人教版九年级数学“二次函数定义及其图像性质”知识点、例题、考题-2018版详解.pdf
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1、第 1 页 共 31 页 2018-2019 学年九年级(上)数学- 专属资料 二次函数性质及其图像 一、知识点总结 知识点一:二次函数的定义 1. 二次函数的定义 : 一般地,形如 2 yaxbxc(abc, , 是常数,0a)的函数,叫做二次函数 其中a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项 知识点二:二次函数的图象与性质抛物线的三要素:开口、对称轴、顶点 2. 二次函数 2 ya xhk的图象与性质 (1)二次函数基本形式 2 yax的图象与性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小 第 2 页 共 31 页 (2) 2 yaxc的图象与性质: 上加下减 第 3 页 共 31 页 (3
2、) 2 ya xh的图象与性质: 左加右减 (4)二次函数 2 ya xhk的图象与性质 第 4 页 共 31 页 3. 二次函数cbxaxy 2 的图像与性质 (1)当0a时,抛物线开口向上,对称轴为 2 b x a ,顶点坐标为 2 4 24 bacb aa , 当 2 b x a 时,y随x的增大而减小;当 2 b x a 时,y随x的增大而增大;当 2 b x a 时,y有 最小值 2 4 4 acb a (2)当0a时,抛物线开口向下,对称轴为 2 b x a ,顶点坐标为 2 4 24 bacb aa , 当 2 b x a 时,y随x的增大而增大;当 2 b x a 时,y随x的
3、增大而减小;当 2 b x a 时,y有 最大值 2 4 4 acb a 4. 二次函数常见方法指导 (1)二次函数图象的画法 画精确图五点绘图法(列表 - 描点-连线) 利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 画草图抓住以下几点:开口方向,对称轴,与x 轴的交点,顶点 . (2)二次函数图象的平移 平移步骤: 17、将抛物线解析式转化成顶点式 2 ya xhk,确定其顶点坐标 hk, ; 可以由抛物线 2 axy经过适当的平移得到。 具体平移方法如下: 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 ()ya xhk 第 5 页 共
4、 31 页 平移规律:概括成八个字“左加右减,上加下减” (3)用待定系数法求二次函数的解析式 一般式:. 已知图象上三点或三对)(yx,,的值,通常选择一般式. 顶点式:. 已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式. 交点式:. 已知图象与轴的交点坐标、,通常选择交点式 . (4)求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法: a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 ,顶点是),( a bac a b 4 4 2 2 ,对称轴是直线 a b x 2 . 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为khxay 2 的形式,得到顶点为 ( h, k ),对称轴是直线hx. 运用抛物线
5、的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平 分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点. (5)抛物线cbxaxy 2 中,cba,的作用 a决定开口方向及开口大小,这与 2 axy中的a完全一样 . b和a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线cbxaxy 2 的对称轴是直线 a b x 2 ,故 向右 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)个单位, 向上平移n(n0)个单位后的解析式为ya(xhm) 2 kn;向右平移 m(m0) 个单位,向下平移n(n0)个单位后的解析式为ya(xh
6、m) 2k n. 【类型四】根据轴对称确定二次函数解析式 已知二次函数y2x 212x5,求该函数图象关于 x轴对称的图 象的解析式 解析: 关于x轴对称得到的二次函数的图象与原二次函数的图象的形 状不变,而开口方向,顶点的纵坐标变化了,开口方向与原图象的开口方 第 15 页 共 31 页 向相反,顶点的横坐标不变,纵坐标与原图象的纵坐标互为相反数 解:y2x 212x52( x3) 213,顶点坐标为 (3 ,13) ,其图象 关于x轴对称的顶点坐标为(3 ,13) ,所以对称后的图象的解析式为y 2(x3) 213. 方法总结:ya(xh) 2 k的图象关于x轴对称得到的图象的解析式 为y
7、a(xh) 2 k. 【类型五】用待定系数法求二次函数解析式的实际应用 (2014湖北咸宁 ) 科学家为了推测最适合某种珍奇植物生长的温 度,将这种植物分别放在不同温度的环境中,经过一定时间后,测试出这 种植物高度的增长情况,部分数据如下表: 温度t/ 42014 植物高度增 长量 l/mm4149494625 科学家经过猜想,推测出l与t之间是二次函数关系由此可以 推测最适合这种植物生长的温度为_. 解析: 设l与t之间的函数关系式为lat 2 btc,把( 2,49)、 (0 ,49) 、(1 ,46) 分别代入得: 4a2bc49, c49, abc46, 解得 a1, b2, c49.
8、 l t 22t 49,即l(t1) 250,当 t1 时,l的最大值为50. 即当温度为 1时,最适合这种植物生长故答案为1. 方法总结: 求函数解析式一般采用待定系数法用待定系数法解题, 先要明确解析式中待定系数的个数,再从已知中得到相应个数的独立条件 ( 一般来讲,最直接的条件是点的坐标),最后代入求解 【类型一】二次函数图象与x轴交点情况判断 下列函数的图象与x只有一个交点的是 ( ) Ayx 22x3 B yx 22x3 Cyx 22x3 D yx 22x 1 解析: 选项 A 中b 24ac2241( 3)160,选项 B 中 b 2 4ac2 2413 80,选项 C中 b 24
9、ac( 2)24138 0,选项 D 中b 24ac(2)24110,所以选项 D的函数图象与x 轴只有一个交点,故选D. 【类型二】利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 第 16 页 共 31 页 如图,对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于 (1 ,0) ,(3 ,0) 两 点,则它的对称轴为_ 解析: 点(1 ,0) 与(3,0) 是一对对称点,其对称中心是(2 ,0) , 对称轴的方程是x2. 方法总结: 解答二次函数问题,若能利用抛物线的对称性,则可以简 化计算过程 【类型三】利用函数图象与x轴交点情况确定字母取值范围 若函数ymx 2( m2)x 1 2m 1 的图象与x轴
10、只有一个交点, 那么m的值为 ( ) A0 B 0 或 2 C2 或2 D 0,2 或 2 解析: 若m0,二次函数与x轴只有一个交点,则可根据一元二次 方程的根的判别式为零来求解;若m0,原函数是一次函数,图象与x 轴也有一个交点由(m2) 24m ( 1 2m 1) 0,解得m2 或2,当m0 时原函数是一次函数,图象与x轴有一个交点,所以当m0,2 或 2 时,图象与x轴只有一个交点 方法总结: 二次函数yax 2 bxc,当b 24ac0 时,图象与 x轴 有两个交点;当b 24ac0 时,图象与 x轴有一个交点;当b 24ac0 时,图象与x轴没有交点 【类型四】利用抛物线与x轴交点
11、坐标确定一元二次方程的解 小兰画了一个函数yx 2 axb的图象如图,则关于x的方程 x 2 axb0 的解是 ( ) A无解 Bx1 Cx 4 Dx 1 或x4 第 17 页 共 31 页 解析: 二次函数yx 2axb 的图象与x轴交于 ( 1,0)和(4 , 0) ,即当x1 或 4 时,x 2 axb0,关于x的方程x 2 axb0 的解为x1 1,x24,故选 D. 方法总结: 本题容易出错的地方是不知道二次函数的图象与一元二次 方程的解的关系导致无法求解 探究点二:二次函数yax 2bxc 中的不等关系 【类型一】利用抛物线解一元二次不等式 抛物线yax 2 bxc(a0) 如图所
12、示,则关于x的不等式ax 2 bxc0 的解集是 ( ) Ax2 Bx 3 C3x1 Dx 3 或x1 解析: 观察图象,可知当3x1 时,抛物线在x轴上方,此时y 0,即ax 2 bxc0,关于x的不等式ax 2 bxc0 的解集是 3 x1. 故选 C. 方法总结: 抛物线yax 2 bxc在x轴上方部分的点的纵坐标都为 正,所对应的x的所有值就是一元二次不等式ax 2 bxc0 的解集;在 x轴下方部分的点的纵坐标均为负,所对应的x的所有值就是一元二次不 等式ax 2 bxc0 的解集 【类型二】确定抛物线相应位置的自变量的取值范围 二次函数yax 2 bxc(a0)的图象如图所示,则函
13、数值y0 时,x的取值范围是 ( ) Ax 1 Bx3 C1x3 Dx 1 或x3 解析: 根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为 (1,0) 且其对称轴 为x1,则抛物线与x轴的另一个交点为(3 ,0) 当y0 时,函数的图 象在x轴的上方,由左边一段图象可知x1,由右边一段图象可知x 第 18 页 共 31 页 3. 因此,x1 或x3. 故选 D. 方法总结: 利用数形结合思想来求解,抛物线与x轴的交点坐标是解 题的关键 三、课堂练习 第一讲:二次函数 1. 下列函数中 ,不是二次函数的是( ) A、 B、 C、 D 、 2在半径为4 的圆中,挖去一个边长为的正方形,剩下部分面积为,则关于
14、 y 与 x 之间 函数关系式为() A、 B 、 C 、 D 、 3.在二次函数中,二次项系数、一次项系数、常数项的和为 4.边长为 2 的正方形,如果边长增加,则面积 S 与之间的函数关系是 . 5. 已知是二次函数 ,则= 6某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆,长方体的长和宽相等,高比长多 0.5 m. 如果长方体 的长和宽用x(m) 表示 , 油 漆每平方米所需费用是 5 元,油漆每个长方体所需费用为y 元.求 y 与 x 之间函数关系式. 第一讲:二次函数参考答案 2 12yx 2 2(1)4yx 1 (1)(4) 2 yxx 22 (2)1yxx xcm 2 ycm 2 4y
15、x 2 16yx 2 16yx 2 4yx 2 1yx xx 2 21 (3)2 aa yaxa 第 19 页 共 31 页 1D 2 B 3 0 4 5 6 第二讲:二次函数的图象与性质 一、填空题 : 1. 已知函数 y=(k+2)是关于 x 的二次函数 ,则 k=_. 2. 已知正方形的周长是acm, 面积为 Scm 2,则 S 与 a 之间的函数关系式为 _. 3. 填表 : c2 6 1 4 4. 在边长为 4m 的正方形中间挖去一个长为xm 的小正方 形, 剩下的四方框形的面积为y,则 y 与 x 间的函数关系式为_ 5. 用一根长为8m 的木条 ,做一个长方形的窗框,若宽为 xm
16、, 则该窗户的面积y(m2) 与 x(m) 之间的函 数关系 式为 _. 二、选择题 : 6.下列结论正确的是( ) A. 二次函数中两个变量的值是非零实数; B.二次函数中变量x 的值是所有实数 ; C.形如 y=ax 2 +bx+c 的函数叫二次 函数;D. 二次函数 y=ax 2+bx+c 中 a,b,c 的值均不能为零 7. 下列函数中 ,不是二次函数的是( ) A.y= 1-x 2 B.y=2(x-1)2+4; C.y= (x-1)(x+4) D.y=(x-2) 2-x2 8. 在半径为 4cm 的圆中 , 挖去一个半径为xcm 的圆面 , 剩下一个圆环的面积为ycm 2,则 y 与
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- 人教版 九年级 数学 二次 函数 定义 及其 图像 性质 知识点 例题 考题 2018 详解
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