专题131—函数与导数压轴题命题区间.pdf
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1、第 1 页共 54 页 专题 131函数与导数压轴题命题区间 目录 第一部分构造辅助函数求解导数问题 2 技法一:“比较法”构造函数 2 技法二: “ 拆分法 ” 构造函数 . 3 技法三: “ 换元法 ” 构造函数 . 5 技法四:二次 (甚至多次 )构造函数 8 强化训练 . 10 第二部分利用导数探究含参数函数的性质 14 技法一:利用导数研究函数的单调性 14 技法二:利用导数研究函数的极值 17 技法三:利用导数研究函数的最值 19 强化训练 . 22 第三部分导数的综合应用 29 技法一:利用导数研究函数的零点或方程的根 29 技法二:利用导数证明不等式 31 技法三:利用导数研究
2、不等式恒成立问题 34 技法四:利用导数研究存在性与任意性问题 44 技法五:利用导数研究探究性问题 47 强化训练 . 50 第 2 页共 54 页 第一部分构造辅助函数求解导数问题 对于证明与函数有关的不等式, 或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取 值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数, 并求导 研究其单调性或寻求其几何意义来解决;题目本身特点不同, 所构造的函数可有 多种形式,解题的繁简程度也因此而不同,这里给出几种常用的构造技巧 技法一:“比较法”构造函数 典例(2017 广州模拟 )已知函数 f(x)e xax(e为自然对数的底数, a 为常 数)的图象在
3、点 (0,1)处的切线斜率为 1 (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x0 时,x 2ex 解(1)由 f(x)e xax,得 f( x)e xa 因为 f(0)1a1,所以 a2, 所以 f(x)e x2x,f( x)e x2, 令 f(x)0,得 xln 2, 当 xln 2 时,f(x)0,f(x)单调递减; 当 xln 2 时,f(x)0,f(x)单调递增 所以当 xln 2 时, f(x)取得极小值,且极小值为 f(ln 2)e ln 2 2ln 22ln 4, f(x)无极大值 (2)证明:令 g(x)e xx2,则 g( x)ex2x 由(1)得 g(x)
4、f(x) f(ln 2)0, 故 g(x)在 R 上单调递增 所以当 x0 时,g(x)g(0)10,即 x 2ex 方法点拨 在本例第 (2)问中,发现 “ x 2,ex” 具有基本初等函数的基因,故可选择对要证 明的“ x2e x” 构造函数,得到 “ g(x)exx2” ,并利用 (1)的结论求解 对点演练 已知函数 f(x) x e x,直线 yg(x)为函数 f(x)的图象在 xx0(x01)处的切线, 第 3 页共 54 页 求证: f(x) g(x) 证明: 函数 f(x)的图象在 xx0处的切线方程为 yg(x)f(x0)(xx0)f(x0) 令 h(x)f(x)g(x)f(x
5、)f(x0)(xx0)f(x0), 则 h(x)f(x)f(x0) 1x e x 1x 0 e 0 x 1xe 0 x 1x0e x e 0 xx 设 (x)(1x)e 0 x (1x0)ex, 则 (x)e 0 x (1x0)e x, x01, (x)0, (x)在 R上单调递减,又 (x0)0, 当 xx0时, (x)0,当 xx0时, (x)0, 当 xx0时,h(x)0,当 xx0时,h(x)0, h(x)在区间 ( ,x0)上为增函数,在区间 (x0,) 上为减函数, h(x) h(x0)0, f(x) g(x) 技法二: “ 拆分法 ” 构造函数 典例设函数 f(x)ae xln
6、xbe x1 x ,曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线为 y e(x1)2 (1)求 a,b; (2)证明: f(x)1 解(1)f(x)ae x ln x 1 x be x1 x1 x 2 (x0), 由于直线 ye(x1)2 的斜率为 e,图象过点 (1,2), 所以 f12, f1e, 即 b2, aee, 解得 a1, b2. (2)证明:由 (1)知 f(x)e xln x2e x1 x (x0), 从而 f(x)1 等价于 xln xxe x2 e 构造函数 g(x)xln x,则 g(x)1ln x, 所以当 x 0, 1 e 时,g(x)0, 第 4 页共 54 页 当
7、 x 1 e, 时,g( x)0, 故 g(x)在 0,1 e 上单调递减, 在 1 e,上单调递增, 从而 g(x)在(0,) 上的最小值为 g 1 e 1 e 构造函数 h(x)xe x2 e, 则 h(x)e x(1x) 所以当 x(0,1)时,h(x)0; 当 x(1,) 时,h(x)0; 故 h(x)在(0,1)上单调递增,在 (1,) 上单调递减, 从而 h(x)在(0,) 上的最大值为 h(1) 1 e 综上,当 x0 时,g(x)h(x),即 f(x)1 方法点拨 对于第 (2)问“ ae xln xbe x1 x 1” 的证明,若直接构造函数 h(x)ae xln xbe x
8、1 x 1,求导以后不易分析,因此并不宜对其整体进行构造函数,而应先将不等式 “ ae xln xbe x1 x 1” 合理拆分为 “ xln xxe x2 e” ,再分别对左右两边构造函数, 进而达到证明原不等式的目的 QQ 群 545423319 微信公众号:中学数学研讨部落 对点演练 已知函数 f(x) aln x x1 b x,曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程为 x2y3 0 (1)求 a,b 的值; (2)证明:当 x0,且 x 1 时,f(x) ln x x1 第 5 页共 54 页 解:(1)f(x) a x1 x ln x x1 2 b x 2(x0) 由于直线
9、x2y30 的斜率为 1 2,且过点 (1,1), 故 f11, f1 1 2, 即 b1, a 2b 1 2. 解得 a1, b1. (2)证明:由 (1)知 f(x) ln x x1 1 x(x0), 所以 f(x) ln x x1 1 1x 22ln xx 21 x 考虑函数 h(x)2ln x x 21 x (x0), 则 h(x)2 x 2x 2 x21 x 2 x1 2 x 2 所以当 x 1 时,h(x)0而 h(1)0, 故当 x(0,1)时,h(x)0,可得 1 1x 2h(x)0; QQ 群 545423319 微信公众号:中学数学研讨部落 当 x(1,) 时,h(x)0,
10、可得 1 1x 2h(x)0 从而当 x0,且 x 1 时,f(x) ln x x10, 即 f(x) ln x x1 技法三: “ 换元法 ” 构造函数 典例已知函数 f(x)ax 2xln x(aR)的图象在点 (1,f(1)处的切线与直线 x3y0 垂直 (1)求实数 a 的值; (2)求证:当 nm0 时,ln nln m m n n m 解(1)因为 f(x)ax 2xln x, 所以 f(x)2axln x1, 因为切线与直线 x3y0 垂直,所以切线的斜率为3, 第 6 页共 54 页 所以 f(1)3,即 2a13,故 a1 (2)证明:要证 ln nln mm n n m,
11、即证 ln n m m n n m,只需证 ln n m m n n m0 令 n m x,构造函数 g(x)ln x 1 xx(x 1), 则 g(x)1 x 1 x 21 因为 x1,) ,所以 g(x) 1 x 1 x 210, 故 g(x)在(1,) 上单调递增 由已知 nm0,得 n m1, 所以 g n m g(1)0, 即证得 ln n m m n n m0 成立,所以命题得证 方法点拨 对“ 待证不等式 ” 等价变形为 “ln n m m n n m0” 后, 观察可知,对“ n m” 进行换元, 变为“ln x 1 xx0” ,构造函数 “ g(x)ln x 1 xx(x 1
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