案: A 解答: 每爻有阴阳两种情况,所以总的事件共有 6 2 种,在 6个位置上恰有3个是阳爻的情况有 3 6 C种,所以 3 6 6 205 26416 C P. 7.已知非零向量,a b满足 2ab,且( )abb,则 a 与
16、 b 的夹角为() A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 答案: B 解答: 设 a 与 b 的夹角为, ()abb 2 ()cosabba bb=0 1 cos = 2 = 3 . 8. 右图是求 1 1 2+ 1 2+ 2 的程序框图,图中空白框中应填入() A. 1 2 A A B. 1 2A A C. 1 1 2 A A D. 1 12 A A 答案: A 解答: 把选项代入模拟运行很容易得出结论 选项 A代入运算可得 1 = 1 2+ 1 2+ 2 A ,满足条件, 选项 B代入运算可得 1 =2+ 1 2+ 2 A , 不符合条件, 选项 C代入运算可得 1 2 A, 不
17、符合条件, 选项 D代入运算可得 1 1+ 4 A, 不符合条件 . 9.记 n S为等差数列 na 的前n项和 .已知 4 0S, 5 5a,则() A.25 n anB.310 n anC. 2 28 n SnnD. 2 1 2 2 n Snn 答案: A 解析: 依题意有 41 51 460 45 Sad aad ,可得 1 3 2 a d ,25 n an, 2 4 n Snn. 10. 已知椭圆C的焦点为)0 ,1( 1 F,)0 ,1 ( 2 F,过 2 F的直线与C交于 A,B两点 . 若 |2| 22 BFAF, | 1 BFAB,则C的方程为() A.1 2 2 2 y x
18、B. 1 23 22 yx C.1 34 22 yx D.1 45 22 yx 答案: B 解答: 由椭圆C的焦点为)0, 1( 1 F,)0, 1( 2 F可知1c, 又|2| 22 BFAF,| 1 BFAB, 可设mBF | 2 , 则mAF2| 2 ,mABBF3| 1 , 根据椭圆的定义可知ammBFBF23| 21 , 得am 2 1 , 所 以aBF 2 1 | 2 ,aAF | 2 , 可 知),0(bA, 根 据 相 似 可 得) 2 1 , 2 3 (bB代 入 椭 圆 的 标 准 方 程 1 2 2 2 2 b y a x ,得 3 2 a , 2 222 cab , 椭
19、圆C的方程为1 23 22 yx . 11.关于函数( )sinsinf xxx有下述四个结论: ( )f x 是偶函数 ( )f x 在区间(, ) 2 单调递增 ( )f x在,有 4 个零点( )f x的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是() A. B. C. D. 答案: C 解答: 因为()sinsin()sinsin( )fxxxxxf x,所以( )f x是偶函数,正确, 因为 52 ,(, ) 632 ,而 52 ()() 63 ff,所以错误, 画出函数 ( )f x 在,上的图像,很容易知道 ( )fx 有3零点,所以错误, 结合函数图像,可知( )f x的最大值为 2
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