2019届中考数学总复习:分式与二次根式.pdf
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1、第 1 页 共 14 页 2019 届中考总复习:分式与二次根式知识讲解 【考纲要求】 1. 了解分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会进行分式的加、减、乘、除、乘方运 算;能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程,会解简单的可化为一元一次方程的分式方程; 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简,运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二 次根式的运算 【知识网络】 第 2 页 共 14 页 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1分式 设 A 、 B表示两个整式如果B 中含有字母,式子就叫做分式注意分母B的值不能为零,否则 分式没有意义. 2. 分式的基本性质
2、(M为不等于零的整式). 3最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式,要进行约分化简. 要点诠释: 分式的概念需注意的问题: (1) 分式是两个整式相除的商,其中分母是除式,分子是被除式,而分数线则可以理解为除号,还 含有括号的作用; (2)分式中,A和B均为整式,A可含字母,也可不含字母,但B中必须含有字母且不为0; (3)判断一个代数式是否是分式,不要把原式约分变形,只根据它的原有形式进行判断 (4)分式有无意义的条件:在分式中, 当B 0 时,分式有意义;当分式有意义时,B 0 当B=0 时,分式无意义;当分式无意义时,B=0 当B 0 且A = 0时,分式的
3、值为零 考点二、分式的运算 1基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似, 具体运算法则如下: ( 1)加减运算错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减. ; 异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法则进行计算. ( 2)乘法运算 两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母. ( 3)除法运算 两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. ( 4)乘方运算(分式乘方) 分式的乘方,把分子分母分别乘方 2零指数. 第 3 页 共 14 页 3负整数指数
4、4分式的混合运算顺序 先算乘方,再算乘除,最后加减,有括号先算括号里面的 5约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分 6通分 根据分式的基本性质,异分母的分式可以化为同分母的分式,这一过程称为分式的通分 要点诠释: 约分需明确的问题: (1) 对于一个分式来说,约分就是要把分子与分母都除以同一个因式,使约分前后分式的值相等; (2) 约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式,其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似;在此,公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积 通分注意事项: (1) 通分的关键是确定最简公分母;最简公分母应为各分母
5、系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 (2) 不要把通分与去分母混淆,本是通分,却成了去分母,把分式中的分母丢掉 (3) 确定最简公分母的方法: 最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数; 最简公分母的字母,取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 考点三、分式方程及其应用 1分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母, 即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程 3分式方程的增根问题 验根:因为解分式方程可能出现增根,所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带入到 最简公分母中,看它是否为0,如果为0,即为增根,不为0,就是
6、原方程的解 4分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似,但要稍复杂一些解题时应抓住“找等 量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而 正确列出方程,并进行求解另外,还要注意从多角度思考、分析、解决问题,注意检验、解释结果的 合理性 要点诠释: 解分式方程注意事项: (1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆; 第 4 页 共 14 页 (2)解完分式方程必须进行检验,验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中,看它是否为0, 如果为 0,即为增根,不为0,就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤: (1) 审仔细审题,找
7、出等量关系; (2) 设合理设未知数; (3) 列根据等量关系列出方程; (4) 解解出方程; (5) 验检验增根; (6) 答答题 考点四、二次根式的主要性质 1.0(0)aa; 2. 2 (0)aa a; 3. 2 (0) | (0) aa aa a a ; 4. 积的算术平方根的性质: (00)abab ab, ; 5. 商的算术平方根的性质:(00) aa ab b b ,. 6. 若0ab,则ab. 要点诠释: 与的异同点: (1)不同点:与表示的意义是不同的,表示一个正数a 的算术平方根的平方,而 表示一个实数a 的平方的算术平方根;在中,而中 a 可以是正实数,0,负实 数但与都
8、是非负数,即,因而它的运算的结果是有差别的, ,而 (2)相同点:当被开方数都是非负数,即时,=;时,无意义, 而. 第 5 页 共 14 页 考点五、二次根式的运算 1二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:应为最简二次根式或有理式;分母中不含根号. (2) 注意知道每一步运算的算理; 2二次根式的加减运算 先化为最简二次根式,再类比整式加减运算,明确二次根式加减运算的实质; 3二次根式的混合运算 (1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,如有括 号,应先算括号里面的; (2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处
9、,整式、分式中的运算律、运算法 则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释: 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1. 明确运算顺序,先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号先算括号里面的; 2. 在二次根式的混合运算中,原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用; 3. 在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径, 往往能收到事半功倍的效果. (1) 加法与乘法的混合运算,可分解为两个步骤完成,一是进行乘法运算,二是进行加法运算,使难 点分散,易于理解和掌握. 在运算过程中,对于各个根式不一定要先化简,可以先乘除,进行约分,达 到化
10、简的目的,但最后结果一定要化简. 例如 8 26 27 ,没有必要先对 8 27 进行化简,使计算繁琐,可以先根据乘法分配律进行 乘法运算, 884 266262 3 27273 ,通过约分达到化简目的; (2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如: 22 3232321,利用了平方差公式. 所以,在进行二次根式的混合运算时,借助乘法公式,会使运算简化. 【典型例题】 类型一、分式的意义 1使代数式 12x x 有意义的x的取值范围是() A.0x B. 2 1 x C.0x且 2 1 x D.一切实数 【答案】 C; 【解析】解不等式组 0 210 x x 得0x
11、且 2 1 x,故选 C 【点评】代数式有意义,就是要使代数式中的分式的分母不为零;代数式中的二次根式的被开方数是非 第 6 页 共 14 页 负数,即需要x中的 x0;分母中的2x-10. 举一反三: 【高清课程名称:分式与二次根式高清 ID 号: 399347 关联的位置名称(播放点名称):例 1】 【变式 】当x取何值时,分式 12 9 2 2 xx x 有意义 ?值为零 ? 【答案】 当 2 120xx时,分式 12 9 2 2 xx x 有意义,即-34xx且时,分式 12 9 2 2 xx x 有意义 . 当 2 9=0x且 2 120xx时,分式 12 9 2 2 xx x 值为
12、零, 解得=3x,且-34xx,即=3x时,分式 12 9 2 2 xx x 值为零 . 类型二、分式的性质 2已知 1 4x x , 求下列各式的值. (1) 2 2 1 x x ; (2) 2 42 1 x xx . 【答案与解析】 (1) 因为 1 4x x , 所以 2 2 1 4x x . 即 2 2 1 216x x . 所以 2 2 1 14x x . (2) 4242 2 22222 111 114115 xxxx x xxxxx , 所以 2 42 1 115 x xx . 【点评】观察(1) 和已知条件可知, 将已知等式两边分别平方再整理, 即可求出 (1) 的值 ; 对于
13、 (2), 直接求 值很困难 , 根据其特点和已知条件, 能够求出其倒数的值, 这样便可求出 (2) 的值 . 举一反三: 【变式 】已知 111 , abab 求 ba ab 的值 . 【答案】由 111 , abab 得 1 , ab abab 所以 2 (),abab即 22 abab. 第 7 页 共 14 页 所以 22 1 baabab ababab . 类型三、分式的运算 3 (2015?眉山)计算: 【答案与解析】 解:=?= 【点评】异分母分式相加减,先根据分式的基本性质进行通分,转化为同分母分式,再进行相加减. 在 通分时,先确定最简公分母,然后将各分式的分子、分母都乘以分
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- 2019 中考 数学 复习 分式 二次 根式
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