“三个二次”关系与恒成立问题、存在性问题.pdf
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1、第 2 讲“ 三个二次 ” 关系与恒成立问题、存在性问题 高考定位高考对本内容的考查主要有:(1)一元二次不等式是C 级要求,要求 在初中所学二次函数的基础上,掌握二次函数、二次不等式、二次方程之间的 联系和区别,可以单独考查,也可以与函数、方程等构成综合题;(2)含参的恒 成立问题、存在性问题通常以不等式为载体,体现了转化与化归思想. 真 题 感 悟 1.(2017 江苏卷 )记函数 f (x)6xx 2的定义域为 D.在区间 4,5上随机取 一个数 x,则 xD 的概率是 _. 解析由 6xx20 得2x3,则 D 为2,3. 故所求概率 P3( 2) 5( 4) 5 9. 答案 5 9
2、2.(2015 江苏卷 )不等式 2 x2xf (x)min, 存在 f (x)a 成立? a0. 解当 a0 时,原不等式可化为x20, 当 a1 时, 2 a0,所以 x2. 当 a1 时, 2 a2,原不等式化为 (x2) 20, 所以 xR 且 x2. 当 02,原不等式化为 (x2) x 2 a 0,则 x2 a. 当 a1 时,原不等式的解集为x x2 ; 当 a1 时,原不等式的解集为 x|xR 且 x2 ; 当 02 a ; 当 a1 时,解得 a1x0. 所以,当 a1 时,不等式 f (x)g(x)的解集为 a1,0. 热点二“ 三个二次 ” 之间的关系 【例 2】 (20
3、17苏州调研测试 )已知函数 f (x)x|xa|,aR,g(x)x21. (1)当 a1 时,解不等式 f (x)g(x); (2)记函数 f (x)在区间 0,2上的最大值为 F(a),求 F(a)的表达式 . 解(1)由 f (x)g(x),当 a1 时, 即解不等式 x|x1|x21. 由 x1 时,不等式为 x2xx21, 解得 x1,所以 x1; 当 x0 时的情形 . 【训练 2】 (2017 苏北四市一调 )已知函数 f (x)2 x1a,g(x)bf (1x),其中 a,bR.若关于 x 的不等式 f (x)g(x)的解的最小值为2,则实数 a 的取值范围 是_. 解析因为
4、g(x)b(2 xa),所以 f (x)g(x), 即 2x 1ab 2 xab,即(2x)22a(b1)2x2b0. 由二次不等式与二次方程的根的关系知,关于2x的方程 (2x)22a(b1)2x2b 0 的 2 x 的值分别为 4, b 2.因为 2 x 取正值,要想2x最小为 4,所以 b 20,即 b0.又因为 4 b 22a(b1),所以 b 4(a2) 4a1 0,解得 a2 或 a1 4. 答案( ,2 1 4, 热点三恒成立问题与存在性问题 【例 3】 已知函数 f (x)x22axa2. (1)若对于任意的 xR,f (x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)若对于任
5、意的 x1,1,f (x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a1,1,x 22axa20 恒成立,求实数 x 的取值范围 . 解(1)若对于任意的 xR,f (x)0 恒成立, 需满足 4a24(a2)0,解得 2a1. 故实数 a 的取值范围是 2,1. (2)由题知对称轴方程为xa, 当a1 时,f (x)minf (1)33a0, 解得 a1,与已知矛盾,舍去; 当a1,即 a0 恒成立,等价于 g(a)(2x1)a x 220, 所以 g(1)0, g(1)0, 即 x 22x120, x 22x120, 解得 x 1,所以 x 的取值范围是 x|x 1. 探究
6、提高(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0 就是相应的二次函数 的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于 0就是相应的二次函数的图象在 给定的区间上全部在x 轴下方 .另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法 求最值 . (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数.一般地,知道谁的范围,谁 就是主元,求谁的范围,谁就是参数. 【训练 3】 (1)(2017 江苏冲刺卷 )若命题 “ 存在 xR,ax24xa0” 为假命题, 则实数 a 的取值范围是 _. (2)(2017 盐城期中 )若不等式 x 22x5a23a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 _. 解析(
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