与解三角形有关的微专题(一)三角形形状的判定.pdf
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1、1 与解三角形有关的微专题 专题一判断三角形形状 例 1.在 ABC 中,若 sin A2sin Bcos C,且 sin 2Asin2Bsin2C,试判断 ABC 的形状 若将例题中的“sin A 2sin Bcos C”改为“ bsin Bcsin C” ,其余不变,试解答本题 利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径 (1)化边为角 :将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到三个内 角的关系,进而确定三角形的形状 (2)化角为边 :将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配 方等 )得到边的关系,如ab,a 2b2c2 等,
2、进而确定三角形的形状 1.(1)在 ABC 中,若 (sin Asin B)(sin Asin B)sin2C,则 ABC 是_三角形 (2)在 ABC 中, a 2tan B b2tan A,试判断三角形的形状 例 2.在 ABC 中,若 (accos B)sin B(bccos A) sin A,判断 ABC 的形状 . 利用余弦定理判断三角形形状的方法 (1)利用余弦定理(有时还要结合正弦定理)把已知条件转化为边的关系,通过因式分解、 配方等方法得出 边的相应关系,从而判断三角形的形状 (2)统一成边的关系后,注意等式两边不要轻易约分,否则可能会出现漏解 3.在 ABC 中,角 A,B,
3、C 的对边分别为a,b,c,且 bc2ccos2A 2 ,则 ABC 是 () A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D等腰三角形 课后练习: 1.1 在中,若,则的形状一定是()ABCcoscosaBbAABC 2 A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D等腰三角形 2. 设的内角所对的边分别为,若,则的形状为 () A锐角三角形 B 直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形 3. ABC中,若 a cosB b cosA ,则该三角形一定是( ) A等腰三角形但不是直角三角形 B直角三角形但不是等腰三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 4.在ABC中,若 222 sinsinsin
4、ABC,则ABC的形状 是( ) A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定 5. 在ABC中,60B, 2 bac,则三角形一定是( ) A直角三角形 B 等边三角形 C 等腰直角三角形 D 钝角三角形 6设 ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足 acos B bcos Ac,则 ABC 是() A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定 7.已知ABC的三个内角A B C, ,所对的边分别为a,b,c,向量(,)mac ba ,(, )nac b, 且mn. ( )求角C的大小; ( )若 22 2sin2sin1 22 AB ,判断ABC的形状 8在 ABC
5、 中,已知 ab a sin B sin Bsin A,且 cos(AB)cos C1cos 2C. (1)试确定 ABC 的形状; (2)求 ac b 的取值范围 与解三角形有关的微专题 专题一判断三角形形状 ABC,A B C, ,a b ccoscossinbCcBaAABC 3 例 1.在 ABC 中,若 sin A2sin Bcos C,且 sin2Asin2Bsin2C,试判断 ABC 的形状 解法一 :根据正弦定理,得 a sin A b sin B c sin C, 因为 sin 2Asin2Bsin2C,所以 a2b2c2,所以 A 是直角, BC90, 所以 2sin Bc
6、os C2sin Bcos(90 B)2sin 2Bsin A1,所以 sin B 2 2 . 因为 0B90,所以B45, C45,所以 ABC 是等腰直角三角形 法二 :根据正弦定理,得 a sin A b sin B c sin C, 因为 sin 2Asin2Bsin2C, 所以 a2b2c2,所以 A 是直角 因为 A180 (BC), sin A2sin Bcos C, 所以 sin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C, 所以 sin(BC)0. 又 90BC90,所以BC0,所以 BC, 所以 ABC 是等腰直角三角形 若将例题中的“sin A2
7、sin Bcos C”改为“ bsin Bcsin C” ,其余不变,试解答本题 解: 由正弦定理,设 a sin A b sin B c sin C2R, 从而得 sin A a 2R,sin B b 2R,sin C c 2R. 因为 bsin Bcsin C,sin2Asin2Bsin2C, 所以 b b 2R c c 2R, a 2R 2 b 2R 2 c 2R 2 , 所以 b2c2,a2b2 c2, 所以 bc, A90. 所以 ABC 为等腰直角三角形 利用正弦定理判定三角形的形状的两条途径 (1)化边为角 :将题目中所有的条件,利用正弦定理化边为角,再根据三角函数的有关知识得到
8、三个内 角的关系,进而确定三角形的形状 (2)化角为边 :将题目中的所有条件,利用正弦定理化角为边,再根据多项式的有关知识(分解因式、配 方等 )得到边的关系,如ab,a2b2c2等,进而确定三角形的形状 3.(1)在 ABC 中,若 (sin Asin B)(sin Asin B)sin2C,则 ABC 是_三角形 (2)在 ABC 中, a 2tan B b2tan A,试判断三角形的形状 4 解: (1)由已知得sin2Asin2Bsin2C,根据正弦定理知 a 2b2c2,故 b2c2a2.所以 ABC 是直角三 角形故填直角 (2)由正弦定理得: a2Rsin A,b2Rsin B.
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