二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题.pdf
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1、第 3 节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 最新考纲1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式 的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;3.会从实际情境中抽象出一 些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 知 识 梳 理 1. 二元一次不等式 (组)表示的平面区域 (1)一般地,二元一次不等式AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线AxBy C0 某一侧的所有点组成的平面区域(半平面 )不含边界直线 . 不等式 AxBy C0 所表示的平面区域 (半平面 )包括边界直线 . (2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点 (x,y),使得 AxByC 的值符号
2、相 同,也就是位于同一半平面内的点,其坐标适合同一个不等式AxByC0;而 位于另一个半平面内的点,其坐标适合另一个不等式AxByC0 时,截距 z b 取最大值时, z也取最大值;截距 z b取最小值时, z也取最小值;当 b0 表示的平面区域在直线xy10 的下方 . (4)直线 axbyz0 在 y 轴上的截距是 z b. 答案(1)(2)(3)(4) 2. 下列各点中,不在xy10 表示的平面区域内的是 () A. (0,0) B. (1,1) C. (1,3) D. (2,3) 解析把各点的坐标代入可得 (1,3)不适合,故选 C. 答案C 3. (教材习题原题 )不等式组 x3y6
3、0, xy20 表示的平面区域是 () 解析x3y60 表示直线 x3y60 及其右下方部分, xy20 表示直 线 xy20 左上方部分,故不等式表示的平面区域为选项B. 答案B 4. (2017 全国卷)设 x,y 满足约束条件 x2y1, 2xy1, xy0, 则 z3x2y 的最小值为 _. 解析不等式组 x2y1, 2xy1, xy0 表示的平面区域如图所示 . 由 z3x2y 得 y3 2x z 2,当直线 y 3 2x z 2过图中点 A 时,纵截距最大,此时 z 取最小值 . 由 2xy1, x2y1 解得点 A 坐标为 (1,1),此时 z3(1)21 5. 答案5 5. (
4、2018 石家庄质检 )若 x,y 满足约束条件 xy10, x20, xy20, 则 z y x的最大值为 _. 解析作出不等式组表示的平面区域,如图所示阴影部分,zy x y0 x0,表示区 域内的点与原点连线的斜率,易知zmaxkOA,由 xy10, xy20,得 A 1 2, 3 2 , kOA 3 2 1 2 3,zmax3. 答案3 考点一二元一次不等式 (组)表示的平面区域 【例 1】 (1)不等式 (x2y1)(xy3)0 在坐标平面内表示的区域(用阴影部分 表示),应是下列图形中的 () (2)若不等式组 xy20, x2y20, xy2m0 表示的平面区域为三角形,且其面积
5、等于 4 3,则 m 的值为 () A. 3 B. 1 C.4 3 D. 3 解析(1)(x2y1)(xy3)0? x2y10, xy30 或 x2y10, xy30. 画出平面区 域后,只有 C 符合题意 . (2)如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则2m2,则 m1, 由 xy20, xy2m0, 解得 x1m, y1m, 即 A(1m,1m). 由 x2y20, xy2m0, 解得 x2 3 4 3m, y2 3 2 3m, 即 B 2 3 4 3m, 2 3 2 3m ,所围成的区域为 ABC,则 S ABCSADCSBDC1 2(2 2m)(1m)1 2(22m) 2 3(1
6、m) 1 3(1m) 24 3, 解得 m3(舍去)或 m1.故选 B. 答案(1)C(2)B 规律方法1.二元一次不等式 (组)表示平面区域的判断方法:直线定界,测试点 定域. 2. 求平面区域的面积: (1)首先画出不等式组表示的平面区域,若不能直接画出,应利用题目的已知条 件转化为不等式组问题,从而再作出平面区域; (2)对平面区域进行分析,若为三角形应确定底与高,若为规则的四边形(如平行 四边形或梯形 ),可利用面积公式直接求解,若为不规则四边形,可分割成几个 三角形分别求解再求和 . 【训练 1】 (2018郑州预测 )若不等式 x 2y22 所表示的平面区域为 M,不等式 组 xy
7、0, xy0, y2x6 表示的平面区域为N,现随机向区域 N内抛一粒豆子,则豆子落在 区域 M 内的概率为 _. 解析作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示,平面区域N的面 积为 1 23(62)12,区域 M 在区域 N 内的面积为 1 4( 2) 2 2 ,故所求概率 P 2 12 24. 答案 24 考点二求目标函数的最值问题 (多维探究 ) 命题角度 1求线性目标函数的最值 【例 21】 (2017全国卷)设 x,y 满足约束条件 x3y3, xy1, y0, 则 zxy 的最 大值为 () A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析根据约束条件画出可行域,如图中阴影部分
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